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1、第 2 章 电阻电路分析2. 1 支路电流法2. 2 网孔分析法2. 3 回路电流法2. 4 结点电位法2. 5 叠加定理2. 6 齐次定理2. 7 替代定理2. 8 等效电源定理2. 9 最大功率传输定理习题2第一章介绍了电路的基本概念、基本定律和简单电路的分析计算方法。本章将讨论复杂电路的一般分析计算方法，如支路电流法、网孔分析法、结点电位法等。同时，还将介绍利用电路定理进行电路分析的方法，如叠加定理、替代定理、戴维宁定理、最大功率传输定理等。此外，为激发广大读者对本章所述的电路分析方法的深入理解、掌握和应用，我们特在部分小节末给出了一些仿真实例，以期能为读者提供一定的帮助。电阻电路的这些

2、分析方法将广泛应用或推广用于后续各章。2. 1 支 路 电 流 法根据第一章的介绍，我们知道将仅包含电阻、独立源和受控源的电路称为电阻电路。对其进行分析的最一般的方法就是方程法。此类方法是在不改变电路结构的情况下，以减少电路方程数目为目的，选择一组合适的电路变量。依据两类约束，即元件的 VCR 和电路的拓扑约束特性( KCL 、 KVL )，建立独立的方程组，求解得到电路变量，进而求得所需的物理量。本章只讨论线性电阻电路的一般分析方法，它是学习非线性电阻电路、动态电路的基础。同时，本章的分析方法也适用于后续的正弦稳态电路。2. 1. 1 支路电流法下面，我们介绍属于方程法中的最基本的方法，即支

3、路电流法。它是以支路电流为变量，根据两类约束建立独立的方程组，求解出各支路电流，进而可求出电路中任意处的电压、功率等。下面以一个具体例子来说明支路电流法分析电路的全过程。如图 2.1. 1 所示，电路有 2 个结点( n =2 )、 3条支路(b =3 )。设各支路电流分别为 i 1 、 i 2 、 i 3 ，其参考方向如图中所示。就本例而言，就是如何找到包含未知量 i1 、 i 2 、 i 3 的 3 个相互独立的方程组。图 2.1. 1 支路电流法分析用图根据 KCL ，对结点 a 和 b 分别建立电流方程。设流出结点的电流取正号，则有结点 a :结点 b :显然，将式(2. 1. 1 )

4、变形后即可得到式( 2. 1. 2 )，说明此两式不是相互独立的。故为了得到独立的 KCL 方程只能取其中任意一个，例如取式( 2.1. 1 )。根据 KVL ，按图中的绕行方向对回路 、 、 分别列 KVL 方程。显然，这三个方程也不是相互独立的，任意一式都可以由其它两式相加减得到。如式(2. 1. 3 )与式( 2. 1. 4 )相加可以得到式( 2. 1. 5 )，所以只能取其中的两式作为独立方程的 KVL方程，这里可取式(2. 1. 3 )和式( 2. 1. 4 )。联立独立的 KCL 方程和独立的 KVL 方程:式( 2. 1. 6 )即为图 2. 1. 1 所示电路以支路电流为未知

5、量的独立方程组之一，它完整地描述了该电路中各支路电流和支路电压之间的相互约束关系。该方程组中方程数目与未知量数目相等，故该方程组有唯一解。求解此方程组，即可得到 3 个未知的支路电流。求得各支路电流之后，再根据元件的 VCR 以及回路的 KVL ，即可求得任意支路的电压，然后根据功率的定义还可求得任意支路上的功率等。2. 1. 2 KCL 和 KVL 的独立方程对上述电路利用支路电流法分析列写方程时，先列出所有 KCL 和 KVL 方程，然后通过观察比较，从中找出独立的 KCL 方程和独立的 KVL 方程。如果电路比较复杂，结点数、回路数较多，则按照这种方式来找所需的独立方程就是件很麻烦的事。

6、对于具有 n 个结点、 b 条支路的电路来说，其 KCL 独立方程的个数及KVL 独立方程的个数分别是多少呢? 下面将给出结论及说明。1.KCL 的独立方程设一个电路如图 2.1. 2 所示，对结点 a 、 b 、 c 、 d 分别列写 KCL 方程:图 2.1. 2 KCL 和 KVL 独立方程在这些方程中，每个支路电流均作为一项出现两次，一次为正，一次为负(指电流符号)。这是因为每个支路都连接在两个结点之间，所以每个支路电流必定从一个结点流入，从另一个结点流出。这个支路电流与其它结点不会发生直接联系。因此，上面任意 3 个方程相加，必将得出第 4 个方程。这个结论对于 n 个结点的电路同样

7、适用。对于 n 个结点列出 KCL 方程，所得 n 个方程中任何一个都可以从其余 n -1 个方程中推出来，所以独立方程的个数不会超过 n -1 个，可以证明 KCL 独立方程的个数是 n -1 个。通常将能列出独立 KCL 方程的结点称为独立结点。2.KVL 独立方程的个数在图 2.1. 2 所示电路中，对 3 个网孔和外回路分别列出 KVL 方程。在这些方程中，任意 3 个方程相加，必将得出第 4 个方程，因此，只有 3 个方程是独立的。可以证明:具有 n 个结点、 b 条支路的电路，只能列出 b - (n -1 )个独立的 KVL 方程。习惯上把能列写出独立方程的回路称为独立回路。对于平

8、面电路(注:平面电路是可以画在平面上不出现支路交叉的电路)，有几个网孔就有几个独立的回路数，这是因为任何一个网孔总有一条支路是其它网孔所没有的。这样，沿着网孔的回路列写 KVL 方程，其方程中总会出现一个新的变量。综上所述，对于具有 n 个结点， b 条支路的电路， KCL 独立方程的个数为 n -1 个;KVL 独立方程的个数为 b - ( n -1 )个，两个独立方程的个数之和是 b 个，正好是求 b 个支路电流所需的方程数。2. 1. 3 支路电流法的步骤和特点1. 支路电流法的一般步骤用支路电流法求解具有 n 个结点、 b 条支路的线性电阻电路的步骤如下:(1)选定 b 个支路电流的参

