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1、1 / 12 12 重庆重庆(理理) 1.(2012 重庆,理 1)在等差数列an中,a2=1,a4=5,则an的前 5 项和 s5=( ). a.7 b.15 c.20 d.25 b 设数列an的首项为 a1,公差为 d,则 a2=a1+d=1,a4=a1+3d=5,解得 a1=-1,d=2,所以 sn=n2-2n,s5=15,故选 b. 2.(2012 重庆,理 2)不等式121xx+0 的解集为( ). a.1,12 b.1,12 c.1,-21,+) d.1,-21,+) a 不等式可化为(1)(21)0,210,xxx+ 解不等式组得-12x1,故选 a. 3.(2012 重庆,理

2、3)对任意的实数 k,直线 y=kx+1 与圆 x2+y2=2 的位置关系一定是( ). a.相离 b.相切 c.相交但直线不过圆心 d.相交且直线过圆心 c 直线 y=kx+1 过定点(0,1),而 02+122,所以点(0,1)在圆 x2+y2=2 内部,直线 y=kx+1 与圆 x2+y2=2 相交且直线不经过圆心,故选 c. 4.(2012 重庆,理 4)812xx+的展开式中常数项为( ). a.3516 b.358 c.354 d.105 2 / 12 b 二项式812xx+的通项为 tr+1=8cr(x)8-r(2x)-r=2-r8 228crrx,令822r=0得 r=4,所以

3、二项展开式的常数项为 t5=2-448c=358,故选 b. 5.(2012 重庆,理 5)设 tan ,tan 是方程 x2-3x+2=0 的两根,则 tan(+)的值为( ). a.-3 b.-1 c.1 d.3 a 因为 tan ,tan 是方程 x2-3x+2=0 的两根,所以 tan +tan =3,tan tan =2,而tan(+)=tantan1 tan ?tan+=31 2=-3,故选 a. 6.(2012 重庆,理 6)设 x,yr,向量 a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且 ac,bc,则|a+b|=( ). a.5 b.10 c.25 d.10 b 由

4、ac,得 a c=2x-4=0,解得 x=2.由 bc得12=y4,解得 y=-2,所以 a=(2,1),b=(1,-2),a+b=(3,-1),|a+b|=10,故选 b. 7.(2012 重庆,理 7)已知 f(x)是定义在 r上的偶函数,且以 2为周期,则“f(x)为0,1上的增函数”是“f(x)为3,4上的减函数”的( ). a.既不充分也不必要的条件 b.充分而不必要的条件 c.必要而不充分的条件 d.充要条件 d 若 f(x)为0,1上的增函数,则 f(x)在-1,0上为减函数,根据 f(x)的周期为 2可推出 f(x)为3,4上的减函数;若 f(x)为3,4上的减函数,则 f(x

5、)在-1,0上也为减函数,所以 f(x)在0,1上为增函数,故选 d. 8.(2012 重庆,理 8)设函数 f(x)在 r 上可导,其导函数为 f(x),且函数 y=(1-x)f(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是( ). 3 / 12 a.函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1) b.函数 f(x)有极大值 f(-2)和极小值 f(1) c.函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(-2) d.函数 f(x)有极大值 f(-2)和极小值 f(2) d 由图可得函数 y=(1-x)f(x)的零点为-2,1,2,则当 x0,此时在(-,-2)上 f(x)0,f(x)0,

6、在(-2,1)上 f(x)0,f(x)1时,1-x0,f(x)0,在(2,+)上 f(x)0.所以 f(x)在(-,-2)为增函数,在(-2,2)为减函数,在(2,+)为增函数,因此 f(x)有极大值 f(-2),极小值 f(2),故选 d. 9.(2012 重庆,理 9)设四面体的六条棱的长分别为 1,1,1,1,2和 a,且长为 a的棱与长为2的棱异面,则a 的取值范围是( ). a.(0,2) b.(0,3) c.(1,2) d.(1,3) a 四面体如图 1所示,设 ab=ac=bd=cd=1,ad=2,bc=a,则 a0.当 a,b,c,d 四点共面时,bc=2(如图 2所示).而此

