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1、勾股定理的应用勾股定理的应用 求立体图形中的最短路径 方亭慈济中学:杨启艳例例1、如图,是一个三级台阶,它的每一级的长、宽和、如图,是一个三级台阶,它的每一级的长、宽和高分别等于高分别等于5cm,3cm和和1cm,A和和B是这个台阶的两个是这个台阶的两个相对的端点,相对的端点,A点上有一只蚂蚁,想到点上有一只蚂蚁,想到B点去吃可口的点去吃可口的食物食物.请你想一想,这只蚂蚁从请你想一想,这只蚂蚁从A点出发,沿着台阶面点出发,沿着台阶面爬到爬到B点,最短线路是多少?点,最短线路是多少?BAAB531512引例:台阶中的最值问题引例:台阶中的最值问题 AB2=AC2+BC2=169, AB=13.
2、C一、圆柱中的最值问题一、圆柱中的最值问题例2、 有一圆形油罐底面圆的周长为24m,高为6m,一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处吃食物,它爬行的最短路线长为多少?AB分析:由于老鼠是沿着圆柱的表面爬行的,故需把圆柱展开成平面图形.根据两点之间线段最短,可以发现A、B分别在圆柱侧面展开图的宽1m处和长24m的中点处,即AB长为最短路线.(如图)解:AC = 6 1 = 5 ,BC = 24 = 12, 由勾股定理得 AB2= AC2+ BC2=169,AB=13(m) .21BAC小心解题哦小心解题哦 有一圆形罐头底面圆的半径为6cm,高5cm,一只蚂蚁从距底面的A处爬行到对角B处吃食物,
3、它爬行的最短路线长为多少?多少?5cm6cmABABC二、正方体中的最值问题二、正方体中的最值问题例3、如图,边长为1的正方体中,一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是( ). (A)3 (B) 5 (C)2 (D)1AB分析: 由于蚂蚁是沿正方体的外表面爬行的,故需把正方体展开成平面图形(如图).CABC21例4、如图,一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发,沿长方体的表面爬到对角顶点C1处(三条棱长如图所示),问怎样走路线最短?最短路线长为多少?ABA1B1DCD1C1214分析: 根据题意分析蚂蚁爬行的路线有三种情况(如图 ),由勾股定理可求得图1中AC1爬行的路线最短.
4、ABA1B1D1C1421 AC1 =42+32 =25 ;ABB1CA1C1412 AC1 =62+12 =37 ;AB1D1DA1C1412 AC1 =52+22 =29 . 三、长方体中的最值问题三、长方体中的最值问题 怎样才能在最短的时间内,找怎样才能在最短的时间内,找到长方体表面上两点之间的最短到长方体表面上两点之间的最短路径?路径?归纳提升:归纳提升: 设长方体的长、宽、高分别为设长方体的长、宽、高分别为a a、b b、c c,且,且a ab bc c,则长方体表面上,则长方体表面上ABAB两点的最短路线为两点的最短路线为22()bca反思回顾,总结提高反思回顾,总结提高2+a2
5、2( b b+ +c c) 、2+c2 2(a a+ +b b)2+b2 2(a a+ +c c) 、提升:比较提升:比较的大小的大小即比较即比较abab、bcbc、acac的大小。的大小。较短两段取和,最较短两段取和,最长段独一边长段独一边41AB=AB135AB=10看谁算的快看谁算的快482AB小试牛刀小试牛刀 (2008(2008吉林吉林) ) 由若干个边长为由若干个边长为1 1的小正方体摆放的小正方体摆放成的长方体,问在成的长方体,问在A A处的蚂蚁要吃到处的蚂蚁要吃到B B处的食处的食物,最短要爬行多长?若食物在物,最短要爬行多长?若食物在C C处呢?处呢?ABCAC225(42)
6、61AB 223(41)34AC ABCBA要注意变式,要注意变式,灵活运用哦灵活运用哦(2008(2008吉林吉林) )我能行我能行如图,一个长方体形的木柜放在墙角处(与墙面和地面均没有缝隙),如图,一个长方体形的木柜放在墙角处(与墙面和地面均没有缝隙),有一只蚂蚁从柜角有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角处沿着木柜表面爬到柜角C1处处(1)请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径;)请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径;(2)当)当AB=4,BC=4,CC1=5时,求蚂蚁爬过的最短路径的长;时,求蚂蚁爬过的最短路径的长;A备用图 如图,长方体的底面边长分别为如图,长方体的底面边长分
7、别为1cm 和和3cm,高为,高为6cm如果用一根细线从点如果用一根细线从点A开始经过开始经过4个侧面缠绕一圈个侧面缠绕一圈到达点到达点B,那么所用细线最短需要,那么所用细线最短需要 cm;如果从点;如果从点A开始经过开始经过4个侧面缠绕个侧面缠绕n圈到达点圈到达点B ,那么所用细线最短需那么所用细线最短需要要 cmBA6cm3cm1cm巅峰对决巅峰对决1023664nA第1圈第2圈第n圈 不下定决心不下定决心培养思维习惯的培养思维习惯的人,便失去了生人,便失去了生活中最大的乐趣活中最大的乐趣 爱迪生爱迪生多观察,多思考;多归纳,多总结多观察,多思考;多归纳,多总结小 结: 1、把几何体适当展开成平面图形2、利用“两点之间线段最短”的性质在平面图形上找出两点间的最短路径3、构造直角三角形,利用勾股定理找出最优解
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