9、考方向;(2 )对 n -1 个独立结点，列出独立 KCL 方程;(3 )选定 b - n +1 个独立回路(基本回路或网孔)，指定回路绕行方向，根据 KVL 列出回路电压方程(将支路电压用支路电流来表示):( 4 )联立求解上述 b 个支路的电流方程;(5 )求解题中要求的支路电压或功率等。2. 支路电流法的特点支路法列写的是 KCL 和 KVL 方程，所以方程列写方便、直观，但方程数较多，宜于在支路数不多的情况下使用。【例 2.1. 1 】 求图 2. 1. 3 所示各支路电流及各电压源发出的功率。解 各支路电流的参考方向及两个网孔的绕行方向如图 2.1. 3 所示。(1) n -1=1

10、个 KCL 方程:结点 a :图 2.1. 3 例 2. 1. 1 的图(2 ) b - ( n -1 ) =2 个 KVL 方程:用克莱姆法则求解由式( 2. 1. 7 )、式( 2. 1. 8 )和式( 2. 1. 9 )组成的三元一次方程组。 和 j 分别为【例 2.1.2 】 用支路电流法求图 2.1.4 所示电路中的各支路电流(电路中含有理想电流源)。解 显然 I 1 =2A 已知，故只列写两个方程。上边结点:避开电流源支路取回路(回路按照逆时针方向绕行):联立求解得图 2.1. 4 例 2. 1. 2 的图【例 2.1. 3 】 用支路法求解图 2. 1. 5 所示电路中各支路电流

11、(电路中含有受控源)。图 2.1. 5 例 2. 1. 3 的图解 各支路电流、各网孔绕向如图 2.1. 5 所示。受控电压源当独立电压源一样处理，对电流源的处理方法:在其两端设定一电压 U 。对独立结点 a ，列 KCL 方程:对两个网孔，利用 KVL 列回路方程:上面三个方程共有四个未知量。补充一个方程:将受控源控制量 u 1 用支路电流表示，即解式(2. 1. 10 ) 式( 2. 1. 13 )得支路电流为2. 2 网 孔 分 析 法支路电流法适用于简单电路计算，由于独立方程数目等于电路的支路数，对支路数较多的复杂电路，需要列写的方程往往太多，手工解算较麻烦。那么，能否使方程数减少呢?

12、若能，则解算方程的工作量就可大大减少，这是我们所期望的。本节要讨论的网孔分析法就是基于这种想法而提出的一种改进方法。1. 网孔分析法的定义以沿网孔连续流动的假想电流为未知量列写电路方程分析电路的方法称为网孔电流法。它仅适用于平面电路。2. 网孔分析法的基本思想为减少未知量(方程)的个数，假想每个网孔中有一个网孔电流。各支路电流可用网孔电流的线性组合表示，来求得电路的解。需要注意的是，网孔电流是一种假想的电流，实际电路中并不存在。引入网孔电流纯粹是为了分析电路方便下面通过图 2.2. 1 所示的电路加以说明。此平面电路有两个网孔，假设有两个电流i m 1 、 i m 2 分别沿着该电路的两个网孔

13、连续流动。由于支路 1 只有电流 i m 1流过，实际的支路1 的电流为 i 1 ，可见 i 1 = i m 1 ;类似地， i 2 = i m 2 ;而支路 3 有两个电流 i m 1 、 i m 2流过，支路 3的电流应为假设的两个电流 i m 1 、 i m 2的代数和，实际支路 3 的电流为 i3 ，可见 i3 = i m 1 - i m 2 。我们把沿着网孔 1 流动的电流 i m 1和沿着网孔 2 流动的电流 i m 2称为网孔电流。当各支路电流用网孔电流表示后，则 KCL 自动满足，这是因为网孔电流在网孔中是闭合的，对每个相关结点均流进一次，流出一次，所以 KCL 自动满足。因此

14、网孔分析法是对网孔回路列写KVL 方程，方程数为网孔数。图 2.2. 1 网孔分析法示意图 3. 方程的列写观察可以看出如下规律:R 11 = R 1 + R 3 :网孔 1 中所有电阻之和，称为网孔 1 的自电阻。R 22 = R 2 + R 3 :网孔 2 中所有电阻之和，称为网孔 2 的自电阻。R 12 = R 21 = - R 3 :网孔 1 、网孔 2 之间的互电阻。u s m 1 = u s1 :网孔 1 中所有电压源电压的代数和。u s m 2 = u s2 :网孔 2 中所有电压源电压的代数和。以下几点需注意:(1 )自电阻总为正。(2 )当两个网孔电流流过相关支路方向相同时，

15、互电阻取正号，否则为负号。(3 )当电压源电压方向与该网孔电流方向一致时，取负号，反之取正号。这样改写上面两式，得到方程的标准形式:式(2. 2. 1 )称为网孔电流方程，简称网孔方程。对于具有 m 个网孔的电路，有式(2. 2. 2 )的方程可以凭观察直接列出，其中:当网孔电流均取顺(或逆)时针方向时， Rjk均为负。无受控源的线性网络 Rjk= Rkj，系数矩阵为对称阵。 u s kk ( k =1 ， 2 ， m )为第 k 个网孔所有独立电压源的代数和，当网孔电流的绕行方向从电压源的“ - ”极指向“ + ”极时，此电压源的电压值取正号，否则取负号。网孔分析法的一般步骤如下:(1 )选

16、网孔为独立回路，并确定其绕行方向;(2 )以网孔电流为未知量，列写其 KVL 方程;(3 )求解上述方程，得到 m 个网孔电流;(4 )求各支路电流;(5 )其它分析。网孔电流法仅适用于平面电路。 4. 网孔法求解电路举例【例 2.2. 1 】 电路如图 2. 2. 2 所示，试用观察法直接列出网孔电流方程。图 2.2. 2 例 2. 2. 1 的图解 首先假设各网孔电流的绕行方向如图 2.2. 2 所示，用观察法直接列出网孔电流方程。整理得 【例 2. 2. 2 】 电路如图 2. 2. 3 ( a )所示。试用网孔电流法求解通过 6 电阻的电流 I 。图 2.2. 3 例 2. 2. 2