7、时 a,b,c,d 四点不能构成四面体,所以 a2,故选 a. 图 1 图 2 10.(2012 重庆,理 10)设平面点集 a=1(x,y) (yx) y0 x,b=(x,y)|(x-1)2+(y-1)21,则 ab所表示的平面图形的面积为( ). 4 / 12 a.34 b.35 c.47 d.2 d 不等式(y-x)1yx0可化为yx0,1y0 x或yx0,1y0.x集合 b 表示圆(x-1)2+(y-1)2=1上以及圆内部的点所构成的集合,ab 所表示的平面区域如图所示.由线 y=1x,圆(x-1)2+(y-1)2=1均关于直线 y=x对称,所以阴影部分占圆面积的一半,故选 d. 11

8、.(2012 重庆,理 11)若(1+i)(2+i)=a+bi,其中 a,br,i为虚数单位,则 a+b= . 4 (1+i)(2+i)=1+3i=a+bi,所以 a=1,b=3,a+b=4. 12.(2012 重庆,理 12)2n1n5nnlim+= . 25 2n1n5nnlim+=2nn5nn5nlim+ =n511n5lim+=1 15+=25. 13.(2012 重庆,理 13)设abc 的内角 a,b,c的对边分别为 a,b,c,且 cos a=35,cos b=513,b=3,则c= . 145 由已知条件可得 sin a=45,sin b=1213,而 sin c=sin(a+

9、b)=sin acos b+cos asin b=5665,根据正弦定理bbsin=ccsin得 c=145. 14.(2012 重庆,理 14)过抛物线 y2=2x的焦点 f 作直线交抛物线于 a,b 两点,若|ab|=2512,|af|bf|,则|af|= . 5 / 12 56 f点坐标为1,02,设 a,b两点的横坐标为 x1,x2.因|af|bf|,故直线 ab不垂直于 x轴.设直线ab为 y=k1x2,联立直线与抛物线的方程得 k2x2-(k2+2)x+2k4=0 ,则 x1+x2=22k2k+,又|ab|=x1+x2+1=2512,可解得 k2=24,代入式得 12x2-13x+

10、3=0,即(3x-1)(4x-3)=0.而|af|0), f(x)=-1x-212x+32=223x2x 12x=2(3x1)(x1)2x+. 令 f(x)=0,解得 x1=1, 6 / 12 x2=-211x,33= 因不在定义域内 舍去. 当 x(0,1)时,f(x)0,故 f(x)在(1,+)上为增函数. 故 f(x)在 x=1 处取得极小值 f(1)=3. 17.(2012 重庆,理 17)甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球.约定甲先投且先投中者获胜,一直到有人获胜或每人都已投球 3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为13,乙每次投篮投中的概率为12,且各次投篮互不影响. (1)求甲

11、获胜的概率; (2)求投篮结束时甲的投球次数 的分布列与期望. 解:设 ak,bk分别表示甲、乙在第 k次投篮投中,则 p(ak)=13,p(bk)=12(k=1,2,3). (1)记“甲获胜”为事件 c,由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知p(c)=p(a1)+p(11a ba2)+p(1122a b a ba3)=p(a1)+p(1a)p(1b)p(a2)+p(1a)p(1b)p(2a)p(2b)p(a3)=13+231213+22321213=13+19+127=1327. (2) 的所有可能值为 1,2,3. 由独立性知 p(=1)=p(a1)+p(1ab1

12、)=13+2312=23, p(=2)=p(11a ba2)+p(112a b ab2)=231213+223212=29, p(=3)=p(1122a b ?a ?b)=223212=19. 综上知,有分布列 7 / 12 1 2 3 p 23 29 19 从而,e=123+229+319=139(次). 18.(2012 重庆,理 18)设 f(x)=4cosx6sin x-cos(2x+),其中 0. (1)求函数 y=f(x)的值域; (2)若 f(x)在区间3,22 上为增函数,求 的最大值. 解:(1)f(x)=431xx22cossin+sin x+cos 2x =23sin x

