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1、3.2 提公因式法 一、公因式一、公因式 (1)(1)多项式多项式 abc+aabc+a各项公共的因式是各项公共的因式是_._. (2)(2)多项式多项式4x4x2 2-2xy-2xy各项公共的因式是各项公共的因式是_._. (3)6x(3)6x3 3y y2 2z-3xyz-3xy3 3各项公共的因式是各项公共的因式是_._. 【归纳归纳】几个多项式的几个多项式的_的因式称为它们的公因式的因式称为它们的公因式. . a a 2x2x 3xy3xy2 2 公共公共 二、提公因式法二、提公因式法 根据一的结果填空：根据一的结果填空： (1)abc+a=_.(1)abc+a=_. (2)4x(2)

2、4x2 2-2xy=_.-2xy=_. (3)6x(3)6x3 3y y2 2z-3xyz-3xy3 3=_.=_. a(bc+1)a(bc+1) 2x(2x-y)2x(2x-y) 3xy3xy2 2(2x(2x2 2z-y)z-y) 【归纳归纳】如果一个多项式各项有公因式，可以把这个如果一个多项式各项有公因式，可以把这个_提提 到括号外面，这种把多项式因式分解的方法叫做提公因式法到括号外面，这种把多项式因式分解的方法叫做提公因式法. . 公因式公因式 【预习思考预习思考】 用提公因式法因式分解时，提取公因式后另一个多项式的项数用提公因式法因式分解时，提取公因式后另一个多项式的项数 与原多项式

3、的项数有什么关系？与原多项式的项数有什么关系？ 提示：提示：相等相等. . 用提公因式法因式分解用提公因式法因式分解 【例例1 1】(8(8分分)(1)7x)(1)7x2 2-21x;-21x; (2)8a(2)8a3 3b b2 2-12ab-12ab3 3c+ab;c+ab; (3)-24x(3)-24x3 3+12x+12x2 2-28x;-28x; (4)6(x-2)+x(2-x).(4)6(x-2)+x(2-x). 【kok电子竞技解答kok电子竞技解答】(1)(1)原式原式=7x=7xx x -7x-7x3 31 1分分 =7x=7x( (x-3x-3) ). . 2 2分分 (2)(2)原式原式=a

4、b=ab8a8a2 2b b-ab-ab12b12b2 2c c+ab+ab1 1 3 3分分 = =ab(8aab(8a2 2b-12bb-12b2 2c+1)c+1). . 4 4分分 特别提醒特别提醒: :找公因式时找公因式时 不要有遗漏不要有遗漏. . (3)(3)原式原式=-4x=-4x6x6x2 2+(-4x)+(-4x)( (-3x-3x)-4x)-4x7 7 5 5分分 = =-4x(6x-4x(6x2 2-3x+7)-3x+7). . 6 6分分 (4)(4)原式原式=6(x-2)-x(=6(x-2)-x(x-2x-2) ) 7 7分分 = =(x-2)(6-x)(x-2)(

5、6-x). . 8 8分分 【互动探究互动探究】怎样确定公因式？怎样确定公因式？ 提示：提示：(1)(1)确定系数：各项系数的最大公约数；确定系数：各项系数的最大公约数； (2)(2)确定字母：每一项都含有的字母；确定字母：每一项都含有的字母； (3)(3)确定指数：相同字母指数的最小值确定指数：相同字母指数的最小值. . 【规律总结规律总结】 用提公因式法因式分解的步骤用提公因式法因式分解的步骤 定定 化化 提提 查查 确定公因式；确定公因式； 把多项式的每一项都写成含有公因式的乘积的把多项式的每一项都写成含有公因式的乘积的 形式；形式； 把公因式提到括号前，把每一项除公因式把公因式提到括号

6、前，把每一项除公因式 外的因式放到括号内，并进行合并同类项；外的因式放到括号内，并进行合并同类项； 检查提公因式后的因式里面是否还有公因式，检查提公因式后的因式里面是否还有公因式， 是否存在漏项的情况是否存在漏项的情况. . 【跟踪训练跟踪训练】 1.1.多项式多项式36a36a2 2bc-48abbc-48ab2 2c+24abcc+24abc2 2的公因式是的公因式是( )( ) (A)12a(A)12a2 2b b2 2c c2 2 (B)6abc (C)12abc (D)36a (B)6abc (C)12abc (D)36a2 2b b2 2c c2 2 【解析解析】选选C.C.系数的

