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1、-!数值分析第1章 绪论学习小结本章学习体会通过本章的学习，让我初窥数学的又一个新领域。数值分析这门课，与我之 前所学联系紧密，区别却也很大。在本章中，我学到的是对数据误差计算，对误 差的分析，以及关于向量和矩阵的范数的相关内容。误差的计算方法很多，对于不同的数据需要使用不同的方法，或直接计算, 或用泰勒公式。而对于二元函数的误差计算亦有其独自的方法。 无论是什么方法, 其目的都是为了能够通过误差的计算，发现有效数字、计算方法等对误差的影响。而对误差的分析，则是通过对大量数据进行分析，从而选择出相对适合的算 法，尽可能减少误差。如果能够找到一个好的算法，不仅能够减少计算误差，同 时也可以减少计

2、算次数，提咼计算效率。对于向量和矩阵的范数，我是第一次接触，而且其概念略微抽象。因此学起 来较为吃力，仅仅知道它是向量与矩阵“大小”的度量。故对这部分内容的困惑 也相对较多。本章的困惑主要有两方面。一方面是如何能够寻找一个可靠而高效的算法。虽然知道算法选择的原则，但对于很多未接触的问题，真正寻找一个好的算法还 是很困难。另一方面困惑来源于范数，不明白范数的意义和用途究竟算什么。 希 望通过以后的学习能够渐渐解开自己的疑惑。本章知识梳理绪论F数值分析的研究对象Vy> 误差知识与算法知识丿Z向量范数与矩阵范数/2.1数值分析的研究对象J方法的构造LJ研究对象Ar求解过程的理论分析1 ,数值分

3、析是计算数学的一个重要分支， 研究各种数学问题的数值解法，包括 方法的构造和求解过程的理论分析。它致力于研究如何用数值计算的方法求解各 种基本数学问题以及在求解过程中出现的收敛性，数值稳定性和误差估计等内容。2.2误差知识与算法知识玄绻对误差、相对谋差与有字忑腿估计的基本方法4。算法及计算复杂性2.2.1误差来源误差按来源分为模型误差、观测误差、截断误差、舍入误差与传播误差五种。其中模型误差与观测误差属于建模过程中产生的误差，而截断误差、舍入误差与 传播误差属于研究数值方法过程中产生的误差。2.2.2绝对误差、相对误差与有效数字1. ( 1)绝对误差e指的是精确值与近似值的差值。绝对误差限：I

4、电1比浑=a+E(2) 相对误差是指绝对误差在原数中所占的比例。e相对误差：X a_uX a厂或E相对误差限：即主面"结论：凡是经过四舍五入而得到的近似值， 其绝对误差不超过该近似值末位 的半个单位。(3) 有效数字的定义有效数字的第一种定义：设a是x的近似值，如果a的误差绝对值不超过x 的第k位小数的半个单位，即I玄一狂11x107则称近似值a准确到小数点后第 k位。从小数点后的第k位数字直到最左边非零数字之间的所有数字都叫有效数 字。有效数字第二种定义：设数x的近似值x* = +0.xXa"-x X其中m是整 数，乳1咒2”是0,1,2，9中的任意数，但阳M 0 ,若k

5、算*1钗10皿7贝临*具有k位有效数字。通过学习总结出下面几个结论:(1) 若a是经过四舍五入而得到的近似值，则从它的末位数字到第一位非零数 字都是有效数字。(2) 将任何数乘以10p (p=0,± 1 ,± 2,)等于移动该数的小数点，并不影 响其有效数字。(3) 有效数字相同的两个近似值的绝对误差不一定相同。(4) 准确值被认为具有无穷多位有效数字。从有效数字的定义可以知道，由准确值经过四舍五入得到的近似值， 从它的末位数字到第一位非零数字都是有效数字。2. ( 1)相对误差与有效数字的关系:若近似数 疋= ±QXi驚r "聲E1 X L0E具有n位

