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1、会计学1D函数的极值与最值函数的极值与最值2温故知新温故知新1.可导函数单调性判别可导函数单调性判别2.曲线凹凸的判别曲线凹凸的判别( )0,fxxI ( )yf xI 函函数数在在 上上单单调调递递增增. .( )0,fxxI ( )yf xI 函函数数在在 上上单单调调递递减减. .定理定理1:( )0,( )fxxIyf xI 曲曲线线在在 上上是是凹凹的的. .( )0,( )fxxIyf xI 曲曲线线在在 上上是是凸凸的的. .定理定理2:3.拐点的定义拐点的定义:注:注:拐点是拐点是曲线上曲线上的点的点,是一对有序的实数是一对有序的实数.第1页/共25页3二、最大值与最小值问题最

2、大值与最小值问题一、函数的极值及其求法函数的极值及其求法 第五节函数的极值与 最大值最小值 第三三章 三、应用举例三、应用举例第2页/共25页41.定义定义:(1) (2) 极大点与极小点统称为极大点与极小点统称为极值点极值点 .问:极值点是连续点吗?问:极值点是连续点吗?一、函数的极值及其求法一、函数的极值及其求法0 x极大值与极小极大值与极小值值统称为统称为极值极值 .第3页/共25页5注意:注意:极值与最值的区别:极值与最值的区别:是对整个区间而言,是对整个区间而言,绝对的、绝对的、极值:极值:最值:最值:是对某个点的邻域而言、是对某个点的邻域而言、可以不是唯一的可以不是唯一的.极大值不

3、一定都大于极小值极大值不一定都大于极小值.如何求极值?如何求极值?观察图形知:观察图形知:是整体的、是整体的、唯一的唯一的.是局部的、相对的、是局部的、相对的、最值可在区间端点处取得最值可在区间端点处取得,而极值只能在区间的而极值只能在区间的内点内点处取得处取得.oab可导可导函数函数极值点处极值点处的的导数导数是是零零.第4页/共25页62.定理定理1 (极值必要条件极值必要条件)(费马定理费马定理)取得极值取得极值注意:注意:1)可导函数可导函数的的极值点极值点驻点驻点如:如:即:可导函数的极值点即:可导函数的极值点驻点驻点2) 在在0 x点连续但不可导,点连续但不可导,也可能是极值点也可

4、能是极值点.如:如:却却是极小值点是极小值点.也也不是极值点不是极值点.3)极值点的极值点的可疑点:可疑点:(在定义域在定义域内内部的部的)驻点驻点,不可导点不可导点.即:极值点即:极值点驻点驻点,不可导点不可导点问:如何能快速的说明一个函数没有极值?问:如何能快速的说明一个函数没有极值?xyo0,x 在在处处连连续续而而不不可可导导oxy3yx yOx3yx 第5页/共25页73.定理定理 2 (第一充分条件,极值第一判别法第一充分条件,极值第一判别法)内有导数内有导数,( )fx (1) “左正右负左正右负” ,(2) “左负右正左负右正” ,( )fx (3) “左右符号相同左右符号相同

5、” ,( )fx xx0 x0 x左正右负极大左正右负极大左负右正极小左负右正极小x0 x左右同号无极值左右同号无极值x0 x说明:说明:1)定理中的条件定理中的条件2)该定理适用于:该定理适用于:0 x是驻点或不可导的是驻点或不可导的连续连续点点.0 x若不连续若不连续,0( ),fxx 即即使使变变号号也未必是极值点也未必是极值点.第6页/共25页8解:解:例例1.极大值极大值不可导不可导故故极大值极大值为:为:极小值极小值为:为: 极小值极小值第7页/共25页9求极值的步骤求极值的步骤:(1)求求定义区间,定义区间,求导数求导数(2)求求驻点驻点以及以及不可导的点不可导的点(在定义区间在

6、定义区间内内);(3)检查检查在在驻点及不可导点左右的符号,驻点及不可导点左右的符号,判断出极值点;判断出极值点;(最好列表最好列表)(4)求极值求极值.求极值的步骤与求单调区间的步骤基本相同求极值的步骤与求单调区间的步骤基本相同.第8页/共25页10例例2. 求函数求函数解解:1)2)令令得得3) 列表判别列表判别xy极极大大值值是极大点,是极大点,其极其极大大值为值为是极小点,是极小点,其极其极小小值为值为无导数不存在的点无导数不存在的点.1第9页/共25页114.定理定理3 (极值第二判别法极值第二判别法)二阶导数二阶导数 , 且且证:证:同理可证同理可证(2).由第一判别法知:由第一判

