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1、课时作业(三十二)第32讲数列的综合问题时间 / 45分钟分值 / 100分基础热身1.已知等差数列an的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列,则a3=()A.-10B.-6 C.-8D.-42.已知数列an是公差为1的等差数列,Sn为an的前n项和,若S8=4S4,则a10=()A.172 B.192 C.10 D.123.已知数列an是各项均为正数的等比数列,点M(2,log2a2),N(5,log2a5)都在直线y=x-1上,则数列an的前n项和为()A.2n-2 B.2n+1-2 C.2n-1 D.2n+1-1 4.张丘建算经卷上第22题为“今有女善织,日益功疾,初日织五尺,今一月日

2、织九匹三丈.”其意思为:现有一善于织布的女子,从第2天开始,每天比前一天多织相同量的布,第1天织了5尺布,现在一月(按30天计算)共织390尺布.则该女子第30天织布()A.20尺 B.21尺 C.22尺 D.23尺5.在等比数列an中,若3a1,12a5,2a3成等差数列,则a9+a10a7+a8=. 能力提升6.在公比为q的正项等比数列an中,a4=4,则当2a2+a6取得最小值时,log2q=()A.14 B.-14 C.18 D.-18 7.已知等比数列an的前n项和是Sn,则下列说法一定正确的是()A.若a3>0,则a2017<0 B.若a4>0,则a20

3、18<0C.若a3>0,则S2017>0 D.若a4>0,则S2018>08.设实数b,c,d成等差数列,且它们的和为9,如果实数a,b,c成公比不为-1的等比数列,则a+b+c的取值范围为()A.94,+ B.-,94 C.94,3(3,+) D.(-,-3)-3,94 9.记数列an的前n项和为Sn,若对任意正整数n,都有2Sn=an+1成立,则a2018=() A.1 B.-1 C.2 D.-210.在数列an中,an=2n-1,若一个7行8列的数表中,第i行第j列的元素为cij=ai·aj+ai+aj(i=1,2,7,j=1,2,8),则该数表中

4、所有不相等的元素之和为()A.216-10 B.216+10 C.216-18 D.216+13 11.已知an是首项为1的等比数列,数列bn满足b1=2,b2=5,且an(bn+1-bn)=an+1,则数列bn的前n项和为. 12.已知Sn是等比数列an的前n项和,若S3,S9,S6成等差数列,a2+a5=4,则a8=. 13.在等差数列an中,a3=7,a9=19,Sn为数列an的前n项和,则Sn+10an+1的最小值为. 14.(12分)设Sn为数列an的前n项和,已知a3=7,an=2an-1+a2-2(n2).(1)证明:an+1为等比数列;(2)求an

5、的通项公式,并判断n,an,Sn是否成等差数列.15.(13分)已知数列an满足an+1=2an+2n+1,且a1=2.(1)证明:数列an2n是等差数列;(2)设数列cn=ann-log2ann,求数列cn的前n项和Sn.难点突破16.(已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,且满足anan+1=2Sn,数列bn满足b1=15,bn+1-bn=2n,则数列bnan中第项最小. 17.已知数列an的前n项和为Sn,且数列Snn是首项为3,公差为2的等差数列,若bn=a2n,数列bn的前n项和为Tn,则使得Sn+Tn268成立的n的最小值为. 课时作业(三十二)1.答案为：D

6、；解析：根据题意知a1=a3-4,a4=a3+2,因为a1,a3,a4成等比数列,所以a32=a4·a1,即a32=(a3+2)·(a3-4),所以a3=-4,故选D.2.答案为：B；解析：设数列an的公差为d,由S8=4S4得8a1+28d=4(4a1+6d),又d=1,所以a1=12,所以a10=a1+9d=192.3.答案为：C；解析：设数列an的公比为q,因为点M(2,log2a2),N(5,log2a5)都在直线y=x-1上,所以log2a2=2-1=1,即a2=2,log2a5=5-1=4,即a5=16,则a5a2=q3=8,则q=2,a1=1,故Sn=1-2n

7、1-2=2n-1,故选C.4.答案为：B；解析：由题意,该女子每天织的布的长度成等差数列,且a1=5,设公差为d,则由前30项的和S30=30×5+30×292d=390,解得d=1629,所以a30=5+29×1629=21,故选B.5.3解析 若3a1,12a5,2a3成等差数列,则a5=3a1+2a3.又an为等比数列,设公比为q,则q4=3+2q2,可得(q2+1)(q2-3)=0,解得q2=3(负值舍去),所以a9+a10a7+a8=(a7+a8)q2a7+a8=q2=3.6.答案为：A；解析：2a2+a622a2a6=22a42=82,当且仅当q4=2

8、即q=214(负值舍去)时取等号,所以log2q=log2214=14,故选A.7.答案为：C；解析：设数列an的公比为q,当a3=a1q2>0时,a1>0,若q1,则S2017=a1(1-q2017)1-q.当q<0时,1-q>0,1-q2017>0,a1(1-q2017)1-q>0,即S2017>0;当0<q<1时,1-q>0,1-q2017>0,a1(1-q2017)1-q>0,即S2017>0;当q>1时,1-q<0,1-q2017<0,a1(1-q2017)1-q>0,即S2017&

