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kok电子竞技:文档简介
1、一元二次方程知识点的总结知识结构梳理(1)含有个未知数。I (2)未知数的最高次数是 1 1、概念1 (3)是方程。I (4) 一元二次方程的一般形式是户)一元二次方程2、解法(2)(3)(4)法,适用于能化为 x m)2 n n 0 的二次方程法,即把方程变形为ab=0的形式,(a, b为两个因式),贝Ua=0或法法,其中求根公式是 儿。(5)当 当, 当.时,时,方程有两个不相等的实数根0 方程有两个相等的实数根。时,方程有没有的实数根。可用于解某些求值题元二次方程的应用I可用于解决实际问题的步骤(1)(2)(3)(4)(5)(6)知识点归类建立一元二次方程模型知识点一 一元二次方程的定义
2、如果一个方程通过移项可以使右边为0,而左边只含有一个未知数的二次多项式,那么这样的方程叫做一元二次方程。注意:一元二次方程必须同时满足以下三点:方程是整式方程。它只含有一个未知数未知数的最高次数是 2.同时还要注意在判断时,需将方程化成一般形式。例 下列关于X的方程,哪些是一元二次方程?2CC一2 3;x 6x 0; (3) Mx x 5; (4)x 5x20; (5) 2x(x 3) 2x2 1知识点二一元二次方程的一般形式 2元二次方程的一般形式为ax2 bx c 0(a, b, c是已知数,a 0)。其中a, b, c分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。注意:(1)二次项、二次项系数
3、、一次项、一次项系数,常数项都包括它前面的符号。(2)要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项,必须把它先化为一般形式。2(3)形如ax bx c 0不一定是一元二次万程,当且仅当 a 0时是一元二次万程。例1将下列方程化为一般形式,并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项一、27-_ 2(1) 5x -x;(2)x 2 x 38;3x4 x 3 x 22一2 c例2已知关于x的方程m 1xm 2 m 1x 2 0是一元二次方程时,则m 知识点三一元二次方程的解2使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解,如:当x 2时,x 3x 2 0所以x 2是2 一 一 一、
4、一,、一.,叫一元二次方程的根。x 3x 20方程的解。一元二次方程的解也知识点四建立一元二次方程模型建立一元二次方程模型的步骤是:审题、设未知数、列方程。注意:(1)审题过程是找出已知量、未知量及等量关系;(2)设未知数要带单位;(3)建立一元二次方程模型的关键是依题意找出等量关系。例 如图(1),有一个面积为 150 H的长方形鸡。Τ∫槐呖壳剑ㄇ匠 18m),另三边用竹篱笆围成,若竹篱笆的长为 35m,求鸡场的长和宽各为多少?鸡。ㄖ簧栉粗,列出方程,并将它化成一般形式。)因式分解法、直接开平方法知识点一因式分解法解一元二次方程如果两个因式的积等于 0,那么这两个方程中至少有一个等于
5、0,即若pq=0时,则p=0或q=0。用因式分解法解一元二次方程的一般步骤:(1)将方程的右边化为 0; (2)将方程左边分解成两个一次因式的乘积。(3)令每个因式分别为0,得两个一元一次方程。(4)解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解。关键点:(1)要将方程右边化为 0; (2)熟练掌握多项式因式分解的方法,常用方法有:提公式法,公式 法(平方差公式,完全平方公式)等。例 用因式分解法解下列方程:22(3) x 6x 95 2x 。22(1) 5x2 4x ;(2x23)250 ;知识点二直接开平方法解一元二次方程2右x a a 0 ,则x叫做a的平万根,表示为 xJa ,这种解一元
6、二次方程的方法叫做直接开平方法。(1) x2 a a 0 的解是 xVa- ; (2) x m 22c nmx n c m 0,且c 0的解是x mn n 0的解是xJnm ;(3)例用直接开平方法解下列一元二次方程(1) 9x2 16 0 ;(2) x 5 2160;(3)225 3x 1知识点三灵活运用因式分解法和直接开平方法解一元二次方程2形如ax b k 0 k 0的方程,既可用因式分解法分解,也可用直接开平方法解。例运用因式分解法和直接开平方法解下列一元二次方程。22(1) 4 x 5360 ;(2) 1 2x 30知识点四用提公因式法解一元二次方程把方程左边的多项式(方程右边为0时
