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1、思维点拨：相交线与平行线【例1】已知，如图，直线AB、CD相交于O，OE平分BOD且AOE=150°，你能求出AOC的度数吗？【思考与分析】观察图形我们可知，AOE与BOE是邻补角，所以BOE的度数可求，又由OE是BOD的角平分线可求得 BOD=2BOE，而AOC与BOD是对顶角，故AOC可求.解： AB是直线（已知），    AOE与BOE 是邻补角（邻补角定义）.    AOE+BOE=180°（补角定义）.   又AOE=150°（已知），    B

2、OE=180°-AOE=180°150°=30°（等式性质）.    OE平分BOD（已知），    BOD=2BOE（角平分线定义）.    即 BOD=2×30°60°.    AOC与BOD是对顶角（由图可知），    AOCBOD（对顶角相等）.    AOC60°.反思：在思考过程中抓住角平分线DE与各个角的关系是解题的关键.&

3、#160; 【例2】 如图，直线AB、CD相交于点O，OEAB于点O，OF平分AOE，1=15°30，则下列结论中不正确的是（      ）.    A.2=45°              B.1=3    C.AOD与1互为补角         D.1的余

4、角等于75°30        思考与解: OEAB，AOE=90°.    OF平分AOE，       1与3是对顶角，1=3.B正确.    AOD与1互为补角.C正确.    1=15°30，1的余角=90°-15°30=74°30.D不正确.故选D.【小结】我们在做这类选择题时，首先把题中条件与图形一一对应，然后看每个结论是否与

5、条件冲突.【例3】已知，如图，直线AB、CD互相垂直，垂足为O，直线EF过点O，DOF32°，你能求出AOE的度数吗？   【思考与分析】我们由ABCD可知AOC90°，因此，AOE与EOC 互余.又因为EOC与DOF是对顶角，于是EOC=32°，于是AOE可求. 解法一：直线CD与EF交于O（已知），   EOC=DOF （对顶角相等）.   DOF32°（已知），      EOC=32°（等量代换）.   AB

6、、CD互相垂直（已知），     AOC90°（垂直定义）.     AOE+EOC=90°.     AOE=90°-EOC=90°-32°=58°.  解法二：直线AB、CD互相垂直（已知），      BOD90°（垂直定义）.      BOF+DOF=90°.      DOF32

7、6;（已知），      BOF=90°-DOF=58°.    直线AB与直线EF交于点O（已知），    AOE=BOF（对顶角相等）.    AOE58°.     反思：第一种解法先用对顶角后用互余，第二种解法先用互余后用对顶角，我们在平时做题时也应该多想多做，多角度分析解决问题.【例4】 如图3，直线AB与CD相交于点F，EFCD，则AFE与DFB之间的关系是_.  

8、      【思考与分析】我们由所给的条件EFCD，得CFE=90°，也就是说AFEAFC=90°，又根据对顶角相等，得AFCDFB，所以AFEDFB=90° .本题也可利用平角的定义来解，即由 AFEDFBEFD=180°，又因为EFD=90°，所以AFEDFB=90°.    解： AFE与DFB互为余角（或AFEDFB=90°）.    【小结】这类题目的特点是有条件而无结论，要从所给的条件出发，通过分析、比较、猜想，寻

9、找多种解法和结论，再进行说理证明.这类题目具有较强的探索性，思维空间较大且灵活，突破了死记概念的传统模式.【例5】 平行直线AB和CD与相交直线EF、GH相交，图中的同旁内角共有（      ）对.    A. 4对   B. 8对    C. 12对   D. 16对    【思考与解】我们可将原图分解为八个“三线八角”即“直线AB和CD 被直线EF所截”、“直线AB和CD 被直线GH所截”、“直线EF和GH被直线

10、AB所截”、“直线EF和GH被直线CD所截”、“直线AB和EF被直线GH所截”、“直线EF和CD 被直线GH所截”、“直线AB和GH被直线EF所截”、“直线GH和CD 被直线EF所截”.每一个“三线八角”都有两对同旁内角，故原图中共有16对，因此选择D.    【小结】解这类问题，关键是如何用图形分解法把图形分成若干个“三线八角”. 【例题】（1）如图1，在ABC中，ABC=90°， A=50°，BDAC，则CBD的度数是           &

