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1、第1页共 5 页三角形“四心”向量形式的充要条件应用在学习了平面向量一章的基础内容之后，学生们通过课堂例题以及课后习题陆续接触了有关三角 形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件。现归纳总结如下：一.知识点总结MBMB1）O是ABC的重心：二OA - OB - OC = 0；1若O是ABC的重心，则SBOC =SAOC二SAOBSABCABC 故OAOB OC = 0；PG = *（PA PB PC） =G为ABC的重心.2）O是ABC的垂心:二OA OB = OB OC = OC OA；若 0 是AABC（非直角三角形）的垂心，则S售OC:S弹OC:S出OB=tanA:tanBitanC甲

2、車*故tan AOA tan BOB tanCOC =0- - -2 2 2 2 - 2 23）0 是匚ABC的外心二IOA|=|OB |=| OC |（或OA =OB = O C）若 0 是，ABC的外心则SBOC:SAOC:SAOB二sin BOC:sin AOC:sin AOB二sin2A:sin2B :sin2C故sin2AOA sin2BOB sin2COC =04）0 是内心ABC的充要条件是OA(坦-ACrOB(旦-匹rOC(竺-竺r。| AB | AC|BA | |BC |CA | |CB |引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记AB,BC,CA的单位向量为ei i，e2 2，

3、e3 3，则刚才 o 是ABC内心的充要条件可以写成：O A (ei ie3 3) ) = =0 B (ei ie2)=2)=0 C (e2 2e3)3) = =00 是ABC内心的充要条件也可以是aOA - bOB cOC二0若 0 是ABC的内心，贝USBOC:S.AOC:S.AOB二a：b：c故aOA bOB cOC二0或sinAOA sinBOB sinCOC二0；)| AB| PC |BC | PA |CA|PB =0= PABC的内心；向量（山（山B一 -AC.） 0）所在直线过ABC的内心（是.BAC的角平分线所在直线）；|AB| |AC|1范例位向量分别为0和e, 又0P -0

4、A二AP，则原式可化为A （e,e2），由菱形的基本性质知 AP 平分BAC，那么在ABC中，AP 平分.BAC，则知选 B.（一） 将平面向量与三角形内心结合考查 例 1. 0 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点AB ACP 满足OP =OA (ACABAC），定通过：ABC的（ ）（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心解析：因为是向量AB的单位向量设AB与AC方向上的单0：则P点的轨迹CAB第2页共 5 页AB点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生” ，首先AB是什么？没见过！想想，一个非零向量除AB以它的模不就是单位向量？此题所用的都必须是简单的基本知识，如向

5、量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起，解这道题一点问题也 没有。（二）将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例 2 . H 是厶 ABC 所在平面内任一点，HA HB =HB HC =HC HA由 HA HB =HB HC u HB （HC -HA） =0= HB AC =0= HB _ AC , 同理 HC _AB，HA _ BC故 H 是厶ABC 的垂心.（反之亦然（证略） 例 3.（湖南）P 是厶 ABC 所在平面上一点，若PAPB二PBPC二PC卩A，A .外心B .内心C.重心D .垂心解析：由PA PB二PB PC

6、得PAPB - PB PC = o.即PB （PA - PC） = 0,即PB CA = 0则PB _CA,同理PA_ BC,PC _ AB所以P 为ABC的垂心.故选 D.数量积为零，则两向量所在直线垂直点 H是厶ABC 的垂心.则 P 是厶 ABC 的（D ）点评：本题考查平面向量有关运算，及 识.将三角形垂心的定义与平面向量有关运算及 合。（三）将平面向量与三角形重心结合考查例 4.G 是厶 ABC 所在平面内一点，证明作图如右，图中 GB GC GE 连结 BE 和 CE，贝 U CE=GB，BE=GC 是 BC 的中点，AD 为 BC 边上的中线.将 GB GC =GE 代入 GA

