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1、高等数学(同济第七kok电子竞技)上册-知识点总结第一章函数与极限一.函数的概念1 .两个无穷小的比较设 lim f(x) Qlimg(x) 0 且加 JLLx) l g(x)(1) l = 0 ,称f(x)是比g(x)高阶的无穷。且詅(x) = 0 g(x),称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。(2) l丰0 ,称f (x)与g(x)是同阶无穷小。(3) l = 1 ,称f (x)与g(x)是等价无穷。且詅 (x) g(x)2 .常见的等价无穷小当x 一 0时I - COS L XA'sin x x, tan x x, arcsinx x, arccosx x,1- cos x xA2/
2、2 , ex-1 x , ln(1 x) x , (1 x) 1 x二.求极限的方法1 .两个准则准则1.单调有界数列极限一定存在准则2.(夹逼定理)设g(x) < f (x) < h(x)若 lim g(x) A,lim h(x) A,则 lim f(x) A2 .两个重要公式sin x .公式1 lim 1 x 0 x公式 2lim(1 x)1/x e x 03 .用无穷小重要性质和等价无穷小代换4 .用泰勒公式当x 0时,有以下公式,可当做等价无穷小更深层次2!3!n!o(xn)sin x3!5!1)n2n 1x(2n 1)!2n 1o(x )cosx242n1;(%/ 2n
3、x o(x )ln(1 x)23nx xn 1 xn、x . ( 1) o(x )(1 x) 1 x (1) x2 2!35(1).( (n 1) n / n、 - x o(x )n!2n 123n19x xn 1 x2n 1、arctan x x. ( 1)o(x )352n 15 .洛必达法则定理1 设函数f (x)、F(x)满足下列条件:(1) lim f (x) 0, lim F(x) 0 ; x xox x)(2) f(x)与F(x)在x。的某一去心邻域内可导,且 F (x) 0;(3)limx xo匚凶存在(或为无穷大),则im出F (x)x x° F(x)lim 3x
4、xo F (x)这个定理说明:当lim 3存在时,lim上区 也存在且等于lim 5) x M F (x)x x) F (x)x M F (x)lim工且为无穷大时,x X。F (x)lim -f-()也是无穷大.x X。F (x)这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值 的方法称为洛必达(L H ospital )法则.型未定式 定理2设函数f(x)、F(x)满足下列条件:(3) lim f(x), lim F (x);x x。x x。F (x)。;.f (x) lim x x。F (x)(4) f(x)与F(x)在x。的某一去心邻域内可导,且(5) lim匚凶存在(
5、或为无穷大),则limf®x x。F (x)X X。F (x)注:上述关于x x。时未定式一型的洛必达法则,对于x时未定式一型 同样适用.使用洛必达法则时必须注意以下几点:(1)洛必达法则只能适用于“。”和“一”型的未定式,其它的未定式须 。先化简变形成“。”或“一”型才能运用该法则;。(2)只要条件具备,可以连续应用洛必达法则;(3)洛必达法则的条件是充分的,但不必要.因此,在该法则失效时并不 能断定原极限不存在.6 .利用导数定义求极限基本公式lim f(xx) f(X0) f'(%)(如果存在)x 0x7.利用定积分定义求极限、1n k 1基本格式lim f ()f (
6、x)dx (如果存在)n n k i n o三.函数的间断点的分类函数的间断点分为两类:(1)第一类间断点设Xo是函数y = f (x)的间断点。如果f (x)在间断点Xo处的左、右极限都存在,则称xo是f (x)的第一类间断点。左右极限存在且相同但不等于该点的函数值为可去间断点。左右极限不存在为跳跃间断点。第一类间断点包括可去间断点和跳 跃间断点。(2)第二类间断点第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断点。常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点。四.闭区间上连续函数的性质在闭区间a,b上连续的函数f (x),有以下几个基本性质。这些性质以后都 要用至U 0定理1.(有界定理)如果函