11、#176;.        （2）已知：如图2，直线ABCD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，BEF的平分线与DFE 的平分线相交于点P你能说明P=90°吗？        （3）如图3，已知ABCD，C=75°，A=25°，则E的度数为        .         【思考与解】（1）解法一：由题意

12、我们知BDAC.所以ABD+BAC=180°.所以CBD=180°-50°-90°=40°.    解法二：由题意我们知C=90°-A=90°-50°=40°.    又因为BDAC.  所以CBD=C=40°.    （2）因为ABCD.     所以根据平行线的性质得：BEF+EFD=180°.    又因为EP、FP分别平

13、分BEF和EFD.        所以P=180°-（1+2）= 180°-90°=90°.    （3）因为ABCD.  所以BFE=C=75°.    所以AFE=180°-BFE= 180°-75°=105°.    所以E=180°-A-AFE=180°-25°-105°=50° 

14、   反思：我们在做这类题的时候，一定要想是不是这样做最简单，是不是只有这一种解法？【例6】如图1，如果B1=250°，那么D    .    【思考与分析】我们通过观察图形，由B1=250°可得ABDC、ADBC，再利用其性质同旁内角互补可得D的度数.    解：因为B1，所以ABDC，    所以BBCD=180°，BCD=130°.    又因为B2，所以ADBC， &#

15、160;  所以BCDD=180°，D=50°.    反思：我们解题时用的是同旁内角互补.还可以利用D1B50°.也可以利用D2B50°.大家可以试一试.            【例7】如图2，直线l1、l2分别与直线l3、l4相交，1与3互余，3的余角与2互补，4125°，则3       .    思考与解：因为1与3互余

16、，3的余角与2互补，    所以12180°.    所以l1l2.    所以35180°455°.    反思：我们难以理解的是为什么12180°？我们可由题意列式1390°，90°32180°.两个式子相加可得12180°.在解决有关平行问题的时候，有时需要添加必要的辅助线，而添加平行线作为辅助线，更是解决此类问题好的帮手.下面举几例说明.    【例8】如图1

17、所示，直线ab，ACF50°，ABE28°，求A的大小.    【思考与分析】要求A的大。丶侨范ǜㄖ叩奈恢.于是我们会想到过点A作ADb，这样利用平行线的知识即可求解.    解：过点A作ADb，则DACACF50°.    又因为ab，    所以ADa.    所以DABABE28°.    所以BACDACDAB50°28°22°，即

18、A的大小是22°.    反思：在解题时我们做ADb，那么是不是必须要做辅助线呢？我们继续思考：A在ABG中，ABE也在ABG中且等于28°，那么只要求出AGB的度数，就可求A的度数.    【例9】如图2，ABCD，EO与FO相交于点O，试猜想AEO、EOF、CFO之间的关系，并说明理由.    【思考与分析】由于BEO、EOF、DFO三个角的位置较散，设法通过辅助线使之相对集中，我们可以考虑ABCD，可以过点O作MNAB，这样即可找到三个角之间的关系了.由此猜想AEO+CFO+EO

19、F=360°.    解：过点O作MNAB.    因为ABCD，    所以CDMN.    所以AEO+EOM=180°，MOF+CFO=180°.    所以AEO+CFO+EOF=AEO+EOMMOF+CFO180°180°360°.    反思：我们解这道题是用的两组同旁内角之和.其实我们还可以连结EF，正好把这三个角分成一组同旁内角和一个三角形的

20、三个内角.由同旁内角和三角形内角和可得出同样的结论.        【例10】如图3，已知ABED，A+E，B+C+D.试探索与2的数量关系，并说明你的理由.        【思考与分析】我们由已知条件ABED可知A+E180°，于是只需知道B+C+D的大小即可探索出与2的数量关系.此时可以过点C作CFAB，从而求出B+C+D360°，即有2.    解：猜想2.    理由是：过C作CFAB，    因为 ABED，    所以A+E180°.    又因为ABED，    所以CFDE，即（B+1）+（2+D）360°.    故2.    【小结】这道题的思路与我们做的上题是相同的，也可以连结BD来解.