7、最大公约数是系数的最大公约数是1212，相同字母的最低指数次，相同字母的最低指数次 幂是幂是abcabc，所以公因式为，所以公因式为12abc.12abc. 2.2.下列各式中，没有公因式的是下列各式中，没有公因式的是( )( ) (A)2a-2b(A)2a-2b与与b-a (B)mx+yb-a (B)mx+y与与x+myx+my (C)(m-1)(C)(m-1)3 3与与-(1-m)-(1-m)2 2 (D)a+b (D)a+b与与-(b+a)-(b+a) 【解析解析】选选B.AB.A选项的公因式为选项的公因式为a-b,Ca-b,C选项的公因式为选项的公因式为(m-1)(m-1)2 2，D

8、D 选项的公因式为选项的公因式为a+b.a+b. 3.(20123.(2012温州中考温州中考) )把多项式把多项式a a2 2-4a-4a因式分解，结果正确的是因式分解，结果正确的是 ( )( ) (A)a(a-4) (B)(a+2)(a-2)(A)a(a-4) (B)(a+2)(a-2) (C)a(a+2)(a-2) (D)(a-2)(C)a(a+2)(a-2) (D)(a-2)2 2-4-4 【解析解析】选选A.A.原式原式=a=aa-4a-4a=a(a-4).a=a(a-4). 4.4.把下列各式因式分解把下列各式因式分解: : (1)4kx-8ky; (2)5y(1)4kx-8ky;

9、 (2)5y3 3+20y+20y2 2; ; (3)a(3)a2 2b-2abb-2ab2 2+ab; +ab; (4)x(x-y)(4)x(x-y)2 2+2(x-y)+2(x-y)3 3. . 【解析解析】(1)(1)原式原式=4k=4kx-4kx-4k2y=4k(x-2y)2y=4k(x-2y)； (2)(2)原式原式=5y=5y2 2y+5yy+5y2 24=5y4=5y2 2(y+4)(y+4)； (3)(3)原式原式=ab=aba-aba-ab2b+ab2b+ab1=ab(a-2b+1)1=ab(a-2b+1)； (4)(4)原式原式=(x-y)=(x-y)2 2x+(x-y)x

10、+(x-y)2 22(x-y)2(x-y) =(x-y)=(x-y)2 2(x+2x-2y)=(x-y)(x+2x-2y)=(x-y)2 2(3x-2y).(3x-2y). 利用提公因式法进行简便计算利用提公因式法进行简便计算 【例例2 2】(5(5分分) )已知电学公式已知电学公式U=IRU=IR1 1+IR+IR2 2+IR+IR3 3，当，当R R1 1=12.9=12.9，R R2 2=18.5=18.5， R R3 3=18.6=18.6，I=1.5I=1.5时，求电压时，求电压U.U. 【kok电子竞技解答kok电子竞技解答】 U=IR U=IR1 1+IR+IR2 2+IR+IR3 3=I=I(R(

11、R1 1+R+R2 2+R+R3 3) ) 3 3分分 =1.5=1.5(12.9+18.5+18.6)(12.9+18.5+18.6)4 4分分 =1.5=1.55050= =7575. . 5 5分分 【规律总结规律总结】 提公因式法简便计算的技巧提公因式法简便计算的技巧 在用提公因式法进行化简计算时，往往涉及多个量，直接在用提公因式法进行化简计算时，往往涉及多个量，直接 计算则过程繁杂，这时可将表示数量关系的式子进行适当变形计算则过程繁杂，这时可将表示数量关系的式子进行适当变形 再代入数值进行计算，尤其是运用包括提公因式法在内的因式再代入数值进行计算，尤其是运用包括提公因式法在内的因式

12、分解进行变形，可起到事半功倍的效果分解进行变形，可起到事半功倍的效果. . 【跟踪训练跟踪训练】 5.5.计算计算(-2)(-2)2 2 012 012+(-2) +(-2)2 2 013 013的结果是 的结果是( )( ) (A)2(A)22 2 012 012 (B)2 (B)22 2 013 013 (C)-2 (D)-2 (C)-2 (D)-22 2 012 012 【解析解析】选选D.(-2)D.(-2)2 2 012 012+(-2) +(-2)2 2 013 013=(-2) =(-2)2 2 012 012+(-2) +(-2)2 2 012 012 (-2)(-2) =(-