9、gt;0.若q=1,则S2017=2017a1>0.综上可得,当a3>0时,S2017>0,故选C.8.答案为：C；解析：实数b,c,d成等差数列,且它们的和为9,b+d=2c,则3c=9,即c=3,又实数a,b,c成等比数列,则b2=3a,且a-b0,a+b+c=b23+b+3,由二次函数的性质可知,当b=-32时,b23+b+3取得最小值94,a-b0,a+b+c3,故a+b+c的取值范围为94,3(3,+),故选C.9.答案为：B；解析：因为2Sn=an+1,所以2Sn-1=an-1+1(n2),所以2an=2Sn-2Sn-1=an+1-(an-1+1)=an-an-1

10、,即an=-an-1(n2),又由2Sn=an+1得a1=1,所以an是等比数列,其首项为1,公比为-1,所以a2018=1×(-1)2017=-1.故选B.10.答案为：C；解析：该数表中第i行第j列的元素cij=ai·aj+ai+aj=(2i-1)(2j-1)+2i-1+2j-1=2i+j-1 (i=1,2,7,j=1,2,8),数表如下所示.ji12345678122-123-124-125-126-127-128-129-1223-124-125-126-127-128-129-1210-1324-1 25-1 26-1 27-1 28-129-1210-1211-

11、1425-126-127-128-1 29-1210-1211-1212-1526-127-1 28-1 29-1 210-1211-1212-1213-1627-1 28-1 29-1 210-1211-1212-1213-1214-17 28-1 29-1 210-1211-1212-1213-1214-1215-1由表可知,该数表中所有不相等的元素之和为22-1+23-1+215-1=4×(1-214)1-2-14=216-18.11.3n2+n2解析 设数列an的公比为q,由题得bn+1-bn=an+1an,当n=1时,3=a21,a2=3,q=31=3,bn+1-bn=3=

12、d,数列bn是等差数列.故数列bn的前n项和为n×2+n(n-1)2×3=3n2+n2.12.2解析 因为S3,S9,S6成等差数列,所以公比q1,且2×1-q91-q=1-q31-q+1-q61-q,整理得2q6=1+q3,所以q3=-12或q3=1(舍去),所以a2+a5=a2+a2·q3=a21-12=4,解得a2=8,故a8=a2·q6=8×14=2.13.3解析 a3=7,a9=19,公差d=a9-a39-3=19-76=2,an=a3+(n-3)d=7+2(n-3)=2n+1,Sn=n(3+2n+1)2=n(n+2),因此

13、Sn+10an+1=n(n+2)+102n+2=12(n+1)+9n+112×2(n+1)·9n+1=3,当且仅当n=2时取等号.14.解:(1)证明:a3=7,a3=3a2-2,a2=3,an=2an-1+1,a1=1,又an+1an-1+1=2an-1+2an-1+1=2(n2),an+1是首项为2,公比为2的等比数列.(2)由(1)知,an+1=2n,an=2n-1.Sn=2-2n+11-2-n=2n+1-n-2,n+Sn-2an=n+2n+1-n-2-2(2n-1)=0,n+Sn=2an,即n,an,Sn成等差数列.15.解:(1)证明:an+12n+1-an2n=

14、2an+2n+12n+1-an2n=2an2n+1+2n+12n+1-an2n=1,且a121=1,an2n是以1为首项,1为公差的等差数列. (2)由(1)得an2n=1+(n-1)×1=n,故an=n·2n,cn=2n-n.Sn=c1+c2+c3+cn=(21-1)+(22-2)+(23-3)+(2n-n)=(21+22+23+2n)-(1+2+3+n)=2(1-2n)1-2-(1+n)·n2=2n+1-n(n+1)2-2.故数列cn的前n项和为Sn=2n+1-n(n+1)2-2(nN*).16.4解析 当n2时,2an=2Sn-2Sn-1=anan+1-an

15、-1an,an0,an+1-an-1=2;当n=1时,a1a2=2a1,解得a2=2.数列an的奇数项与偶数项分别成等差数列,公差都为2,且a1=1,a2=2,进而得到数列an为等差数列,其首项为1,公差为1,an=1+n-1=n.数列bn满足b1=15,bn+1-bn=2n,当n2时,bn=2(n-1)+(n-2)+2+1+15=2×(n-1)n2+15=n(n-1)+15,当n=1时,上式也成立,bn=n(n-1)+15,bnan=n-1+15n215-1(当且仅当n=15时取等号),又nN*,且b4a4=3+154,b3a3=7,则数列bnan中第4项最小.17.5解析 因为数

16、列Snn是首项为3,公差为2的等差数列,所以Snn=3+(n-1)×2,化简得Sn=2n2+n,则当n2时,Sn-1=2(n-1)2+(n-1),所以an=Sn-Sn-1=(2n2+n)-2(n-1)2+(n-1)=4n-1,当n=1时,S1=a1=3,满足上式,所以an=4n-1.因为bn=a2n,所以b1=a2,b2=a4,b3=a8,b4=a16,b5=a32,b6=a64,所以Tn=a2+a4+a8+a16+a2n-1+a2n=(23-1)+(24-1)+(25-1)+(2n+1-1)+(2n+2-1)=23+24+25+2n+1+2n+2-n=2n+3-n-8,所以S1+T1=(2×12+1)+(24-1-8)=10,S2+T2=(2×22+2)+(25-2-8)=32,S3+T3=(2×32+3)+(26-3-8)=74,S4+T4=(2×42+4)+(27-4-8)=152,S5+T5=(2×52+5)+(28-5-8)=298,所以使得Sn+Tn268成立的n的最小值为5.