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1、二次函数与一元二次方程二次函数与一元二次方程1.一般地,已知二次函数y=ax2+bx+c的函数值为m,求自变量x的值,可以看作解一元二次方程.反之,解一元二次方程ax2+bx+c=m又可以看作求使已知二次函数y=ax2+bx+c的值为m的自变量x的值.特别地,如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点,公共点的横坐标是x0,那么当时,函数值是0,因此x=x0就是方程ax2+bx+c=0的一个根.2.已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标是A(-1,0),B(2,0),则一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为.ax2+bx+c=m x=x0 x1=-1,x2=2 3.抛物线y=ax

2、2+bx+c与x轴的位置关系(一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式=b2-4ac):(1)当=b2-4ac0时抛物线y=ax2+bx+c与x轴有个公共点;(2)当=b2-4ac=0时抛物线y=ax2+bx+c与x轴只有个公共点;(3)当=b2-4ac0时抛物线y=ax2+bx+c与x轴公共点.4.若抛物线y=kx2-7x-7和x轴有交点,则k的取值范围是()两 一 没有 B 二次函数与一元二次方程的关系【例】 已知关于x的二次函数这两个二次函数的图象中有一条与x轴交于A,B两个不同的点.(1)试判断哪个二次函数的图象与x轴交于A,B两个不同的点;(2)若点A的坐标为(-1,0),试求出

3、点B的坐标;(3)在(2)的条件下,对于经过A,B两点的二次函数,当x取何值时,函数值y随x值的增大而减小?分析利用一元二次方程根的判别式即可轻松判断抛物线与x轴的交点情况.同时利用函数图象与x轴的交点坐标可得方程的解,再通过解一元二次方程求其他点的坐标.整理,得m2-2m=0,解得m=0或m=2.当m=0时,y=x2-1.令y=0,得x2-1=0,解得x1=-1,x2=1.此时点B的坐标是B(1,0).当m=2时,y=x2-2x-3.令y=0,得x2-2x-3=0,解得x1=-1,x2=3.此时点B的坐标是B(3,0).(3)当m=0时,二次函数的解析式为y=x2-1,此时函数图象开口向上,

4、对称轴为x=0,所以当x0时,函数值y随x值的增大而减小;当m=2时,二次函数关系式为y=x2-2x-3,即y=(x-1)2-4,此时函数图象开口向上,对称轴为x=1,所以当x0,抛物线与x轴有2个交点;(2)抛物线与y轴交点个数情况:交点坐标为(0,4).因此抛物线与坐标轴的交点个数是3.故选A. 答案解析关闭A6123453.“如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点,那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根.”请根据你对这句话的理解,解决下面的问题:若m,n(mn)是关于x的方程1-(x-a)(x-b)=0的两根,且ab,则a,b,m,n的大小关系是()A.mabnB.amnbC.ambnD.manb 答案解析解析关闭 答案解析关闭6123454.(1)已知二次函数y=kx2+3x+4图象的最低点在x轴上,则k=;(2)已知抛物线y=x2+bx+2的顶点在x轴的正半轴上,则b=. 答案解析解析关闭 答案解析关闭6123455.如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,其对称轴为直线x=1,若其与x轴一交点为A(3,0),则由图象可知,不等式ax2+bx+c0的解集是. 答案 答案关闭-1x36123456.利用二次函数的图象求方程- x2+x+2=0的近似解(精确到0.1).612345