7、GB GC = 0，得 GA EG =0= G-GE-2GD，故 G 是厶 ABC 的重心.（反之 亦然（证略）例 5 . P 是厶 ABC 所在平面内任一点.G 是厶 ABC 的重心1*1h=PG （PA PB PC）.证明 PG =PA AG =PB BG =PC CG = 3PG =（AG BG CG） （PA PB PC） G 是厶 ABC的重心 GA GB GC= 0= AG BG CG =0，即 3PG =PA PB PC由此可得 PG （PA PB PC）.（反之亦然（证略）3例6若O为ABC内一点，OA OB OC = 0，则O是ABC的（数量积为零，则两向量所在直线垂直”、三

8、角形垂心定义等相关知”等相关知识巧妙结重心定理GA GB - GC = 0：=点 G 是厶 ABC 的重心.BGCE 为平行四边形=DA.内心B.外心解析：由0A 0B 0C二0得0B 0C - -0A，如图以OB OC为相邻两边构作平行四边形，则OB+OC =0D，由平行四边形性质知OE =0D,OA = 2 OE，同理2C.垂心D.重心ED平行可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选 D。点评：本题需要扎实的平面几何知识，平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性=。本题在解题的过程中将平面向量的有关运算与1质：重心是三角形中线的内分点，所分这比为四边形的对角线互相平分及三角形重心性质等相关

9、知识巧妙结合。（四）.将平面向量与三角形外心结合考查第3页共 5 页第4页共 5 页A .内心B .外心C.垂心D.重心解析：由向量模的定义知0到ABC的三顶点距离相等。故0是ABC的外心，选 B。点评：本题将平面向量模的定义与三角形外心的定义及性质等相关知识巧妙结合。（五）将平面向量与三角形四心结合考查例 8已知向量 0P1，0P2，0P3满足条件OP+OP2+ OP3= o，|0P1|=|OP2i=|oP31=1, 求证 P1P2P3是正三角形（数学第一册（下），复习参考题五 B 组第 6 题）I证明 由已知 OR +OP2=-0P3，两边平方得 OPi OP2=-1同理 0P2 OP3=

10、0P3 OR =-2IRP2FIP2P3FIP3P1|=“3，从而 P1P2P3是正三角形反之，若点 0 是正三角形 P1P2P3的中心，则显然有 OR +OP2+ OF3=0 且|OP1|=|OP2|=|OP3|. 即 0 是厶 ABC所在平面内一点，OR +0P2+ 0P3= 0 且|0R |=|0P2|=|0P3|：=点 0 是正 P1P2P3的中心.例 9.在 ABC 中，已知 Q G H 分别是三角形的外心、重心、垂心。求证：Q G H 三点共线，且QG:GH=12【证明】：以 A 为原点，AB 所在的直线为 x 轴，建立如图所示的直角坐标系。设C（X2,y2），D E、F 分别为

11、AB BC AC 的中点，则有：._ X2(X2-Xjy4：y2QF _AC-QF *AC*(寺一今)y2(专*3)_X2(X2xJ y2y32y22x1、/ 2x2* 3x2(x2QH十2 -,”4 -y3)(2222y2例 7若0为:ABC内一点,，则0是：ABC的（A(0,0)、B (X1,0 )、D(工0)、E(2 2由题设可设Q(X1,y3).2H (X24),X1X2G( (丁丁AH =(X2,y4)，QF_/X2X1y2_( _ 2 2 2一一y3)BC二区“皿）AH - BC-AH *BC =x2(x2y2y4=0一一xj第5页共 5 页4 =QH3即QH =3QG，故Q G

12、H三点共线，且【注】：本例如果用平面几何知识、向量的代数运算和几何运算处理，都相当麻烦，而借用向量的坐 标形式，将向量的运算完全化为代数运算，这样就将“形”和“数”紧密地结合在一起，从而，很多对称、 共线、共点、垂直等问题的证明，都可转化为熟练的代数运算的论证。例 10 .若 0、H 分别是 ABC 的外心和垂心.求证 OH =0A OB OC.证明 若厶 ABC 的垂心为 H，外心为 0,如图.连 B0 并延长交外接圆于 D，连结 AD , CD. AD_AB , CD_BC.又垂心为 H , AH _ BC , CH _ AB , AH / CD , CH / AD ,四边形 AHCD 为

13、平行四边形， AH =DC =D0 OC，故 OH =0A AH =0A OB OC .著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”一一外心、心、垂心的位置关系：(1)三角形的外心、重心、垂心三点共线一一“欧拉线”；(2 )三角形的重心在“欧拉线”上，且为外一一垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重 心到外心距离的 2 倍。“欧拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题 例 11 . 设 0、G、H 分别是锐角 ABC 的外心、重心、垂心求证 OGOH3证明 按重心定理 G 是厶 ABC 的重心=0G =丄(OA OB 0C)3按垂心定理OH=OAOBOC由此可得OGHOH.