7、数f (x)在闭区间a,b上连续,则f (x)必在a,b上有定理2.(最大值和最小值定理)如果函数f (x)在闭区间a,b上连续,则在这个 区间上一定存在最大值M和最小值m。定理3.(介值定理)如果函数f (x)在闭区间a,b上连续,且其最大值和最小值 分别为M和m,则对于介于m和M之间的任何实数c,在a,b上至少存在一个 工 使得f (己)=c推论:如果函数f (x)在闭区间a,b上连续,且f (a)与f (b)异号,则在(a,b) 内至少存在一个点己,使得f(E)= 0这个推论也称为零点定理第二章导数与微分一.基本概念1.可微和可导等价,都可以推出连续,但是连续不能推出可微和可导二.求导公
8、式(cos x)' = - sin(ID(13)(15)(tan x)r = sec' x(sec 到=sec xtan(ar:tanxy =!-;-1 +x炉(6)(8)(10)(12)(14)(16)(cot)r = -csc"(esc x) = cscxcot x0n),=- x P /(arccQ5M)' = _ J .虫-工,wCarccotx)r = -1 +x +?设”火力,吁”3都可导,珈(1)3±¥)'=靓'土/<2) gy=a是常麴l£(4)(m)=clLQ(de* = sLjgy =-n
9、ch x_i户(ardur)'二 1.(archx)=1Jj(artkx)=;1 Jl 4j三.常见求导1 .复合函数运算法则2 .由参数方程确定函数的运算法则(t)(t)设x = (t),y = (t)确定函数y = y(x),其中'(t), '(t)存在,且'(t)w 0,则包 dx3 .反函数求导法则设丫 = f (x)的反函数x = g(y),两者皆可导,且f ' (x) w 0则 g(y)f'(g(y)(f'(x)0)4 .隐函数运算法则设y = y(x)是由方程F(x, y) = 0所确定,求y'的方法如下:把F(x,
10、 y) = 0两边的各项对x求导,把y看作中间变量,用复合函数求导公式计 算,然后再解出y'的表达式(允许出现y变量)5 .对数求导法则(指数类型 如y xsinx)先两边取对数,然后再用隐函数求导方法得出导数 y'。对数求导法主要用于:幕指函数求导数多个函数连乘除或开方求导数(注意 定义域。关于幕指函数y = f (x) g (x)常用的一种方法,y = eg(x)lnf(x)这样就可以直接用复合函数运算法则进行。6 .求n阶导数(n>2 ,正整数)先求出y' , y'',,总结出规律性,然后写出y(n),最后用归纳法证明。有一些常用的初等函数的
11、n阶导数公式 x (n)x(1) y e , yeX (n)xn(2) y a , ya (ln a)(3) y sin x, y(n) sin(x n-)(4) y cosx, y(n) cos(x n-)(5) y ln x, y(n) ( 1)n 1(n 1)!x n两十函数垂积的曾引导蚊有里布尼效公K即才-2力)假设"T)即v(t)都W n埼i-f,第三章微分中值定理与导数应用1 .罗尔定理设函数f (x)满足(1)在闭区间a,b上连续;(2)在开区间(a,b)内可导;(3) f (a) = f(b) 则存在七 (a,b),使得f,(己)=02 .拉格朗日中值定理设函数f(x
12、)满足(1)在闭区间a,b上连续;(2)在开区间(a,b)内可导;则存在七 (a,b),使得 f (b) f (a)f'()b a推论1.若f (x)在(a,b)内可导,且f ' (x)三0,则f(x)在(a,b)内为常数。推论2.若f(x) ,g(x)在(a,b)内皆可导,且f ' (x)三g' (x),则在(a,b)内f (x)=g(x)+ c,其中c为一个常数。三.柯西中值定理设函数f(x)和g(x)满足:(1)在闭区间a,b上皆连续;(2)在开区间(a,b)内皆可导;且g' (x)丰0则存在七 (a,b)使得 f(b) f(a) -f (a b)
