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1、薄壁圆管的极惯性矩及切应力公式0Rt薄壁圆管tRD02tRd02)2()2(1 (32)2()1 (32404040444tRtRtRDdDIp)2()2(324040tRtR)21 ()21(3216404040RtRtRnxxn1)1 (若|x|很。騮R302tRxTIxTxp202)()()(薄壁圆管的横截面上切应力可认为是均匀分布 当t抗拉抗剪。 脆性材料在不同受力下的强度大。嚎寡箍辜艨估。例5：由相同材料制成的实心圆轴和空心圆轴，两端受扭力偶作用，二者的长度和重量均相同。如果空心圆轴的内外径之比为，证明：当两轴中的最大切应力相同时，作用在实心圆轴和空心圆轴上的扭力偶之比为：22

2、2111mm1D1mDd2m解：由题意知，两轴的截面积相等。即2221dDD)1 (22 D因两轴中的最大切应力相同，固有：2211ppWmWm1D1mDd2m)1 (2221 DD2211ppWmWm2121ppWWmm)1 (16164331DDDDDD14221)1 (2421112211例6：等截面圆轴受外载荷如图。若材料的许用切应力=60MPa，：似淝慷。若将实心圆轴改为内外径之比为=0.7的空心圆轴，求两圆轴强度相同时的重量之比。mkN2mkN1mkN3mm60DD解：扭矩图如下TxmkN1mkN2)()(3maxmaxmax16)(DTWxTpMPa16.47601021636

3、注意计算中单位的换算！ 强度足够，圆轴安全。 在强度相同的条件下将实心轴改为空心轴，意味着这两轴中的最大切应力相同。 因此，空心轴应有与实心轴相同的抗扭截面系数。实心轴：16601633DWp空心轴：)7 . 01 (16)1 (164343DDWp66mmmm75.657 . 0160343D 两轴重量之比就是截面积之比61. 060)7 . 01 (66)1 (22222DDL4.4 圆轴扭转时的变形 圆轴扭转时的变形，用横截面之间的相对转角来表示。横截面xB横截面xA圆轴单位长度的扭转角公式pGIxTx)(ddxGIxTpd)(d 间距为dx的两个相邻横截面的相对扭转角横截面xA和横截面

4、xB间的相对扭转角ABxxpABxGIxTd)(GIp抗扭刚度横截面xA和横截面xB间的相对扭转角ABxxpABxGIxTd)(对单一材料的等截面圆轴：pxxABGIxxTABd )(mm对单一材料的等截面圆轴，只在两端承受扭力偶m，则pABGIml计算中单位制的说明： 长度基本单位：mm 扭力偶(或扭矩)基本单位：N.mm 应力和剪切弹性模量基本单位：MPa 扭转角基本单位：rad 例7：空心圆轴两截面之间的相对扭转角为0.4，弹性模量E为210GPa，求材料的泊松比。mmkN5 . 1mmm50Dmm30dmm200a(杨氏)弹性模量E、剪切弹性模量G和泊松比之间存在关系：)1 (2EG

5、该题说明了通过扭转实验测量材料泊松比的高精度方法。mmkN5 . 1mmm50Dmm30dmm200arad 00698. 01804 . 04 . 0解：pGImapImaG)6 . 01 (503200698. 0200105 . 144680.46GPaMPa80461注意各力学量的单位12GE305. 0146.802210例8：如图空心轴。若=70MPa；求许用扭力偶。若截面B对截面A的转角与截面C对截面B的转角相等，求L1。1Lmm50DABCmm382dmm251d2Lmm510L解：AB段和BC段的截面抗扭系数分别为)5 . 01 (5016)1 (164343ABpABDW)

6、76. 01 (5016)1 (164343BCpBCDW1Lmm50DABCmm382dmm251d2L 按AB段计算许用扭力偶 pABWT1 按BC段计算许用扭力偶 pBCWT2mmN 1061. 16mmN 1015. 16因此许用扭力偶为 mmkN 15. 1),min(21TTTpBCBCpABABGITLGITL21若41. 11144BCABpBCpABIILL2151021 LLmm 2981L4.5 圆轴扭转时的刚度4.5.1 刚度条件 在讨论圆轴的刚度条件时，通常考察圆轴单位长度上的扭转角，定义为(x)。pGIxTxx)(dd)(刚度条件 maxmax)(pGIxT对单一材