13、cos x+2sin2x+cos2x-sin2x =3sin 2x+1. 因-1sin 2x1,所以函数 y=f(x)的值域为1-3,1+3. (2)因 y=sin x在每个闭区间2k,2k22+(kz)上为增函数,故 f(x)=3sin 2x+1(0)在每个闭区间kk,44+(kz)上为增函数. 依题意知3,22 kk,44+对某个 kz 成立,此时必有 k=0,于是3,24.24 解得 16,故 的最大值为16. 8 / 12 19.(2012 重庆,理 19)如图,在直三棱柱 abc-a1b1c1中,ab=4,ac=bc=3,d 为 ab的中点. (1)求点 c到平面 a1abb1的距离

14、; (2)若 ab1a1c,求二面角 a1-cd-c1的平面角的余弦值. 解:(1)由 ac=bc,d 为 ab的中点,得 cdab.又 cdaa1.故 cd面 a1abb1,所以点 c 到平面a1abb1的距离为 cd=22bcbd=5. (2)解法一:如图,取 d1为 a1b1的中点,连接 dd1,则 dd1aa1cc1.又由(1)知 cd面 a1abb1,故 cda1d,cddd1,所以a1dd1为所求的二面角 a1-cd-c1的平面角. 因 a1d为 a1c 在面 a1abb1上的射影,又已知 ab1a1c,由三垂线定理的逆定理得 ab1a1d,从而a1ab1、a1da都与b1ab互余

15、,因此a1ab1=a1da,所以 rta1adrtb1a1a.因此1aaad=111a baa,即 a21a=ad a1b1=8,得 aa1=22. 从而 a1d=221aaad+=23. 所以,在 rta1dd1中,ab1a1d,从而a1ab1、a1da 都与b1ab 互余,因此a1ab1=a1da,所以 rta1adrtb1a1a.因此1aaad=111a baa,即 a21a=ad a1b1=8,得 aa1=22. 从而 a1d=221aaad+=23. 所以,在 rta1dd1中, cosa1dd1=11dda d=11aaa d=63. 9 / 12 解法二:如图,过 d作 dd1a

16、a1交 a1b1于 d1,在直三棱柱中,易知 db,dc,dd1两两垂直.以 d 为原点,射线 db,dc,dd1分别为 x轴、y轴、z 轴的正半轴建立空间直角坐标系 d-xyz. 设直三棱柱的高为 h,则 a(-2,0,0),a1(-2,0,h),b1(2,0,h),c(0,5,0),c1(0,5,h),从而1ab=(4,0,h),1a c=(2,5,-h). 由11aba c,有 8-h2=0,h=22. 故1da=(-2,0,22),1cc=(0,0,22),dc=(0,5,0). 设平面 a1cd 的法向量为 m=(x1,y1,z1),则 mdc,m1da,即1115y0,2x2 2z

17、0.=+= 取 z1=1,得 m=(2,0,1). 设平面 c1cd 的法向量为 n=(x2,y2,z2),则 ndc,n1cc,即225y0,2 2z0.= 取 x2=1,得 n=(1,0,0),所以 cos=m?n|m|n |=22 1 1+ =63. 所以二面角 a1-cd-c1的平面角的余弦值为63. 20.(2012 重庆,理 20)如图,设椭圆的中心为原点 o,长轴在 x轴上,上顶点为 a,左、右焦点分别为 f1,f2,线段 of1,of2的中点分别为 b1,b2,且ab1b2是面积为 4的直角三角形. (1)求该椭圆的离心率和标准方程; (2)过 b1作直线 l交椭圆于 p,q

18、两点,使 pb2qb2,求直线 l的方程. 解:(1)如图所示,设所求椭圆的标准方程为22xa+22yb=1(ab0),右焦点为 f2(c,0). 10 / 12 因ab1b2是直角三角形,又|ab1|=|ab2|,故b1ab2为直角,因此|oa|=|ob2|,得 b=c2,结合 c2=a2-b2得 4b2=a2-b2,故 a2=5b2,c2=4b2,所以离心率 e=ca=255. 在 rtab1b2中,oab1b2,故12ab bs=12 |b1b2| |oa|=|ob2| |oa|=c2 b=b2. 由题设条件12ab bs=4 得 b2=4,从而 a2=5b2=20, 因此所求椭圆的标准