13、2)=(-2)2 2 012 012 (1-2)=2(1-2)=22 2 012 012 (-1)=-2(-1)=-22 2 012 012. . 6.6.已知已知a-2b=-2a-2b=-2，则，则4-2a+4b4-2a+4b的值是的值是( )( ) (A)0 (B)2 (C)4 (D)8(A)0 (B)2 (C)4 (D)8 【解析解析】选选D.4-2a+4b=4-2(a-2b)D.4-2a+4b=4-2(a-2b) =4-2=4-2(-2)=8.(-2)=8. 7.7.已知已知a+b=13a+b=13，ab=40ab=40，求，求a a2 2b+abb+ab2 2的值的值. . 【解析解

14、析】因为因为a+b=13a+b=13，ab=40ab=40， 所以所以a a2 2b+abb+ab2 2=ab(a+b)=ab(a+b) =40=4013=520.13=520. 1.1.多项式多项式8x8xm my yn-1 n-1-12x -12x3m 3my yn n的公因式是 的公因式是( )( ) (A)x(A)xm my yn n (B)x (B)xm my yn-1 n-1 (C)4x (C)4xm my yn n (D)4x (D)4xm my yn-1 n-1 【解析解析】选选D.D.多项式多项式8x8xm my yn-1 n-1-12x -12x3m 3my yn n的公因

15、式是 的公因式是4x4xm my yn-1 n-1. . 2.(20122.(2012邵阳中考邵阳中考) )把把2a2a2 2-4a-4a因式分解的最终结果是因式分解的最终结果是( )( ) (A)2a(a-2) (B)2(a(A)2a(a-2) (B)2(a2 2-2a)-2a) (C)a(2a-4) (D)(a-2)(a+2)(C)a(2a-4) (D)(a-2)(a+2) 【解析解析】选选A.2aA.2a2 2-4a=2a(a-2).-4a=2a(a-2). 3.3.利用因式分解计算：利用因式分解计算：2 0132 0132 2-2 013-2 0132 012=_.2 012=_. 【

16、解析解析】原式原式=2 013=2 013(2 013-2 012)=2 013(2 013-2 012)=2 0131=2 013.1=2 013. kok电子竞技：kok电子竞技：2 0132 013 4.a4.a，b b互为相反数，则互为相反数，则a(x-2y)-b(2y-x)a(x-2y)-b(2y-x)的值为的值为_._. 【解析解析】因为因为a a，b b互为相反数，所以互为相反数，所以a+b=0a+b=0， 所以所以a(x-2y)-b(2y-x)a(x-2y)-b(2y-x) =a(x-2y)+b(x-2y)=a(x-2y)+b(x-2y) =(a+b)(x-2y)=(a+b)(x-2y) =0=0

17、(x-2y)(x-2y) =0.=0. kok电子竞技：kok电子竞技：0 0 5.5.先化简，再求值：先化简，再求值：(2x+1)(2x+1)2 2-(2x+1)(-1+2x)-(2x+1)(-1+2x)，其中，其中x=-12.x=-12. 【解析解析】(2x+1)(2x+1)2 2-(2x+1)(-1+2x)=(2x+1)-(2x+1)(-1+2x)=(2x+1)(2x+1)-(-1+2x)(2x+1)-(-1+2x) =(2x+1)(2x+1+1-2x)=2(2x+1)=4x+2,=(2x+1)(2x+1+1-2x)=2(2x+1)=4x+2, 当当x=-12x=-12时，时， 原式原式=4=4(-12)+2(-12)+2 =-46.=-46. 【变式备选变式备选】如果如果x x2 2+3x-3=0,+3x-3=0,则代数式则代数式x x3 3+3x+3x2 2-3x+3-3x+3的值是多少的值是多少? ? 【解析解析】因为因为x x3 3+3x+3x2 2-3x+3=x(x-3x+3=x(x2 2+3x-3)+3,+3x-3)+3, 所以当所以当x x2 2+3x-3=0+3x-3=0时时, ,原式原式=x(x=x(x2 2+3x-3)+3+3x-3)+3 =x=x0+3=3.0+3=3.