17、的图解 此电路为平面电路，可用网孔法分析。电路有两个网孔，假设其电流绕行方向如图 2.2. 3 ( b )所示。本例中电流源是两个网孔的公共支路，由于网孔方程是 KVL 方程，因此在电流源两端设一个电压变量 U ，将其按照独立电压源对待。列写网孔方程如下:上式中多了一个变量 U ，还应补充一个方程:联立式(2. 2. 3 )和式( 2. 2. 4 )解得: I 2 =-1A ，则由图显然有: I =- I 2 =1A 。 【例 2.2. 3 】 电路如图 2. 2. 4 所示，用网孔电流法求电压 U ab 。图 2.2. 4 例 2. 2. 3 的图解 此电路为平面电路，可用网孔法分析。设电路

18、中两个网孔的绕行方向均为顺时针方向。此电路有一受控电压源，先将其当作独立电压源对待。列写网孔方程:上式多了一个变量 U ，将其用网孔电流表示，增补一个方程:以上两式联立解得进而根据 KVL 有在 MATLAB 中，所有的变量和常量都以矩阵的形式存在。行向量可视作 1 n 的矩阵，列向量可视作 n 1 的矩阵，标量可视作 11 的矩阵。矩阵中的各元素可以是复数或者表达式。这些特点使 MATLAB 具有强大的矩阵运算和复数运算能力，在处理电路分析的各种问题时，相比于其它语言，编程更加简便，运算效率更高，更易于实现。 【例 2.2. 4 】 在图 2. 2. 5 所示的电路中，已知 R 1 = R

19、2 =10 ， R 4 = R 5 =8 ， R 3 = R 6 =2 ， U s3 =20V ， U s6 =40V ，用网孔法求解 i 5 。图 2.2. 5 例 2. 2. 4 的图 【例 2.2. 5 】 电路如图 2. 2. 6 所示，电压源 U 1 =8V ， U 2 =6V ， R 1 =20 ， R 2 =40 ，R 3 =60 ，用网孔电流分析法求网孔 、 的电流。解 假定网孔电流在网孔中顺时针方向流动，用网孔电流分析法可求得网孔 、 的电流分别为 127mA 、 -9.091mA 。在 Multisim 的电路窗口中创建图 2. 2. 7 所示的电路，启动仿真，图中电流表的

20、读数即为仿真分析的结果。可见，理论计算与电路仿真结果相同。图 2.2. 6 例 2. 2. 5 电路图图 2.2. 7 例 2. 2. 5 仿真电路图2. 3 回 路 电 流 法网孔分析法仅适用于平面电路，而回路电流法则更具有一般性。它不仅适用于分析平面，也适用于分析非平面电路，在使用中还具有一定的灵活性。1. 回路电流法的定义以独立回路(它不一定是网孔)中沿回路连续流动的假想电流为未知量列写电路方程分析电路的方法，称为回路电流法。它适用于平面和非平面电路。回路电流法就是找出独立回路，假设回路电流，按独立回路列写 KVL 方程求解电路的方法，方程数为 b - (n -1 )。独立回路的选取是使

21、所选回路都包含一条其它回路所没有的新支路。下面说明怎样用回路电流法来求解电路。2. 方程的列写【例 2.3. 1 】 如图 2. 3. 1 所示，用回路法求解电流 i图 2.3. 1 例 2. 3. 1 的图解 本例中，只需求 R 5 上的电流。因此，选取独立回路时，只让一个回路电流经过 R 5支路。如图选取回路，其中回路 1 、 2 是平面电路中的两个网孔，而回路 3 的选取不是右下的网孔，而是由 R 1 、 R 2 、 R 3 、 R 4 构成的回路，则 i =i 2 。仿照之前的网孔分析法，根据所选独立回路列写 KVL 方程，有求解此方程组，我们只需解出 i 2 就可完成本电路的求解。而

22、若是用网孔分析法的话，则需要求解出至少两个网孔电流，然后根据待求支路电流和两个网孔电流的关系才能求解出待求变量，明显要比回路电流法的计算量大。一般地，对于具有 l = b - (n -1 )个回路的电路，其回路方程与 2. 2 节中的式( 2. 2. 2 )类似，只需将式(2. 2. 2 )中的 m 换为 l 即可。综上，回路法的一般步骤如下:(1 )选定 l = b - ( n -1 )个独立回路，并确定其绕行方向;(2 )对 l 个独立回路，以回路电流为未知量，列写其 KVL 方程;(3 )求解上述方程，得到 l 个回路电流;(4 )求各支路电流;(5 )其它分析。回路法的特点: 通过灵活

23、地选取回路可以减少计算量; 互有电阻的识别难度加大，易遗漏互有电阻。 【例 2.3. 2 】 求图 2. 3. 2 所示电路中电压 U 、电流 I 和电压源产生的功率。图 2.3. 2 例 2. 3. 2 的图解 本题 n =3 ， b =6 ，则 l = b - (n -1 ) =4 ，即有 4 个独立回路。选取 4 个独立回路并指定绕行方向，如图所示。显然，几个电流源的电流与回路电流相同，即: i1 =2A ， i 2 =2A ，i 3 =3A 。因此，只需对独立回路 4 列写 KVL 方程:解得进而可求得如果此例选网孔法进行分析，那么除了两个网孔电流已知外，还需要再列两个网孔方程;而利用

