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1、九kok电子竞技数学组九kok电子竞技数学组问题问题 ：你知道赵州桥吗：你知道赵州桥吗? ?它是它是13001300多年前我国隋代建造的石多年前我国隋代建造的石拱桥拱桥, , 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形形, ,它的跨度它的跨度( (弧所对的弦的长弧所对的弦的长) )为为37.4m, 37.4m, 拱高拱高( (弧的中点到弧的中点到弦的距离弦的距离) )为为7.2m7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？ 赵州桥主桥拱的半径是多少赵州桥主桥拱的半径是多少？ 如图，如图，AB是是 O的一条弦，做直径的一条弦，做直径CD，使，

2、使CDAB，垂足为，垂足为E（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有那些相等的线段和。课裁矗浚┠隳芊⑾滞贾杏心切┫嗟鹊南叨魏突。课裁矗縊ABCDE（1）是轴对称图形直径）是轴对称图形直径CD所在的所在的直线是它的对称轴直线是它的对称轴（2） 线段：线段： AE=BE弧。篈CBC，ADBD说理说理如图如图连接连接OA,OB,OA,OB,OABCDE则则OA=OB.在在RtOAE和和RtOBE中中,OA=OB，OE=OE，RtOAE RtOBE.AE=BE.点点A和点和点B关于关于CD对称对称. O关于直径关于直径

3、CD对称对称,当圆沿着直径当圆沿着直径CD对折时对折时,点点A与点与点B重合重合,AC和和BC重合重合,AD和和BD重合重合. AC =BC,AD =BD.垂径定理：垂径定理：垂直于弦的直径垂直于弦的直径平分弦平分弦，并且，并且平分平分弦所对弦所对的两条的两条弧弧。ABCDMOCDABCD是直径是直径AM=BMAC=BCAD=BD深入理解深入理解EDCOABOBCADDOBCAOBAC垂径定理的几个基本图形：垂径定理的几个基本图形：CDCD过圆心过圆心CDABCDAB于于E EAE=BEAC=BCAD=BD.AEBO注意：注意：圆心到弦的距离，半径圆心到弦的距离，半径，弦的一半弦的一半构成直角

4、三角形直角三角形，便将问题转化为直角三角形去解决例题讲解例题讲解例题讲解例题讲解1，如图，如图，AB是是 O的一条弦，的一条弦，P是是AB上上一点，一点，AB=10厘米，厘米，PB=4厘米，厘米，OP=5厘米，求厘米，求 O的半径的半径练习练习2：已知：如图，在以：已知：如图，在以O为圆心的为圆心的两个同心圆中，大圆的弦两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆交小圆于于C，D两点。两点。求证：求证：ACBD。E.ACDBO5 5个命题：个命题： 过圆心；过圆心； 垂直于弦；垂直于弦； 平分弦；平分弦； 平分弦所对平分弦所对优弧优。 平分弦所对的平分弦所对的劣弧劣弧。ABCDMO（不是直径不是直径）以

5、其中两个命题为条件，以其中两个命题为条件， 能推出其他命题能推出其他命题? ? 垂径定理的推论垂径定理的推论九九 年年 级级 数数 学学 CDAB,AB是是 O的一条弦的一条弦,且且AE=BE.过点过点E作直径作直径CD.O下图是轴对称图形吗下图是轴对称图形吗?如果是如果是,其对称轴是什么其对称轴是什么?你能发现图中有哪些等量关系你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的与同伴说说你的想法和理由想法和理由发现图中有发现图中有:CD由由 CD是直径是直径 AE=BE可推得可推得AC=BC,AD=BD. EAB连接连接OA,OB,OA,OB,OABCDE则则OA=OB.在在OAE和和OBE中中,O

6、A=OB，OE=OE，AE=BEOAE OBE.AEO= BEO.CDAB O关于直径关于直径CD对称对称,当圆沿着直径当圆沿着直径CD对折时对折时,点点A与点与点B重合重合,AC和和BC重合重合,AD和和BD重合重合. AC =BC,AD =BD.平分平分弦（不是直径）的直径弦（不是直径）的直径垂直垂直于于弦弦, ,并且并且平分平分弦所对的两条弦所对的两条弧弧. .说理说理ABCDMO1.平分弦平分弦（不是直径）（不是直径）的直径，垂直于弦，的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。并且平分弦所对的两条弧。垂径定理的垂径定理的推论：推论：AM=BM AB不是直径不是直径CD过圆心过圆心CDA