14、3补充练习1.已知 A、B、C 是平面上不共线的三点， 0 是三角形 ABC 的重心，动点 P 满足. 1 1. 1 0P=(0A+0B+20C),则点 P 一定为三角形 ABC 的(B )3 22A.AB 边中线的中点B.AB 边中线的三等分点(非重心)C.重心D.AB 边的中点- - - - 1 1 - 1 - -1. B 取 AB 边的中点 M，则0A 0B二20M，由0P= (0A+ 0B+20C)可得322230P =30M 2MC, MP MC，即点 P 为三角形中 AB 边上的中线的一个三等分点，且点3P 不过重心，故选 B._ _ _ _2 2 2 2 2 22.在同一个平面上

15、有 八ABC及一点 o 满足关系式：OA+BC= =OB+CA= =OC+AB，2X2-Xi1y2/2X2-X!y2X2(X2-xj y22丁)(2)3X2(X2-Xi)y6y21/2X2-Xi(322y23X2(X2-XJy22y2-T)QG GH1： 2第6页共 5 页则 o 为ABC的(D )A 外心 E 内心 C 重心 D 垂心2.已知 ABC 的三个顶点 A、B、C 及平面内一点 P 满足：PA PB PC=O，贝 y P 为ABC的第7页共 5 页（ C ）A 外心 E 内心 C 重心 D 垂心3.已知 O 是平面上一 定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P 满足：OP =

16、0A （AB - AC），贝 U P 的轨迹一定通过厶 ABC 的（C）A 外心 E 内心 C 重心 D 垂心4.已知 ABC , P 为三角形所在平面上的动点，且动点P 满足：PA *PC PA PB PB *P0，则 P 点为三角形的（ D ）A外心B 内心C 重心D 垂心5. 已知 ABC,P 为三角形所在平面上的一点，且点P 满足：a卩A b卩BcPC=0,则 P 点为三角形的(B)A外心B 内心C 重心D 垂心6. 在三角形ABC 中,动点 P 满足：2 - 2 - -CA =CB -2ABCP,贝 V P 点轨迹一定通过厶ABC 的：(B )A外心B 内心C 重心D 垂心7.已知非

17、零向量AB 与 AC 满足(AB +AC|AB| |AC|TABAC1 心“) BC=0 且TT=2,则厶 ABC 为()|AB | |AC|2A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形AB AC解析：非零向量与满足（）=0 ,即角 A 的平分线垂直于 BC , AB=AC ,又|AB| |AC|A B A C1co SA - -=，/ A=，所以 ABC 为等边三角形，选 D .|AB| |AC|238. ABC的外接圆的圆心为 O,两条边上的高的交点为 H,OH =m（0A 0B 0C），则实数 m9点 O 是三角形 ABC 所在平面内的一点，满足OA OB二

18、OB OC =OC OA，则点 O 是.：ABC的（B ）（A）三个内角的角平分线的交点（B）三条边的垂直平分线的交点（C）三条中线的交点（D）三条高的交点10.如图 1,已知点 G 是ABC的重心，过 G 作直线与 AB, AC 两边分别交于 M N 两点，且AM = xAB,AN二yAC，则一一=3。x y一 一 证点 G 是ABC的重心，知GA GB GC=O,得-AG (AB - AG) (AC - AG)=Q 有AG =1(AB AC)。3又 M, N G 三点共线(A 不在直线 MN 上),于是存在I ,使得AG二，AMiAN (且 -1),1有AGxAB厂二yAC=(AB AC),3仏+T1 1得1,于是得 =3。x =Jyx yI3