24、回路电流法，按照上面选取独立回路，仅需要列一个回路方程，计算量明显减少。最后，需要明确的是网孔法是回路法的特殊情况。网孔只是平面电路的一组独立回路，许多实际电路都属于平面电路，选取网孔作独立回路方便易行，所以把这种特殊条件下的回路法归纳为网孔法。 【例 2.3. 3 】 如图 2. 3. 3 所示电路，用回路电流法求两电路中的电流 I 。解 ( a )本题 n =3 ， b =5 ，则 l = b - (n -1 ) =3 ，即有 3 个独立回路。选取 3 个独立回路并指定绕行方向如题 2.3. 3 图( a )所示。显然，几个电流源的电流与回路电流相同，即i 1 =1A ， i 2 =3A

25、。因此，只需对独立回路 3 列写 KVL 方程:解得则 ( b )类似地，本题 n =4 ， b =6 ，则 l = b - ( n -1 ) =3 ，即有 3 个独立回路。选取 3 个独立回路并指定绕行方向，如题 2.3. 3 图( b )所示。显然，几个电流源的电流与回路电流相同，即 i1 =3A ， i 2 =2 I 。因此，只需对独立回路 3 列写 KVL 方程:补充:解得则题 2.3. 3 图 【例 2.3. 4 】 在图 2. 3. 4 所示的电路中，已知 R =1 ， U s =14V ，试求支路电流 i 和支路电压 U 。图 2.3. 4 例 2. 3. 4 的图解设三个回路电

26、流分别为 I m 1 、 I m 2 、 I m 3 ，有补充方程:将方程整理为2. 4 结 点 电 位 法上一节介绍的网孔分析法中网孔电流自动满足 KCL ，仅应用 KVL 列写方程就可求解电路。那么我们能否找到另外一种变量，它自动满足 KVL ，而仅利用 KCL 列写方程就可求解电路呢? 本节要讨论的结点电位法正是这样一种电路求解方法。该方法又称为结点电压法，简称结点法，是减少方程数目的另一种改进的方程分析方法。在电路中，任选一结点作参考点，其余结点与参考点之间的电压便是相应各结点的电位。1. 结点电位法的定义以结点电位为未知量列写电路方程分析电路的方法，称为结点电位法。该方法适用于结点较

27、少的电路。2. 结点电位法的基本思想选结点电位为未知量，则 KVL 自动满足，无需列写 KVL 方程。各支路电流、电压可视为结点电压的线性组合，求出结点电压后，便可方便地得到各支路的电压、电流。下面以图 2.4. 1 为例，说明怎样以结点电位为独立变量来求解电路。设以结点 0 为参考点，其余两个结点的电压分别记为 u 1 和 u 2 。支路电压可用结点电压表示为: u 12 =u 1 - u 2 ， u 10 = u 1 ， u 20 = u 2 ，对电路的任意回路，如最中间的 G 2 、 G 3 和 G 5 所在回路，有u 12 + u 20 - u 10 = u 1 - u 2 + u 2

28、 - u 1 0 ，所以，结点电压自动满足 KVL 方程。图 2.4. 1 结点法分析图因此，结点电位法列写的是结点上的 KCL 方程，独立方程数为 n -1 。有两点需注意: 与支路电流法相比，方程数减少 b - ( n -1 )个; 任意选择参考点:其它结点与参考点的电位差即为结点电压(位)，方向为从独立结点指向参考结点。3. 方程的列写(1 )选定参考结点，标明其余 n -1 个独立结点的电压。把支路电流用结点电压表示:整理得这就是以结点电位 u 1 、 u 2 为未知量的结点电位方程。方程组(2. 4. 3 )可进一步改写为标准形式的结点电压方程:式中， G 11 = G 1 + G

29、2 + G 3 + G 4 ，表示结点 1 的自电导;G 22 = G 3 + G 4 + G 5 + G 6 ，表示结点 2 的自电导;结点的自电导等于接在该结点上所有支路的电导之和。 G 12 = G 21 =- (G 3 + G 4 )，表示结点 1 与结点 2 之间的互电导。互电导为接在结点与结点之间所有支路的电导之和，总为负值。由于假设结点电位的参考方向总是由独立结点指向参考结点，所以各结点电位在自电导中所引起的电流总是流出该结点的，在结点方程左边流出节点的电流取“ + ”号，因而自电导总是正的;但在另一结点电位通过互电导引起的电流总是流入本结点的，在结点方程左边流入结点的电流取“

30、- ”号，因而互电导总是负的。式(2. 4. 4 )右边的 I s11 = I s1 - I s3 ，为流入结点 1 的电流源电流的代数和; I s22 = I s2 + I s3 ，为流入结点 2 的电流源电流的代数和。流入结点取为正号，流出结点取为负号。由结点电压方程求得各结点电压后即可求得各支路电压，各支路电流可用结点电压表示:对于一般情况，若一个电路有 n +1 个结点，就有 n 个独立结点电位，其独立结点电位分别为 u 1 ，u 2 ， .，u n ，则根据上述原则可列出 n 个独立结点电位方程，即式中， G ii 为自电导，总为正值; Gij= Gji为互电导，结点 i 与结点 j

31、 之间所有支路电导之和，总为负值; is ii 为流入结点 i 的所有电流源电流的代数和。注意:电路不含受控源时，系数矩阵为对称阵。结点法的一般步骤如下:(1 )选定参考结点，标定 n -1 个独立结点;(2 )对 n -1 个独立结点，以结点电压为未知量，列写其 KCL 方程;(3 )求解上述方程，得到 n -1 个结点电压;(4 )通过结点电压求各支路电流;(5 )其它分析。结点法的特点:不仅适用于平面电路，也适用于非平面电路，因此结点法应用更为普遍。对于结点较少的电路利用结点法分析更为简单和方便。4. 节点法求解电路举例【例 2.4. 1 】 如图 2. 4. 2 ( a )所示电路，设

32、结点电位，试列电路的结点方程并求结点电压。图 2.4. 2 例 2. 4. 1 的图解 在一些电路中，常给出电阻和电压源串联形式的激励。在这种情况下应用结点法分析时，先通过电源等效互换将电路等效，再将电压源与电阻串联等效为电流源与电阻并联，进一步对电阻串并联等效，得到图 2.4. 2 ( b )电路。设结点 1 、 2 的电位分别为 u 1 、 u 2 。对结点 1 、 2 列结点方程，有联立求解，可解出结点电压:5. 电压源的处理方法【例 2.4. 2 】 列出图 2. 4. 3 所示电路的结点电位方程并求解。图 2.4. 3 例 2. 4. 2 的图解 因与 2A 电流源串联的 1 电阻不