7、BAC=BCAD=BDABAB是是OO的一条弦的一条弦, ,且且ABAB与与CDCD互相垂互相垂直平分直平分. .能推出其他三个条件吗？能推出其他三个条件吗？OCD EABAE=BE AE=BE ABCDABCDCDCD过圆心过圆心AC =BCAC =BCAD = BDAD = BDABCDMO2.弦的垂直平分线弦的垂直平分线, 必过圆心，并且平分必过圆心，并且平分弦所对的两条弧弦所对的两条弧。垂径定理的垂径定理的推论：推论：AM=BM ABCDCD过圆心过圆心AC=BCAD=BD小结：小结：5 5个命题：个命题： 过圆心；过圆心； 垂直于弦；垂直于弦； 平分弦（平分弦（不是直径不是直径）；）

8、； 平分弦所对平分弦所对优弧优。 平分弦所对的平分弦所对的劣弧劣弧。 以其中两个命题为条件，以其中两个命题为条件， 能推出其他命题。能推出其他命题。例题：例题：平分弧的直径必平分弧所对的弦。平分弧的直径必平分弧所对的弦。平分弦的直径必垂直弦。平分弦的直径必垂直弦。弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过圆心。并且经过圆心。弦的垂直平分线必经过这个圆的圆心。弦的垂直平分线必经过这个圆的圆心。1 1、判断下列命题的正误：、判断下列命题的正误：例题：例题：2、如图，如图，AB是半圆的直径，是半圆的直径，O是圆心是圆心，C是半圆上一点是半圆上一点，D是弦是弦AC的

9、中点的中点，OD交弧交弧AC于于E，若若AC=8cm，DE=2cm，则则OD的长为的长为_cm。?B?A?C?E?D?O 3.3.你能你能破镜重破镜重圆圆吗？吗？ABACmnO 作弦作弦ABABACAC及它们的垂直平及它们的垂直平分线分线mmn n，交于，交于OO点；以点；以OO为圆为圆心，心，OAOA为半径作圆。为半径作圆。例题：例题：破镜重破镜重圆圆ABCmnO 弦的垂直平分线经过圆心弦的垂直平分线经过圆心, ,并且平分弦所对并且平分弦所对的两条弧。的两条弧。 作图依据：CDABEFG 练习：练习：1.1.求作弧求作弧ABAB的四等分点。的四等分点。 mnE练习：练习：3、如图所示，矩形如

10、图所示，矩形ABCD与圆心在与圆心在AB上上的的 O交于点交于点G、B、F、E，GB=8，AG=1，DE=2，则，则EF= 。解得：解得：R279（m）BODACR解决求赵州桥拱半径的问题解决求赵州桥拱半径的问题在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得即即 R2=18.72+（R7.2）2赵州桥的主桥拱半径约为赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.OA2=AD2+OD2AB=37.4，CD=7.2，,7.184.372121ABADOD=OCCD=R7.2在图中在图中如图，用如图，用 表示主桥拱，设表示主桥拱，设 所在圆的圆心为所在圆的圆心为O O，半径为半径为R R经过圆心经过圆心O

11、O 作弦作弦AB AB 的垂线的垂线OCOC，D D为垂足，为垂足，OCOC与与AB AB 相交于点相交于点D D，根据前面的结论，根据前面的结论，D D 是是AB AB 的中的中点，点，C C是是 的中点，的中点，CD CD 就是拱高就是拱高ABABAB小结小结: 解决弦时常用的辅助线：解决弦时常用的辅助线：过圆心作弦的垂线、连半径等构造直角三角形，过圆心作弦的垂线、连半径等构造直角三角形，根据垂径定理、勾股定理可解决：弦长、半径、根据垂径定理、勾股定理可解决：弦长、半径、弦心距、弓形高。弦心距、弓形高。.CDABOMNE.ACDBO.ABO 课堂小结：课堂小结：5 5个命题：个命题： 过圆心；过圆心； 垂直于弦；垂直于弦； 平分弦（平分弦（不是直径不是直径）；）； 平分弦所对平分弦所对优弧优。 平分弦所对的平分弦所对的劣弧劣弧。 以其中两个命题为条件，以其中两个命题为条件， 都能推出其他命题。都能推出其他命题。