7、)的公因式提出,将多项式写出因式的乘积形式,然后利用“若pq=0时,则p=0或q=0”来解一元二次方程的方法,称为提公因式法。如:0.01t22t 0 ,将原方程变形为t 0.01t 20 ,由此可得出t 0或 0.0t 2 0,即 t10,t2200注意:在解方程时,千万注意不能把方程两边都同时除以一个含有未知数的式子,否则可能丢失原方 程的根。知识点五形如“ x2 a b x b对于形如“ x2 a b x b将左边分解因式,方程变形为x a x0 a, b为常数0 a,b为常数b 0 ,则 x”的方程的解法。”的方程(或通过整理符合其形式的),可a 0或 x b 0 ,即 x1a, x2
8、b。注意:应用这种方法解一元二次方程时,要熟悉特征。例解下列方程:(1) x2 5x 60 ;x2 a b x b 0a,b为常数”型方程的(2) x2 x 120配方法知识点一配方法解一元二次方程时,在方程的左边加上一次项系数一半的平方,再减去这个数,使得含未知数的 项在一个完全平方式里,这种方法叫做配方,配方后就可以用因式分解法或直接开平方法了,这样解 一元二次方程的方法叫做配方法。注意:用配方法解一元二次方程 x2 px q 0 ,当对方程的左边配方时,一定记住在方程的左边加上一次项系数的一半的平方后,还要再减去这个数。例用配方法解下列方程:(1) x2 6x 5 0;(2) x2 7
9、x 2 02知识点二用配方法解二次项系数为1的一元二次方程用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤:(1)在方程的左边加上一次项系数的一半的平方,再减去这个数;(2)把原方程变为x m 2 n的形式。(3)若n 0,用直接开平方法求出x的值,若n<0,原方程无解。例解下列方程:x2 4x 30知识点三用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程当一元二次方程的形式为 ax2 bx c 0a 0,a 1时,用配方法解一元二次方程的步骤:(1)先把二次项的系数化为1:方程的左、右两边同时除以二项的系数;(2)移项:在方程的左边加上一次项系数的一半的平方,再减去这个数,把原方程化为x mn的形
10、式;(3)若n 0,用直接开平方法或因式分解法解变形后的方程。 例用配方法解下列方程:(1) 3x2 9x 20;(2) x2 4x 30公式法知识点一 一元二次方程的求根公式一元二次方程ax2 bx c 0 a用求根公式法解一元二次方程的步骤是:0的求根公式是:xbb2 4ac2a(1)把方程化为ax2 bx c 0 a 0的形式,确定的值a,b.c (注意符号);(2)求出b24ac 的值;(3)若b2 4ac 0 ,贝Ua,b.把及 b2 4ac的值代人求根公式x b "b2 4aC ,求出xi,x2。 2a例用公式法解下列方程(1) 2x2 3x 1 0;(2) 2x x 应
11、 1 0;(3) x2 x 25 0知识点二选择适合的方法解一元二次方程直接开平方法用于解左边的含有未知数的平方式,右边是一个非负数或也是一个含未知数 的平方式的方程因式分解要求方程右边必须是0,左边能分解因式;公式法是由配方法推导而来的,要比配方法简单。注意:一元二次方程解法的选择,应遵循先特殊,再一般,即先考虑能否用直接开平方法或 因式分解法,不能用这两种特殊方法时,再选用公式法,没有特殊要求,一般不采用配方法, 因为配方法解题比较麻烦。例 用适当的方法解下列一元二次方程:-、_2_ 一_22,一、(1) 2x39 2x3; (2) x28x 60 ; (3)x 2 (x 1)0知识点三一
12、元二次方程根的判别式一元二次方程ax2 bx c 0 a 0根的判别式 =b2 4ac运用根的判别式,不解方程,就可以判定一元二次方程的根的情况:(1) A=b2 4ac>0 方程有两个不相等的实数根;(2) =4ac=0 方程有两个相等的实数根;(3) A=b2 4ac <0 方程没有实数根;利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤:把所有一元二次方程化为一般形式;确定a,b.c的值;计算b2 4ac的值;根据b2 4ac的符号判定方程根的情况。例不解方程,判断下列一元二次方程根的情况:(1) 2x2 3x 50;(2) 9x230 x 25; (3) x2 6x 100根的
