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1、3.立体几何1.如图，在三棱柱ABFDCE中，ABC120°，BC2CD, ADAF, AF平面ABCD.(1)求证：BDEC；(2)若AB1，求四棱锥BADEF的体积.(1)证明已知ABFDCE为三棱柱，且AF平面ABCD，DEAF，ED平面ABCD.BD平面ABCD，EDBD，又ABCD为平行四边形，ABC120°，故BCD60°，又BC2CD，故BDC90°，故BDCD，EDCDD，ED，CD平面ECD，BD平面ECD，EC平面ECD，故BDEC.(2)解由BC2CD得AD2AB，AB1，故AD2，作BHAD于点H，AF平面ABCD，BH平面ABC

2、D，AFBH，又ADAFA，AD，AF平面ADEF，BH平面ADEF，又ABC120°，在ABH中，BAH60°，又AB1，BH，VBADEF×(2×2)×.2.如图，在BCD中，BCD90°，BCCD1，AB平面BCD，ADB60°，E，F分别是AC，AD上的动点，且(0<<1).(1)求证：无论为何值，总有平面BEF平面ABC；(2)是否存在实数，使得平面BEF平面ACD.(1)证明AB平面BCD，CD平面BCD，ABCD.CDBC，ABBCB，AB，BC平面ABC，CD平面ABC.又(0<<1)

3、，无论为何值，恒有EFCD，EF平面ABC.又EF平面BEF，无论为何值，总有平面BEF平面ABC.(2)解假设存在，使得平面BEF平面ACD.由(1)知BEEF，平面BEF平面ACD，平面BEF平面ACDEF，BE平面BEF，BE平面ACD.又AC平面ACD，BEAC.BCCD1，BCDABD90°，ADB60°，BD，ABtan60°，AC.由RtAEBRtABC，得AB2AE·AC，AE，.故当时，平面BEF平面ACD.3.如图，在四棱锥PABCD中，PCADCDAB2，ABDC，ADCD，PC平面ABCD.(1)求证：BC平面PAC；(2)若M为

4、线段PA的中点，且过C，D，M三点的平面与线段PB交于点N，确定点N的位置，说明理由；并求三棱锥ACMN的高.(1)证明连接AC，在直角梯形ABCD中，AC2，BC2，所以AC2BC2AB2，即ACBC.又PC平面ABCD，BC平面ABCD，所以PCBC，又ACPCC，AC，PC平面PAC，故BC平面PAC.(2)解N为PB的中点，连接MN，CN.因为M为PA的中点，N为PB的中点，所以MNAB，且MNAB2.又因为ABCD，所以MNCD，所以M，N，C，D四点共面，所以N为过C，D，M三点的平面与线段PB的交点.因为BC平面PAC，N为PB的中点，所以点N到平面PAC的距离dBC.又SACM

5、SACP××AC×PC，所以V三棱锥NACM××.由题意可知，在RtPCA中，PA2，CM，在RtPCB中，PB2，CN，所以SCMN×2×.设三棱锥ACMN的高为h，V三棱锥NACMV三棱锥ACMN××h，解得h，故三棱锥ACMN的高为.4.如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且POOB1.(1)若D为线段AC的中点，求证：AC平面PDO；(2)求三棱锥PABC体积的最大值；(3)若BC，点E在线段PB上，求CEOE的最小值.(1)证明在AOC中，因为OAOC,

6、 D为AC的中点，所以ACOD.又PO垂直于圆O所在的平面，所以POAC.因为DOPOO，DO，PO平面PDO，所以AC平面PDO.(2)解因为点C在圆O上，所以当COAB时，C到AB的距离最大，且最大值为1.又AB2，所以ABC面积的最大值为×2×11.又因为三棱锥PABC的高PO1，故三棱锥PABC体积的最大值为×1×1.(3)解在POB中，POOB1，POB90°，所以PB.同理PC，所以PBPCBC.在三棱锥PABC中，将侧面BCP绕PB旋转至平面CPB，使之与平面ABP共面，如图所示.当O，E，C共线时，CEOE取得最小值.又因为OPOB，CPCB，所以OC垂直平分PB，即E为PB中点.从而OCOEEC，即CEOE的最小值为.4