13、 g(b) g(a) g'()(注:柯西中值定理为拉格朗日中值定理的推广,特殊情形g(x) = x时,柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。)四.泰勒公式( 估值 求极限(麦克劳林)定理1.(皮亚诺余项的n阶泰勒公式) 设f (x)在0 x处有n阶导数,则有公式其中0(丁)=0卜一与称为皮亚诺余项定理2 (拉格朗日余项的n阶泰勒公式)设f(x)在包含0 x的区间(a,b)内有n +1阶导数,在a,b上有n阶连续导数,则对x,囚=/1为卜、见闻C a,b,有公式“=",其中及6)=噌系廿rj"例十】J,称为拉格朗日余项上面展开式称为以0(x)为中心的n阶泰勒公式。当x0=
14、0时,也称为n阶麦克劳林公式常用公式(前8个)1工 jL4 Lj-+l +- -,JE (-1,11 23Fi+1二2工“= 1 + H ,+/- +F +十/ +工 W (-1,1)1-K期1 w .=5 (-1J, = 1 -X 十,x3+*-+(1) /"十一a9x E("LD J + x nfl(5f-l)-(a-fa+1)ff(c-l).由(企_1)(a 兀+1),_TX ,T (J;心" 1r ,! ”-(-if ttllax tan _? =)s. 二工一士 2u4l三arcsm x = > So4"(ft!)(2ft+l)7 i,&
15、quot;一LjdLA+( I)j.j ef-ljl35力Hl'1jt JjI=x + 6/十40112113M产,八旦, 右 (2?i)t315315nF必4”(月。浚2月十1)显 h-1,1)* 里U */ + 929569 t % 途Ui 9256081075635312875早“算=£上2型±=i十'/十#占(2句!Z 2461720V 1产刈射叫叫与产T/门三岛工八上一 +X七 (江)!H 636015120601S0012114014L4-I77_ r65383718400十,CDtK = Z口-0)!1 ,2 <工 H 、* 七(0.
16、需)45945m w2m-HX+14x = '-n-(j(2r+1)S3! 5! 7!:十”,,二£ (一出,寸也)(2阀十1)!由工二k _口(加!工" x 工J1h11+ -:1-,工三厂%+)V. 4! S!(力7)!b户山=V户-1泡尸1T 了 623153132835155925/ 于J# K(工用U)11+匕L。35。+性艺”1+6 4C 1L21152 Il(2n + 0archx = hi Zx - £InLi-/I/Lix = y_才+乙+土+土十,.斗+s|x|<i仁所+13 572 + 1五.导数的应用一.基本知识设函数f (x
17、)在X0处可导,且X0为f (x)的一个极值点,则f'(x0) 0 0我们称X满足f'(X0)0的X。称为f(x)的驻点,可导函数的极值点一定是驻点, 反之不然。极值点只能是驻点或不可导点,所以只要从这两种点中进一步去判断。 极值点判断方法1 .第一充分条件f (x)在X。的邻域内可导,且f(X。)0,则若当X X。时, f (X) 0 ,当X X0时,f (X) 0 ,则X0为极大值点;若当x X0时, f (X) 0,当X X0时,f (X) 0,则X0为极小值点;若在X0的两侧 f (x)不变号,则X0不是极值点.2 .第二充分条件f (X)在 X0处二阶可导,且 f (
18、X0) 0, f (X0) 0,则若 f (X0) 0, 则x0为极大值点;若f (X0) 0,则X°为极小值点.3 .泰勒公式判别法(用的比较少,可以自行百度) 二.凹凸性与拐点1 .凹凸的定义设f (x)在区间I上连续,若对任意不同的两点1 2 x , x,包有苫*卜g I/&)+七五卜)巧)+-3)1则称f (X)在I上是凸(凹)的。在几何上,曲线y = f (x) 上任意两点的割线在曲线下(上)面,则 y = f (x) 是凸(凹)的。如果曲线y = f (x)有切线的话,每一点的切线都在曲线之上(下) 则丫 = f (x) 是凸(凹)的。2 .拐点的定义曲线上凹与凸
19、的分界点,称为曲线的拐点。3 .凹凸性的判别和拐点的求法设函数f (x)在(a,b)内具有二阶导数f''(x),如果在(a,b)内的每一点x,包有f''(x) > 0,则曲线y= f (x)在(a,b)内是凹的;如果在(a,b)内的每一点x,包有f''(x)< 0,则曲线y = f (x)在(a,b)内是凸的求曲线y = f (x)的拐点的方法步骤是:第一步:求出二阶导数f''(x); 第二步:求出使二阶导数等于零或二阶导数不存在的点 x1,x2,xk ;第三步:对于以上的连续点,检验各点两边二阶导数的符号,如果符号不