7、料的等截面圆轴 pGIxTmaxmax)(计算中单位制的说明： 长度基本单位：mm 扭力偶(或扭矩)基本单位：N.mm 剪切弹性模量基本单位：MPa 单位长度扭转角基本单位：rad/mm 许可最大单位长度扭转角 在工程上，许可单位长度最大扭转角的量纲通常是度/米，而按公式计算出的单位长度扭转角的量纲是弧度/毫米。需要进行转换。 /m 10180)()(3maxmaxmaxppGIxTGIxT4.5.2 刚度条件的应用：烁斩龋患扑阈砜稍睾(外力偶)；计算许可截面尺寸；4.6 圆轴扭转的超静定问题 与拉(压)杆的超静定问题类似，求解圆轴扭转的超静定问题，仍然要综合运用平衡方程、几何方程和物理方程

8、。 步骤如下： (1)平衡方程 所有外力与内力应满足力平衡和力矩平衡条件(2)几何方程 各构件的变形应彼此协调以保证结构的完好 (3)物理方程 应力(或内力)与应变(或变形)满足Hook定律(4)求解 将物理方程代入几何方程得到补充方程，联立平衡方程即可求解未知量。 例9：如图组合轴，铜套和刚芯轴紧密结合。若Gc和Gs已知，分别求铜套和钢芯中的最大切应力。dDmm铜套 刚芯解：铜套和钢芯轴应各自承担一部分扭力偶。cTsT平衡方程mTTsc物理方程pccccIGlTpssssIGlTdDmmcTsT几何方程： 由题意知，由于铜套和钢芯轴紧密结合，即铜套和钢芯轴的扭转角应该相同。即几何方程为：sc

9、pccccIGlTpssssIGlTpsspccscIGIGTTmTTscpsspccpcccIGIGmIGTpsspccpsssIGIGmIGT载荷的分配与刚度成正比。横截面上的应力分布pcpcpsspcccpcccWIIGIGmGWTmaxpspspsspccspsssWIIGIGmGWTmaxmaxcmaxs注意：在两轴交界处，扭转角连续，而应力不连续。思考：如何确定组合轴的内外半径，以充分发挥材料强度。 要充分发挥材料的强度，应使铜套和钢芯轴的最大切应力同时达到各自的许用切应力。cpsspcccpcpcpsspccccIGIGmDGWIIGIGmG)(2maxspsspccspspsp

10、sspccssIGIGmdGWIIGIGmG)(2maxcsscGGDdmqABl 5 . 0l 5 . 0例10：确定圆轴A端和B端的约束力偶矩。mql 5 . 0l 5 . 0AB解：为表述方便，用矢量形式来表示扭力偶或扭矩。 设A端和B端的约束力偶矩分别是mA和mB。平衡方程lqmmmBA5 . 0扭矩函数lxlmlxxqmxTBmA5 . 05 . 00)(mqABl 5 . 0l 5 . 0AmBmxC几何方程 由题意知，变形协调关系为A和B间的相对扭转角为零。即mqABl 5 . 0l 5 . 0mqABl 5 . 0l 5 . 0AmBmxC0ABCBAC物理方程llplpABx

11、GIxTxGIxT5 . 05 . 00d)(d)(llpBlpmAxGImxGIxqm5 . 05 . 00ddpmBAGIlqmml8)(42lqmmmBA5 . 0平衡方程08)(42pmBAABGIlqmml几何方程和物理方程lqmlqmmBmA8183mqABl 5 . 0l 5 . 0AmBmxC图中的mB方向与实际方向相反 求解超静定问题，还可用解除多余约束法。例10：确定圆轴A端和B端的约束力偶矩。(解除多余约束法)mql 5 . 0l 5 . 0ABmqABl 5 . 0l 5 . 0C 扭力偶的矢量表达解：解除B端的约束，代之以相应的约束力偶矩mB。mqABl 5 . 0l 5 . 0BmC注意：mB是待定的未知量！mqABl 5 . 0l 5 . 0CABl 5 . 0l 5 . 0BmC载荷分解mqABl 5 . 0l 5 . 0CABl 5 . 0l 5 . 0BmCmqABpmqCBqACGIlqmm82BmABpBGIlm由于两端固定，所以0BmmABqABABlqmmB25. 0 用解除多余约束法求解超静定问题，其特点是：一般不会出现显式的平衡方程；通常将解除多余约束后的静定系统，分解成数个单一载荷作用的情况；应熟练掌握构件在单一载荷下的变形计算；通常在被解除的多余约束处发掘变形协调条件。