7、别法知:注意:注意:1.第二充分条件适用于第二充分条件适用于:驻点驻点需用第一判别法判别需用第一判别法判别.第10页/共25页12例例3. 求函数求函数解解:1)2) 令令( )0 ,fx 得得3)计算计算是极大点,是极大点, 其极大值为其极大值为是极小点,是极小点, 其极小值为其极小值为第11页/共25页13例例4. 求函数求函数解解: 1) 求定义域及导数求定义域及导数2) 求驻点求驻点令令得驻点得驻点3) 判别判别故需用第一判别法判别故需用第一判别法判别.1xy1:(,).D 第12页/共25页14试问试问 为何值时为何值时,极值?极值?解解: 由题意应有:由题意应有:又又取得极大值为:

8、取得极大值为:例例5.并求此极值并求此极值.它是极大值还是极小值?它是极大值还是极小值?提示:提示:P163T3第13页/共25页15观察:观察:端点的函数值;端点的函数值;驻点的函数值;驻点的函数值;不可导点不可导点的函数值的函数值.来自于来自于二、闭区间上连续函数的最值的求法二、闭区间上连续函数的最值的求法结论:结论:(2)12(),(),(),mf xf xf x( ),( )f af bo1x4xab2x6x5x( )yf x 第14页/共25页16例例1. 求函数求函数解解:1) 求导数求导数2) 求极值可疑点求极值可疑点不可导点不可导点3) 计算最值可疑点处的函数值计算最值可疑点处

9、的函数值( 1)2f 是最大点,是最大点,其最大值为其最大值为(0)0f 是最小点,是最小点,其最小值为其最小值为( 1)2f 第15页/共25页17例例2. 求函数求函数解解:故函数在故函数在取最小值取最小值 0 ;取最大值取最大值 20.思考:思考:第16页/共25页18xoy结论:结论:11000( )()( )xyf xx f xyf x 为为的的极极值值点点时时,会会不不会会是是曲曲线线的的拐拐点点?思考:思考:第17页/共25页19特别特别: 当当就是就是最最大大(小小)值值.常用于解决实际问题常用于解决实际问题. 求求如果在区间如果在区间 内可导且只有一个极值点内可导且只有一个极

10、值点,则这个则这个极极大大(小小)值值 Ixyoab0 xxyabo0 x对于实际问题对于实际问题,若在定义区间内有若在定义区间内有唯一驻点唯一驻点,且知且知最最大大(小小)值值一定存在一定存在,而且一定在定义区间而且一定在定义区间内部内部取得取得,则可则可不必讨论是否为不必讨论是否为极值极值,就可断定该点就是就可断定该点就是最大最大(小小)值点值点. 第18页/共25页20 某房地产公司有某房地产公司有50套公寓要出租套公寓要出租,当月租金定为当月租金定为1000元时元时,公寓会全部租出去公寓会全部租出去.当月租金每增加当月租金每增加50元时元时,就会多一套公寓租不就会多一套公寓租不出去出去

11、,而租出去的公寓每月需花费而租出去的公寓每月需花费100元的维修费元的维修费.试问房租定为试问房租定为多少可获得最大收入?多少可获得最大收入?解:解: 设房租为每月设房租为每月每月总收入为:每月总收入为:租出去的房子有:租出去的房子有:(唯一驻点唯一驻点)故每月每套租金为故每月每套租金为1800元时收入最高元时收入最高.三、应用举例三、应用举例实际问题求最值的步骤实际问题求最值的步骤:(1)建立目标函数建立目标函数; (2)判断并求最值判断并求最值.P164T15 例例3.第19页/共25页21T解:解:如图如图,0 例例4.第20页/共25页22例例5. 求数列求数列的最大项的最大项 .证证

12、:求导得求导得列表判别列表判别:x( )fx ( )f x 0因此在因此在处处也取也取最最大值大值 .又因又因内只有唯一的内只有唯一的极极大点大点P183T14第21页/共25页23内容小结内容小结1. 连续函数的极值连续函数的极值(1) 极值可疑点极值可疑点 :使一阶导数为使一阶导数为0 或不存在的点或不存在的点x.(2) 第一充分条件第一充分条件:(3) 第二充分条件第二充分条件:0()f x为为极极大大值值;0()f x为为极极小小值值. .第22页/共25页242. 连续函数的最值连续函数的最值( ) , f xa b求求连连续续函函数数在在闭闭区区间间上上最最值值的的方方法法步步骤骤

13、:(2)12(),(),(),mf xf xf x( ),( )f af b12(),(),(),mf xf xf x( ),( )f af b特别特别: 当当 求求( )( , )lim( ), lim( )xaxbf xa bf xf x 在在内内的的最最值值时时, ,把把参参与与比比较较;就是就是最最大大(小小)值值.如果在区间如果在区间 内可导且只有一个极值点内可导且只有一个极值点,则这个则这个极极大大(小小)值值 I第23页/共25页25思考与练习思考与练习B(A) 取得极大值取得极大值 ;(B) 取得极小值取得极小值 ;(C) 在某邻域内单调增加在某邻域内单调增加 ;(D) 在某邻域内单调减少在某邻域内单调减少.提示提示:A作业作业:P162 1(2)(8)(9);5;6;16. 预习预习:P164-174第24页/共25页

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