20、同,该 点就是拐点的横坐标;第四步:求出拐点的纵坐标。.渐近线的求法1 .垂直渐近线若 lim,(#) = w 或 liiu /(工)=0则# =。为曲线y = f卜)的一条垂直渐近域.2 .水平淅近线卷 lim = i,或 lini/G) = b则s=6是曲线y=的一条水平渐近线.limg) r-Wt3.斜渐近线若 lim = zi 0 +HTXt 主或 liiu "" = 口壬 0 ,HTT 工-ar = bImi Lf(x)-a = bJF-WC "则y =+ 3是曲线),= /(耳)的一条斜渐近域。四.曲率设曲线了 二 .它在点处的曲率若则称R =*为点处
21、rk-的曲率半传,在收点的法线1 ,凹向这一边取 &D,使|M0卜R.则称Q为曲率中心.以D为限1心P K为半径的圆周称为曲率圆第四章不定积分一.基本积分表:tgxdx ln cosx C ctgxdx In sin x Csecxdx In secx tgx Cdx2- cos xdx一 2 sin x2sec xdx tgx C2csc xdx ctgx Ccscxdx In cscx ctgx Csecx tgxdx secx Cdx1x-2 arctg- Caxaa/ ;ln|x a Cxa2a|xacscx ctgxdx cscx Cx x a axdx CIn ashxdx
22、 chx Cchxdx shx C. x arcsin adxln( x x2a2)CIn2sinn xdxocosn xdx02 a / ln(x2x2 a2dx-Vx2 a222 a 一 In x.xarcsin - Ca二.换元积分法和分部积分法换元积分法(1)第一类换元法(凑微分):f (x) (x)dx f(u)du u (x)(2)第二类换元法(变量代换):f(x)dx f (t) (t)dt t 1t (x)分部积分法udv uv vdu使用分部积分法时被积函数中谁看作 u(x)谁看作v'(x)有一定规律。记住口诀,反对幕指三为 u(x),靠前就为u(x),例如exarc
23、sinxdx,应该是arcsinx为u(x),因为反三角函数排在指数函数之前,同理可以推出其他。三.有理函数积分有理函数:f(x)简单有理函数:P(x)Q(x)其中P(x)和Q(x)是多项式 f (x) f (x)口、P(x) 一、 P(x) f (x) , f (x) 21 x1 xP(x)(x a)(x b)P(x)(x a)2 b1、“拆”;2、变量代换(三角代换、倒代换、根式代换等)第五章定积分一.概念与性质1、定义:bf(x)dx anlimf(Jx0i ii 12、 性质:(10条)j fGMx = -£<2 ) £ f(x)dx = 0f k/卜)+ k
24、J卜)依二kX f1 (x依+打人(x)出(4)= ff/(x)rfx+/(#用(c 也可以在院方 J口JiJr之外)(5)设/x)Kg(M)gwK3)¥ 则f fxdx < f g' x HxLJ a(6) Kcfl < b, m < /(x) <3/(6; < x < ft),贝!m(b a)< J fxdx < M(b a(7)设a <3,贝ij J /(工上7, £ J(8)定枳分中值定理 设了(d)在鼠引上连续、则存在= /(初一日)定义:分平均俏我们称f为f(x)在卜间上的枳(9)奇偶函数的积分性质f
25、(xix = 0 ( /奇函数)f(x)dx - 2 f f(x)dx (/偶函数)j-口jo (10)周期函数的枳分性质设/(*)以丁为周期,为常数,则丁/(工用=j fxdx3 .基本定理x变上限积分:设 (x) f (t)dt ,则 (x) f (x)推广:addx(x)(x)f出f (x) (x) f (x) (x)bNHl公式:若F(x)为f (x)的一个原函数,则f (x)dx F (b) F (a)a4 .定积分的换元积分法和分部积分法1.定积分的换元积分法设/Q)在上耳上连续,若变显替换T二Hr)满足(1)伊(。在«夕| (或/?)上连续:(2 ) >3)二门.