33、会影响其它支路电流，故在列写结点方程时均不予考虑，选择参考点如图中所示，则 u 2 =3V 。建立结点方程组结点 1 :结点 3 :联立求解，得注意:此例中电压源直接接在结点与参考点之间， u 2 为已知，可少列一个结点方程。【例 2.4. 3 】 列出图示电路的结点电压方程。图 2.4. 4 例 2. 4. 3 的图解 设结点电压分别为 u 1 、 u 2 、 u 3 。图中有三个电压源，其中电压源 u s3 有一电阻与其串联，称为有伴电压源，可将它转换为电流源与电阻并联的形式。另两个电压源 u s1 和 u s2称为无伴电压源。 u s1 有一端接在参考点，故结点 2 的电压 u2 = u

34、 s1 ，因此，就不用对结点 2列方程了。对电压源 u s2 的处理办法是:先假设 u s2 上的电流为 I ，并把它看成是电流为 I 的电流源即可。列结点 1 和 3 的方程为对 u s2 补一方程:小结: 对于有伴电压源，将其等效为电流源与电阻并联的形式; 对于无伴电压源，若有一端接参考点，则另一端的结点电压已知，对此结点就不用列结点方程了，否则在电压源上假设一电流，并把它看成电流源。6. 受控源的处理方法【例 2.4. 4 】 如图 2. 4. 5 所示电路，试用结点法求各支路电流。图 2.4. 5 例 2. 4. 4 的图解 本例中，因与 4A 电流源串联的 4 电阻不会影响其它支路电

35、流，故在列写结点方程时均不予考虑。另电路中含受控源( VCVS )，处理方法是:先将受控源看成独立电源。将有伴电压源转换为电流源与电阻的并联形式。设结点 0 为参考点，其余的 1 、 2 和 3 结点的电位分别为 u 1 、 u 2 和 u 3 ，则可列出结点方程组为将受控源的控制变量用结点电压表示，增补一个方程:联立上述方程，解得则各支路电流分别为因受控电压源电压为所以有小结:对于受控源，先将其视为独立电源，列方程后，对每个受控源再补一个方程将其控制量用结点电压表示。【例 2.4. 5 】 列如图 2. 4. 6 所示电路的结点方程(电阻的单位均为欧姆)。此例是利用结点法分析时，参考点的选择

36、问题。图 2.4. 6 例 2. 4. 5 的图解 对图 2.4. 6 ( a )，选 0 为参考点，设其余三个独立结点电位分别为 u 1 、 u 2 和 u 3 ，则u 1 =9V 。只需对结点 2 和 3 列结点方程:对图 2.4. 6 ( b )，考虑到 4V 独立电压源，所以设 c 为参考点，其它结点电压设u 1 、 u 2 和 u 3，则此例说明，虽然利用结点法分析时，一般情况下参考点任意选。嗨朴谕 2. 4. 6(a )、( b )这种包含理想电压源支路的电路，如果参考点选择得合适，就会减少列写方程的数目，从而可以简化计算过程。除采用上述方式选择参考点外，还可以设其它结点为参

37、考点，并列出独立结点方程，但只有在上述情况(即选择无伴电压源的负极作为参考点)下，列出的方程数目最少。 【例 2.4. 6 】 电路如图 2. 4. 7 所示，试用 Multisim 求节点 a 、 b 电位。解 如图所示电路为 3 个节点的电路，指定参考点 c 后，利用 Multisim 直接仿真出结点 a 、 b 的电位，仿真结果见图 2.4. 8 中电压表的读数， U a =8V ， U b =12. 000V ，与理论计算结果相同。图 2.4. 7 例 2. 4. 6 电路图图 2.4. 8 例 2. 4. 6 仿真电路图例 2.4. 2 、例 2. 4. 3 及例 2. 4. 5 说

38、明了处理包含理想电压源支路的电路应用结点电位法分析时的处理方法。有两种处理方法:第一种处理方法是利用两结点间含理想电压源支路的特点，选其中一个结点作为参考即得另一结点的电位，因而减少了一个未知量，也就减少了一个方程式;第二种处理方法虽然增加了一个辅助方程，使解方程过程麻烦一些，但应看做是一种合理的处理方法。因为，有的问题的参考点给定，它不是理想电压源支路所连的一个结点;有的问题可能含有多个理想电压源支路，我们只能选其中一个含理想电压源支路所连的两个结点之一作参考点，这两种情况都避免不了对含理想电压源支路的结点列写结点方程。知道了第二种处理方法，遇到这两种情况，应用结点法分析时也就不会束手无策了

39、。当然，一般情况下我们总是优先采用第一种处理方法。本章介绍了电阻电路分析的一般方法，支路电流法、网孔分析法、回路电流法和结点电位法。支路电流法的方程数目为支路数 b ;结点电位法的方程数为独立结点数 n -1 ;回路电流法的方程数为独立回路数 b - n +1 。支路电流法要求每个支路电压可以用支路电流表示，限制了该方法的应用，例如对于无伴电流源需要另行处理。回路电流法存在与支路电流法类似的限制。结点电压法的优点是结点电压容易选择，不存在选取独立回路的问题。用网孔法时，选取独立回路简便、直观，但仅适用于平面电路。其中网孔法与结点法都是对支路电流法的一种改进。这两种方法都是重点要求掌握的方法，是

40、通用的一般分析方法，适用于电路的全面求解。在进行具体电路分析计算时，可通过以下方面进行选择: 比较网孔和结点的数目，结点少的适合用结点法 ; 比较电压源和电流源的多少，如电压源多，可选择网孔(回路)法。2. 5 叠 加 定 理叠加定理是线性电路的一个重要定理。它为研究线性电路中响应与激励的关系提供了理论根据和方法，并经常作为建立其它电路定律的基本依据。我们先看一个例子。对于如图 2.5. 1 ( a )所示的电路，求解 i 2 。采用结点电压法，设结点电压为 u n 1 。对结点 1 列方程为由式( 2. 5. 1 )可以看出第一项只与 u s 有关，第二项只与 i s 有关。如果令则电流 i

