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1、数列基础知识梳理一、 数列1、 数列的定义数列是按照一定顺序排列着的一列数,在函数的意义下,数列是某一定义域为正整数或它的有限子集1,2,3,4,n的函数,即当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值,其图像是无限个或有限个孤立的点,数列的一般形式为 通常简记为 ,其中是数列的第n项,也叫通项。注意:1)与是不同的概念,表示数列而表示的是这个数列的第n项2)数列与集合的区别集合中元素性质:确定性,无序性,互异性;数列中数的性质:确定性,有序性,可重复性。2、 数列的通项公式当一个数列的第n项与项数n之间的函数关系可以用一个公式来表示,就把这个公式叫数列的通项公式,可根据数列的通项公式算出数列的
2、各项,也可判断给定的数是否为数列中的项或可确定是第几项。但不是所有数列都可以写出通项公式,数列的通项公式也不唯一。3、 数列的表示方法数列看成一个特殊的函数,所有从函数的观点出发,数列的表示方法有以下三种:1)解析法:通项公式和递推公式两种;2)列表法3)图像法(数列的图像是一系列孤立的点)4、 数列的分类(1)有穷数列和无穷数列(2)单调数列,搬动数列,常数列5、 6、 等差数列1)定义:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母 表示定义的表示为:或者公差可正可负或为零,为零时,数列为常数列。2)等
3、差数列的通项公式对于第二个公式要求 是数列中的项即可,也可表示为3)等差数列的增减性4)等差中项任意两个数有且仅有一个等差中项 ,即。5)等差数列前项和公式(倒序相加法)第二个公式可整理成,设 则,可看成是关于的二次函数(常数项为0)那么可以得出一下结论:7、 等比数列1) 定义:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等差数列的公比,公差通常用字母 表示定义的表示为:或者公比;当时,数列为常数列。2)等比数列的通项公式3)等比数列的增减性4)等比中项如果在 中间插入一个数 使 成等比数列,那么叫做的等比中项。如果是的等比中项,那
4、么 ;只有同号的两个数才有等比中项。一个等比数列从第2项起,每一项(有穷数列的末项除外)是它的前一项与后一项的等比中项。5)等比数列前项和公式等比数列前项和公式的特点:当 可以化为 ,那么 二、 等差数列、等比数列的性质1. 等差数列的性质(1)若公差 ,此数列为递增数列;若公差,此数列为递减数列;若,此数列为常数列。(2)有穷等差数列中,与首末两项距离相等的两项和相等,并且等于首末两项之和;特别地若项数为奇数,还等于中间项的2倍。(3)若 ,特别地若此条性质可推广到多项的情形,但要注意等式两边下标和相等,并且两边和的项数相同。(4)等差数列每隔相同项抽出来的项按照原来的顺序排列,构成新数列依
5、然是等差数列,但剩下的项不一定是等差数列(5)等差数列连续几项之和构成的新数列依然是等差数列,即 是等差数列。(6)若数列 和数列是等差数列,则也是等差数列,其中 为常数。(7)项数为偶数 的等差数列,有项数为奇数 的等差数列,有2. 等比数列的性质(1)单调性(2)有穷等比数列中, 与首末两项等距离的两项积相等,并且等于首末两项之积;特别地若项数为奇数,还等于中间项的平方。(3)若 ,特别地若(4) 等比数列每隔相同项抽出来的项按照原来的顺序排列,构成新数列依然是等比数列,但剩下的项不一定是等比数列.(5) (6) 等比数列连续几项之和构成的新数列依然是等比数列,即 是等比数列。(7) 若数列 和数列是等比数列,则也是等比数列,其中 为常数。三、 等差数列、等比数列的判断方法1. 等差数列的判定方法(1)定义法: (2)通项公式法: (3)中项公式法: (4)前n项和公式法: 2. 等比数列的判定方法(1)定义法: (2)通项公式法: (3)中项公式法: (4)前n项和公式法:
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