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1、第九节 函数单调性与凸性的判别法,一、单调性的判别法,二、凸性及其判别法,三、小结,一、函数单调性的判别法,1、单调性的判别法,2、单调区间求法,3、利用单调性可以证明不等式,4、利用单调性可以证明根的唯一性,1、单调性的判别法,由导数定义及极限：判钥梢灾っ:,定理 (函数单调性的判定法),备注:,证,应用拉氏定理,得,例1,解,注意 函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性,2、单调区间求法,问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调,定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调增加(减少)的，则该

2、区间称为函数的单调增加(减少)区间，这时也称函数是该区间的单调增加(减少)函数.,导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点,求函数的单调区间的方法:,有些函数在所讨论的定义区间上不是单调的，但在所讨论区间的各个部分区间内是单调的,需要把这些区间分开为部分区间,使函数在各部分区间内单调,这种题型叫做求函数的单调区间.,例2,解,单调区间为,例3,解,单调区间为,例4,解,注意 若区间内导数为零的点只是孤立点, 则不影响区间的单调性,即函数在区间内仍是单调的.,例如,3、利用单调性可以证明不等式,例5,证,例6,证,例6,证,例7,证,例,证,4、利用单调性可以证明根的唯一性,例8,4、利

3、用单调性可以证明根的唯一性,例8,证,由零点定理,即方程至少有一个小于1的正实根 .,此种题型应先证明根的存在性，再证明唯一性.,小结:,单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用.,定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立.,应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式.,二、曲线的凸性及其判别法,1.曲线凹凸的定义,2.曲线凹凸的判定,3.曲线的拐点及其求法,4.利用凹凸性证明不等式,1.曲线凹凸的定义,问题:如何研究曲线的弯曲方向?,图形上任意弧段位 于所张弦的上方,图形上任意弧段位 于所张弦的下方,定义 . 设函数,在区间 I 上连续 ,(1) 若恒有,则称曲线,

4、是下凸(凹)的;,(2) 若恒有,是上凸(凸)的 .,连续曲线上有切线的凹凸分界点 称为拐点 .,曲线凹凸的定义,则称曲线,2.曲线凹凸的判定,判别法2,判别法1,例1,解,注意到,3、曲线的拐点及其求法,1) 定义,注意 拐点处若存在切线，则必在拐点处穿过曲线.,2) 拐点的求法,证,求拐点的方法一:,例2,解,拐点,拐点,例3,解,注意:,求拐点的步骤：,Step1 求二阶导数等于零和不存在的点,Step2 判断二阶导数在这些点的左右两侧 是否异号,Step3 写出拐点 .,4、利用凸性证明不等式,证,4、利用凸性证明不等式,定义:,例1,解,注意到,5、小结,曲线的弯曲方向凸性;,改变弯曲方向的点拐点;,凸性的判定.,拐点的求法,思考题,思考题解答,例,练 习 题,练习题答案,思考题,思考题解答,不能断定.,例,但,当 时，,当 时，,注意 可以任意大，故在 点的任何邻域内， 都不单调递增,练 习 题,练习题答案,例3,解,单调区间为,方法2:,例3,解,