41、2 写为式中， i 可以看做仅当 us 作用时 R 2 上的电流，如图 2. 5. 1 ( b )所示; i 可以看做仅当 i s 作用时R 2 上的电流，如图 2. 5. 1 ( c )所示。由此可见， R 2 上的电流 i 2 可以看做独立电压源 u s 与独立电流源 i s 分别单独作用时在 R 2 上所产生电流的代数和。响应与激励之间的这种规律，不仅本例才有，任何具有唯一解的线性电路都具有这一特性。图 2.5. 1 叠加定理示例叠加定理可表述为:在线性电阻电路中，任一支路电流(或支路电压)都可看做是电路中各个独立电源单独作用时在该支路产生的电流(或电压)的代数和。叠加定理的正确性，可通

42、过任意的具有 m 个网孔的线性电路加以论述。设该电路的网孔方程为根据克莱姆法则，解式( 2. 5. 2 )，求网孔电流 i 1 :式( 2. 5. 3 )中， j1为 中第一列第 j 行元素对应的代数余子式， j =1 ， 2 ， m ，其余类推。所以有由式(2. 5. 4 )可以看出，第一个网孔电流 i 1 是各个网孔等效独立电源分别单独作用时在该网孔所产生的电流代数和。同理，其余网孔也是如此。电路中任意支路的电压与支路电流呈一次函数关系，所以电路中任一支路的电压也可看做是电路中各独立源单独作用时在该支路产生电压的代数和。由此可见，对任意线性电路，叠加定理都是成立的。当电路中含有受控源时，受

43、控源的作用将反映在自阻、互阻或自导、互导中，因此任一支路电流(或电压)仍可按独立电源单独作用时产生的电流(或电压)叠加计算，而独立源每次单独作用时受控源要保留其中。应用叠加定理时，可以分别计算各个电压源和电流源单独作用时的电流和电压，然后把它们叠加起来，也可以把电路中的所有电源分成组，按组计算电流和电压后，再叠加。应用叠加定理时，要注意以下几点:(1 )叠加定理只适用于线性电路，不适用于非线性电路;(2 )在考虑某一电源单独作用时，其它电源不作用，即置零(电压源短路，电流源开路);(3 )叠加时，要注意电流和电压的参考方向;(4 )叠加定理只能用来分析和计算电流和电压，不能用来计算功率。 【例

44、 2.5. 1 】 用叠加定理求图 2. 5. 2 ( a )所示电路中的电流 I 。已知 R 1 =1 ， R 2 =2 ，R 3 =3 ， R 4 =4 ， U s =35V ， I s =7A 。图 2.5. 2 例 2. 5. 1 电路图解 ( 1 )电流源 I s 单独作用时，电路如图 2.5. 2 ( b )所示，得( 2 )电压源 U s 单独作用时，电路如图 2. 5. 2 ( c )所示，得 ( 3 )两个电源共同作用时，得 【例 2. 5. 2 】 求图 2. 5. 3 所示电路中的电压 U 、电流 I 。图 2.5. 3 例 2. 5. 2 用图 【例 2. 5. 3 】

45、 电路如图 2. 5. 3 所示，利用叠加定理求 R 2 两端的电压 U 。解 ( 1 )从元件库选取电压源、电流源及电阻 R 1 、 R 2 ，再从元件库中选取电压表并选择适当参数，创建图 2.5. 3 所示的电路。图 2.5. 3 例 2. 5. 3 用图(2 )测量电压源单独作用时 R 2 两端的电压。双击电流源图标，将电流源设置为开路。启动仿真开关，电压表的读数为 4V ，测量等效电路如 2.5. 4 所示。图 2.5. 4 电压源单独作用图(3 )测量电流源单独作用时 R 2 两端的电压。双击电压源图标，将电压源设置为短路。启动仿真开关，电压表的读数为 666.667mV ，测量等效

46、电路如图 2. 5. 5 所示。图 2.5. 5 电流源单独作用图(4 )测量两个电源共同作用时 R 2两端的电压。启动仿真开关，电压表的读数为 4. 667V ，测量等效电路如图 2.5. 6 所示。图 2.5. 6 电压源、电流源共同作用图2. 6 齐 次 定 理齐次定理可表述为:在线性电路中，当所有激励源同时增大或缩小 K 倍( K 为实常数)时，其电路中任意处的响应 (电压或电流)将同样增大或缩小 K 倍。【例 2.6. 1 】 电路如图 2. 6. 1 所示， N 是含有独立源的线性电路，已知当 u s =6V ， i s =0A 时，开路电压 u o =4V ;当 u s =0V

47、， i s =4A 时， u o =0V ;当 u s =-3V ， i s =-2A时， u o =2V 。求当 us =3V ， i s =3A 时的电压 u o 。图 2.6. 1 例 2. 6. 1 用图解 将激励源分为三组: 电压源 u s ; 电流源 is ; N 内的全部独立源。设仅由电压源 u s 单独作用时产生的响应为 u o ，根据齐次定理，令 u o = K 1 u s ;仅由电流源 i s 单独作用时产生的响应为 u ，根据齐次定理，令 u o = K 2 i s ;仅由 N 内部所有独立源产生的响应记为将激励源分为三组: 电压源 u s ; 电流源 is ; N 内的

48、全部独立源。设仅由电压源 u s 单独作用时产生的响应为 u o ，根据齐次定理，令 u o = K 1 u s ;仅由电流源 i s 单独作用时产生的响应为 u ，根据齐次定理，令 u o = K 2 i s ;仅由 N 内部所有独立源产生的响应记为u o ，于是，根据叠加定理，有将已知数据代入上式得解得2. 7 替 代 定 理替代定理可以表述为:具有唯一解的电路中，已知某支路 k 的电压为 u k ，电流为 ik ，且该支路不含受控源，或该支路的电压或电流不是其它支路中受控源的控制量，则该支路可用下列任何一个元件替代:(1 )电压等于 u k 的理想电压源;(2 )电流等于 i k 的理想