13、判别式的逆用知识点四在方程ax2 bx c 0 a 。中,(1)方程有两个不相等的实数根b2 4ac>0(2)方程有两个相等的实数根b2 4ac =0(3)方程没有实数根b2 4ac < 0注意:逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围,但不能忽略二次项系数不为 0这一条件。例 m为何值时,方程2m 1 x2 4mx 2m 3 0的根满足下列情况:(1)有两个不相等的实数;(2)有两个相等的实数根;(3)没有实数根;知识点五一元二次方程的根与系数的关系2bb右x1, *2是一兀一次方程ax bx c 0 a 0的两个根,则有x1 x2- ,x1x2 一aa根据一元二次方程的
14、根与系数的关系求值常用的转化关系:222xi x2(1)x1x2x1 x22x1 x2(2) xi x2x1x2x2 I = J x1 x2 22x24x1 x2(3) (x1a)(x2a)x1x2ax1x2a2;(4) I x1例已知方程2x2 5x 30的两根为x1, x2,不解方程,求下列各式的值/ /、 22/ 一、2(1) x1 x2 ;(2) x) x2 。知识点六根据代数式的关系列一元二次方程利用一元二次方程解决有关代数式的问题时, 要善于用一元二次方程表示题中的数量关系 (即列出方程),然后将方程整理成一般形式求解,最后作答。例 当x取什么值时,代数式x2 x 60与代数式3x
15、 2的值相等?一元二次方程的应用知识点一列一元二次方程解应用题的一般步骤(1)审题,(2)设未知数,(3)列方程,(4)解方程,(5)检验,(6)作答。关键点:找出题中的等量关系。知识点二用一元二次方程解与增长率(或降低率)有关得到问题增长率问题与降低率问题的数量关系及表示法: (1)若基数为a,增长率x为,则一次 增长后的值为a 1 x ,两次增长后的值为a 1 x2; (2)若基数为a,降低率x为,则一次 降低后的值为a1 x ,两次降低后的值为a1 x 20例 某农场粮食产量在两年内由3000吨增加到3630吨,设这两年的年平均增长率为x,列出关于X的方程为知识点三用一元二次方程解与市场
16、经济有关的问题与市场经济有关的问题:如:营销问题、水电问题、水利问题等。与利润相关的常用关系式有:(1)每件利润=销售价-成本价;(2)利润率=(销售价一进货价)+进货价x 100%;(3)销售额=售价X销售量例 某商店如果将进货价为8元的商品每件10元售出,每天可售200件,现在采取提高售价,减少进货价的方法增加利润,已知这种商品每涨价0.5元,其销量减少10件。(1)要使每天获得700元,请你帮忙确定售价。(2)当售价定为多少时,能使每天获得的利润最多?并求出最大利润。第二章一元二次方程(补充)只含有一个未知数的整式方程,且都可以化为 ax2 bx c 0 (a、b、c为常数,aw 0)的
17、形式,这样的方程叫一元二次方程。 把ax2 bx c 0 (a、b、c为常数,a*0)称为一元二次方程的一般形式,a为二次项系数;b为一次项系数;c为常数项。解一元二次方程的方法:配方法 < 即将其变为(x m)2 0的形式>b . b2 4ac一 ,一 、八公式法x 2a一(注意在找abc时须先把万程化为一般形式)分解因式法 把方程的一边变成0,另一边变成两个一次因式的乘积来求解。(主要包括“提公因式”和“十字相乘”)根与系数的关系:当b2-4ac>0时,方程有两个不等的实数根; 当b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根; 当b2-4ac<0时,方程无实数根。如果
18、一元二次方程ax2 bx c 0的两根分别为x1、x2,则有:x1 x2x1 x2 aa一元二次方程的根与系数的关系的作用:(1)已知方程的一根,求另一根;(2)不解方程,求二次方程的根x1、x2的对称式的值,特别注意以下公式:2 x22(xx2)2x1x21 1 x1 x2, ( x1 x2x1 x2(x x2)2(x12x2) 4x1x2| x1x2 |.(x1 x2)2 4x1x23x2(xx2)33x1x2(x1x2)(|x1| | x2 |)2 (x1 x2)2 2x1x2 2|xx2|其他能用x1 x2或x1x2表达的代数式。(3)已知方程的两根x1、x2,可以构造一元二次方程:x2 (x1 x2)x x1x2 0(4)已知两数 x1、x2的和与积,求此两数的问题,可以转化为求一元二次方程x2 (x1 x2)x x1x20 的根在利用方程来解应用题时,主要分为两个步骤:设未知数(在设未知数时,大多数情况 只要设问题为x;但也有时也须根据已知条件及等量关系等诸多方面考虑);寻找等量 关系(一般地,题目中会含有一表述等量关系的句子,只须找到此句话即可根据其列出方 程)。分析求解处理问题的过程可以进一步概括为:问题 D 方程 筌 解答抽象检验
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