6、有效数字，则其相对误差1肛巧O'!若近似数塞* =±0.x洋厂2工,其10的相对误差X则该II*1+3_近似数至少具有n位有效数字。结论：有效数字位数越多，相对误差越小。(2)绝对误差与有效数字的关系:若吐=±2岸工勿個k X 1QE其中m是整数，应=12”对是0到9中的一个数字，吐# 0.如果a作为数x的近似值，且 a具有n位有效数字，则若& = 士业巧弧X 10其中m是整数= 対是0到9中的一个数字，収如果a作为数x的近似值，如果|&町iMixityk" (n<fr )则a具有n位有效数字。结论：有效数字位数越多，绝对误差越小。2

7、.2.3误差估计的基本方法1. ( 1)对于一元函数:e(/(a)«rCa)eCa>君fa哄同(2) 二元函数:心询)志！勢心)dx(f(a,b)f(a,b)xf(a, b)y(b)(3) n元函数:iD£烷)设 = /(&)存在足够高阶的导数，a是自变量x的近似值，则U = /(a)是 ii = fOc)的近似值。如果f'(町=FMf9巩町=0,严唧何丰6且比值严d不是很大,则e/U)恕'f)* 05)严出)阳2.算数运算误差:E(a + b)= E(a) + E(b)E(ab) |a|c(b) + |b lefa)Ib|2*eW + eW*

8、 b)= la-blEr(ab)用 Ep(b) + E,(a)224算法及计算复杂性在数值计算中，要注意遵循一些原则，以保证数值稳定性。能控制舍入误差的传播。合理安排量级相差悬殊数间的运算次序，防止大数将小数吃掉。避免两个相近的数相减。(4)避免接近零的数做除数，防止溢出。(5)简化计算步骤，尽量减少运算次数。2.3向量范数与矩阵范数2.3.1向量范数1.向量范数满足三个条件:(1) 正定性(2) 齐次性(3) 成立三角不等式2.对于R“中的任一向量* =(电吃一兔丁则有1-范数(列范数)1x111 =叫2-范数(欧氏范数)IxlbP-范数llm II玄II = Ih,|p->a3 P1

9、x11.三 m瓷 13. 在空间R口中可以引进各种向量范数，且它们都满足下述向量定理:设卜INU是上的任意两种向量范数，则存在与向量x无关的数m和M（0<m<M ,使下列关系成立。也就是说，向量x的某一范数可以任意。ù螅┦，该向量的其它任意一种 范数也会任意。ù螅。232矩阵范数 1.定义在上的实值函数1111称为矩阵范数，如果对于中任意的矩阵A和B,阵范数满足下列条件:非负性齐次性(3)成立三角不等式(4) 相容性2.当一个问题中需要向量范数和矩阵范数时，向量范数和矩阵范数应该是相容 的。对于给定的向量范数和矩阵范数，如果对于任一个x 戌，A扌n，满足llAxll< l

10、lAllbll，则所给的向量范数和矩阵范数是相容的设在R口中给定了一种向量范数，对任意矩阵，令IIAll = Hl空 llAxll，由此定义的矩阵范数与给定的向量范数相容，将这种范数称为从属于所给定的向量范数的矩阵范数。3.设口，贝U： 矩阵A的列范数n=豊囂I致,f矩阵A的谱范数IIIL = Priu(AAJ矩阵的行范数n弗罗贝尼乌斯范数t|划|日=烹彳口4.设矩阵卫e討乂的某种范数llAli < 1,贝91 + A为非奇异矩阵，并且当这种范数为算子范数时，还有 11(1 土 AT II 匚話 成立。本章思考题问题:向量和矩阵有多种范数，如1范数、2范数、X范数。而作为向量和矩阵“大 小”的度量，为什么要用这么多种范数来度量，而不是专门指定一种范数? 个人理解： 1.对于不同向量和矩阵，从运算等方面考虑，某一种或几种范数在计算上较为简单方便； 2.对于不同领域，某一种或者几种范数，其应用价值和使用价值更高。四、本章测验题.试求IAp，p1,|a|f知识点：关于1-范数、X -范数、佛罗比尼乌斯范数的概念及其计算。解: A1max (2+卜5|+3,3+卜6|+5,4+卜7|+9 ) =20IAImax (2+3+4,卜5|+卜6|+卜7|,3+5+9 ) =18IAF7223242(5)2(6)2(7)2325292J254