19、方程为2x20+2y4=1. (2)由(1)知 b1(-2,0),b2(2,0).由题意知直线 l的倾斜角不为 0,故可设直线 l的方程为 x=my-2.代入椭圆方程得(m2+5)y2-4my-16=0, 设 p(x1,y1),q(x2,y2),则 y1,y2是上面方程的两根,因此 y1+y2=24mm5+,y1 y2=-216m5+, 又2b p=(x1-2,y1),2b q=(x2-2,y2), 所以2b p2b q=(x1-2)(x2-2)+y1y2=(my1-4)(my2-4)+y1y2=(m2+1)y1y2-4m(y1+y2)+16=-2216(m1)m5+=2216mm5+16=-

20、2216m64m5+. 由 pb2qb2,得2b p2b q=0,即 16m2-64=0,解得 m=2. 所以满足条件的直线有两条,其方程分别为 x+2y+2=0 和 x-2y+2=0. 21.(2012 重庆,理 21)设数列an的前 n 项和 sn满足 sn+1=a2sn+a1,其中 a20, (1)求证:an是首项为 1的等比数列; (2)若 a2-1,求证:snn2(a1+an),并给出等号成立的充要条件. (1)证法一:由 s2=a2s1+a1得 a1+a2=a2a1+a1,即 a2=a2a1, 因 a20,故 a1=1,得21aa=a2, 又由题设条件知 sn+2=a2sn+1+a

21、1,sn+1=a2sn+a1, 两式相减得 sn+2-sn+1=a2(sn+1-sn),即 an+2=a2an+1, 11 / 12 由 a20,知 an+10,因此n 2n 1aa+=a2, 综上,n 1naa+=a2对所有 nn*成立.从而an是首项为 1,公比为 a2的等比数列. 证法二:用数学归纳法证明 an=n 12a,nn*. 当 n=1时,由 s2=a2s1+a1,得 a1+a2=a2a1+a1,即 a2=a2a1,再由 a20,得 a1=1, 所以结论成立. 假设 n=k 时,结论成立,即 ak=k 12a,那么 ak+1=sk+1-sk=(a2sk+a1)-(a2sk-1+a

22、1)=a2(sk-sk-1)=a2ak=k2a. 这就是说,当 n=k+1时,结论也成立. 综上可得,对任意 nn*,an=n 12a.因此an是首项为 1,公比为 a2的等比数列. (2)证法一:当 n=1或 2 时,显然 sn=n2(a1+an),等号成立. 设 n3,a2-1且 a20.由(1)知 a1=1,an=n 12a,所以要证的不等式化为1+a2+22a+n 12na2(1+n 12a)(n3), 即证:1+a2+22a+n2n1a2+(1+n2a)(n2). 当 a2=1 时,上面不等式的等号成立. 当-1a21 时,r2a-1 与n r2a+-1(r=1,2,n-1)同为正.

23、 因此当 a2-1 且 a21时,总有(r2a-1)(n r2a+-1)0,即r2a+n r2a1+n2a(r=1,2,n-1). 上面不等式对 r从 1 到 n-1求和得 2(a2+22a+n 12a)(n-1)(1+n2a), 由此得 1+a2+22a+n2a-1且 a20时,有 snn2(a1+an),当且仅当 n=1,2或 a2=1 时等号成立. 12 / 12 证法二:当 n=1或 2 时,显然 sn=n2(a1+an),等号成立.当 a2=1时,sn=n=n2(a1+an),等号也成立. 当 a21时,由(1)知 sn=n221 a1 a,an=n 12a.下证: n221 a1

24、a-1且 a21). 当-1a21 时,上面不等式化为(n-2)n2a+na2-nn 12an-2(n3).令 f(a2)=(n-2)n2a+na2-nn 12a. 当-1a20,故 f(a2)=(n-2)n2a+na2(1-n 22a)(n-2)|a2|nn-2, 即所要证的不等式成立. 当 0a21 时,对 a2求导得 f(a2)=n(n-2)n 12a-(n-1)n 22a+1=ng(a2). 其中 g(a2)=(n-2)n 12a-(n-1)n 22a+1,则 g(a2)=(n-2)(n-1)(a2-1)n 32ag(1)=0,从而 f(a2)=ng(a2)0,进而 f(a2)是(0,1)上的增函数,因此 f(a2)1 时,令 b=21a,则 0b1,由已证的结论知n2211a11a-1且 a20时,有 snn2(a1+an),当且仅当 n=1,2或 a2=1 时等号成立.