49、电流源;(3 )阻值为 u k / i k 的电阻 R k 。替代定理可证明如下:当第 k 条支路被一个电压源 u k 所替代时，由于改变后的新电路和原电路的连接是完全相同的，所以新旧两个电路的 KCL 和 KVL 方程也完全相同。两个电路的全部支路的约束关系，除第 k 条支路外，也全部相同。现在，新电路的第 k 条支路的电压被规定为 u s = u k ，即等于原电路的第 k 条支路电压。根据假定，电路在改变前后的各支路电压和电流均是唯一的，而原电路的全部电压和电流又将满足新电路的全部约束关系，所以，原电路各支路的电压、电流值就是新电路的唯一解。同理，当第 k 条支路被电流源 is = i

50、k 所替代时，也可作类似的证明。顺便指出，替代定理还可以推广到非线性电路。【例 2.7. 1 】 电路如图 2. 7. 1 ( a )所示，求电流 i 1 。解 ( 1 )将 a 、 b 两个结点合并为一点，如图 2.7. 1 ( b )所示。(2 )虚线内的部分看做一条支路，且该支路的电流为 4A ，如图 2. 7. 1 ( b )所示。(3 )应用替代定理把该支路用 4A 的电流源替代，如图 2. 7. 1 ( c )所示。(4 )应用电源互换将图 2. 7. 1 ( c )等效为图 2. 7. 1 ( d )。图 2.7. 1 例 2. 7. 1 用图图 2.7. 1 例 2. 7. 1

51、 用图2. 8 等效电源定理前面讨论了电阻的串并联等效、含有电阻和受控源的二端网络的等效变换等内容，这些都是针对无源二端网络的等效。本节将讨论有源二端网络的等效变换。2. 8. 1 戴维宁定理戴维宁定理指出:对外部电路而言，任何一个线性有源二端网络 N 都可以用一个理想电压源 u s 和电阻 R o 的串联组合来等效代换，如图 2.8. 1 所示。其中理想电压源 u s 等于该二端网络的开路电压 u oc ，电阻 R o 等于该二端网络所有电源置零(电压源短路，电流源开路)后，所得到的无源二端网络的等效电阻。图 2.8. 1 戴维宁定理示意图戴维南定理的证明如下:(1 )设有源二端网络 N 与

52、负载相接，负载端电压为 u ，端电流为 i ，如图 2. 8. 2 ( a )所示。(2 )负载用电流源替代，取电流源的电流为 i s = i ，方向与 i 相同，如图 2. 8. 2 ( b )所示。替代后，整个电路中的电流、电压保持不变。(3 )当电流源 i s 作用时，二端网络 N 内部独立电源不作用，受控源保留，如图 2. 8. 2 ( c )所示， u =- R o i ， R o 为二端网络 N 内的等效电阻。(4 )设二端网络 N 内的独立电源一起激励，受控源保留，电流源 i s 置零，即 ab 端开路， u = u oc 如图 2.8. 2 ( d )所示。(5 )根据叠加定理

53、， ab 端口的电压为根据式 2. 8. 1 画出电路的等效模型如图 2. 8. 2 ( e )所示，即证明戴维宁定理是正确的。应用戴维宁定理时，关键是需要求出二端网络的开路电压及等效电阻，等效电阻可以用求输入电阻的方法求得。图 2.8. 2 截维宁定理证明过程【例 2.8. 1 】 电路如图 2. 8. 3 ( a )所示，已知 U s1 =40V ， U s2 =20V ， R 1 = R 2 =4 W，R 3 =13 W，试用戴维宁定理求电流 I 3 。解 ( 1 )断开待求支路，求二端网络的开路电压 U oc ，如图 2.8. 3 ( b )所示。图 2.8. 3 例 2. 8. 1

54、用图( 2 )求等效电阻 R o 。除去所有电源(理想电压源短路，理想电流源开路)，如图 2. 8. 3(c )所示。( 3 )画出等效电路，如图 2. 8. 3 ( d )所示。【例 2. 8. 2 】 用戴维宁定理求图 2. 8. 4 ( a )所示电路中的电流 I 2 。图 2.8. 4 例 2. 8. 2 用图【例 2. 8. 3 】 用 Multisim 软件求图 2. 8. 5 所示电路的戴维宁等效电路。图 2.8. 5 例 2. 8. 3 用图解 ( 1 )从元件库中选取电压源和电阻，创建图 2.8. 5 所示的电路。(2 )从右边仪表库中选出数字万用表，并接至端点 A 、 B

55、，如图 2. 8. 6 所示。在面板上选择“ V ”和“DC ”启动仿真开关，万用表的读数为 8V ，此为 A 、 B 两端开路电压值。图 2.8. 6 测量开路电压和短路电流图(3 )仍将万用表接至端点 A 、 B ，在面板上选择 “ A ”和“ DC ”启动仿真开关，万用表的读数为 2mA ，此为 A 、 B 两端短路电流值。(5 )画出戴维宁等效电路，如图 2. 8. 7 所示。图 2.8. 7 戴维宁等效电路2. 8. 2 诺顿定理诺顿定理指出:对外部电路而言，任何一个线性有源二端网络，都可以用一个电流源和电阻的并联组合来等效代换，其中电流源的电流等于该二端网络的短路电流，电阻 R o