26、(pp - h ,旦节以才</?时, a <q)t<h ,则 £ /(#班=,/尹(亦(,历,定积分的分部积分法设,(1)./卜)在q司上连续,则二.定积分的特殊性质1 .对称区间上的函数的定枳分性质设f在卜a. a上连续,则/(X)dx=J y(x) +f (-x)dxZ三的函数定积分性质用A设口式)在0,1上连续,WlJ 2/(sin x) dx=J?/(cosx) dx1(2)设fix)在0J上连续,0rjJo7(anx) dx=2jj/(sinx) dxfl设取)在0J上连续.xf(sinx) dx=Jo /(sinx) dxr= nj/(sinx) dx(
27、4)点火公式3 .周期函数定积分的性质八k) dK=£/g dxjjf(x) dx=nj /(x) dx第六章 定积分的应用.平面图形的面积ba.体积1.旋转体体积:a)曲边梯形yf (x), x a, x b, x轴,绕x轴旋转而成的旋转体的体积:b - 2Vx a f2(x)dxb)曲边梯形yf (x), x a, x b, x轴,绕y轴旋转而成的旋转b体的体积:Vy2 xf (x)dx(柱壳法)a三.弧长1 .直角坐标:sj1f (x) 2dxa 、2 2 112 .参数方程:S(J(t)(t)出22 ,极坐标:s ()( ) d第七章微分方程概念1 .微分方程:表示未知函数、
28、未知函数的导数及自变量之间关系的方程.阶:微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数 .2 .解:使微分方程成为恒等式的函数.通解:方程的解中含有任意的常数,且常 数的个数与微分方程的阶数相同.特解:确定了通解中的任意常数后得到的解.(1) .变量可分离的方程g(y)dy f(x)dx,两边积分 g(y)dy f(x)dx(2) .齐次型方程dydxdydxdu u x一 . dx 'dxxxdx或二(一),设v 一,则丁dyyydy(3). 一阶线性微分方程dy P(x)y Q(x)dxdv y .dy用常数变易法或用公式:P(x)dxy eP(x) dxQ(x)e dx C(4)
29、 .可降阶的高阶微分方程1、y(n)f(x),两边积分n次;2、yf (x, y)(不显含有 y),令 yp ,则 yp ;dp3、yf (y,y)(不显含有 x),令 yp»yp-dy(一)线性微分方程解的结构1、乂,丫2是齐次线性方程的解,则 Gy c2y2也是;2、y1,y2是齐次线性方程的线性无关的特解,则 gy c2y2是方程的 通解;*3、y Gy C2y2 y为非齐次万程的通解,其中 y1,y2为对应齐*次方程的线性无关的解,y非齐次方程的特解.(二)常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性方程:y py qy 02特征万程:r pr q 0 ,特征根:口,匕特征根通 解实根rl牛升2r1 xr2 xy Ge C2eri2fr xy (C1 C2x)e1,2iy e x(C1 cos x C2 sin x)(三)常系数非齐次线性微分方程y py qy f(x)1、f(x) exPm(x)0,正是特征根设特解y* xke xQm(x),其中k 1,匿一个单根2, 遑重根x2、f (x) e P(x)cos x Pn(x)sin x设特解 y* xkexM)(x)cos x R:)(x)sin x,0,i不是特征根其中m maxl, n k1,i是特征根
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