56、 等于该二端网络所有独立源置零(电压源短路，电流源开路)后，所得到的无源网络的等效电阻，如图 2.8. 8 所示。图 2.8. 8 诺顿定理示意图前面讨论过，电压源模型和电流源模型是可以互换的，所以诺顿定理也是正确的。戴维宁定理和诺顿定理在本质上是相同的，只是形式不同而已。设有源二网络的开路电压为u oc ，短路电流为 i sc ，相应无源网络的等效电阻为 R o ，则【例 2. 8. 4 】 用诺顿定理求图 2. 8. 9 中电流 I 。图 2.8. 9 例 2. 8. 4 图2. 9 最大功率传输定理给定一个线性有源二端网络 N ，如图 2.9. 1 ( a )所示，当接在 N 两端的负载

57、 R L不同时，该线性有源二端网络传输给负载 R L 的功率也不同。在什么条件下，负载 R L能获得最大功率呢?图 2.9. 1 最大功率传输示意图前面曾经讨论过，线性有源二端网络 N 可以用戴维宁等效电路或诺顿等效电路来替代。如图 2.9. 1 ( b )所示，当开路电压 u oc 和等效电阻 R o 固定不变时，负载 R L 为何值时， R L能获得最大功率。现讨论如下:解得由以上讨论可归纳总结出最大功率传输定理为:对于确定的线性有源二端网络 N ，其开路电压为 u oc 、等效内阻为 R o ，若负载可任意改变，则当且仅当 R L = R o 时网络 N 传输给负载 R L 的功率最大，

58、此时负载上获得的最大功率为若有源二端网络 N 为诺顿等效电路，同样可得 R L = R o 时，网络 N 传输给负载 R L 的功率最大，此时负载上得到的最大功率为应该指出:不应把最大功率传输定理理解为要使负载功率最大应使戴维宁等效电路内阻 R o 等于 R L 。由图可以看出: R L 一定、 u oc 一定，显然只有当 R o =0 时才能使负载 R L 上获得最大功率;也不能把 R o 上消耗的功率当作二端网络内部消耗的功率，这是因为“等效”的概念是对“外”而不是对“内”的。 【例 2.9. 1 】 图 2. 9. 2 ( a )所示电路中，问 R L 为何值时能获得最大功率，并求此时功

59、率。图 2.9. 2 例 2. 9. 1 图解 根据戴维南定理，图 2.9. 2 ( a )电路等效为图 2. 9. 2 ( b )电路。根据最大功率传输定理可得: R L = R o =1. 5 时可获得最大功率。此最大功率为 【例 2. 9. 2 】 电路如图 2. 9. 3 ( a )所示，问:(1 )电阻 R 为何值时可获最大功率?(2 )此最大功率为多少?图 2.9. 3 例 2. 9. 2 图解 ( 1 )移去 R ，如图 2.9. 3 ( b )所示，求 U oc 。 ( 2 )除去独立电源，如图 2. 9. 3 ( c )所示，求 R o 。当 R = R o =6 W时，获最

60、大功率。 (2 )画出等效电路，如图 2. 9. 3 ( d )所示。习 题 2题 2.1 图2. 1 电路如题 2. 1 图所示，用支路电流法求电路中的电流 I 1 、 I 2 、 I 3 。2. 2 电路如题 2. 2 图所示，求电路中的支路电流 I 1 、 I 2 、 I 3 。题 2.2 图2. 3 电路如题 2. 3 图所示，分别用支路电流法和网孔法求电路中各支路电流和各电源提供的功率。题 2.3 图2. 4 电路如题 2. 4 图所示，列方程组求各支路电流，不必求解。题 2.4 图2. 5 电路如题 2. 5 图所示，已知 I s1 =3A ， I s2 =2A ， U s =9V

61、 ，试用网孔法求电流 I和电压 U ab 。题 2.5 图2. 6 电路如题 2. 6 图所示，用网孔法求 i 1 、 i 2 ，并计算功率是否平衡。题 2.6 图2. 7 电路如题 2. 7 图所示，已知 R 1 =2 ， R 2 =3 ， R 3 =2 ， R 4 =15 ， R 5 =2 ，U s1 =25V ， U s2 =24V ， U s3 =11V ，用回路电流法求各支路电流以及各电源所发出的功率。题 2.7 图2. 8 电路如题 2. 8 图所示，用回路电流法求电流 I x 和 CCVS 的功率。题 2.8 图2. 9 电路如题 2. 9 图所示，用结点电位法求电压 u 。题

62、2.9 图2. 10 电路如题 2. 10 图所示，用网孔法求 I 1 、 I 2 及 U 。题 2.10 图2. 11 电路如题 2. 11 图所示，试用网孔分析法求 u x 和 u 1 。题 2.11 图2. 12 电路如题 2. 12 图所示，用结点电位法求 i 1 、 i 2 、 i 3 。题 2.12 图2. 13 电路如题 2. 13 图所示，求电压 u ab 和电流 i 1 。题 2.13 图2. 14 电路如题 2. 14 图所示，求电流 i 和电压 u 。题 2.14 图2. 15 如题 2. 15 图所示梯形电阻电路，求电流 I 1 。题 2.15 图2. 16 电路如题

63、2. 16 图所示， N s 为有源网路，当 U s =4V 时， I 3 =4A ;当 U s =6V时， I 3 =5A 。求当 U s =2V 时，I 3 为多少?题 2.16 图题 2.17 图2. 18 电路如题 2. 18 图所示，已知 u ab =0V ，求电阻 R 。题 2.18 图2. 19 电路如题 2. 19 图所示，求 a 、 b 两端的入端电阻 R ab ( 1 )。题 2.19 图2. 20 电路如题 2. 20 图所示，计算 R x 分别为 1. 2 W、 5. 2 W时的 I 。题 2.20 图2. 21 求题 2. 21 图所示电路的戴维宁等效电路，已知 R

64、1 =20 、 R 2 =30 、 R 3 =2 、U s =50V 、 I s =1A 。题 2.21 图2. 22 求题 2. 22 图所示电路中的 U o 。题 2.22 图2. 23 用诺顿定理求题 2. 23 图电路中的 I。题 2.23 图2. 24 电路如题 2. 24 图所示，已知 U s1 =24V ， U s2 =5V ，电流源 I s =1A ， R 1 =3 W，R 2 =4 W， R 3 =6 W，计算:( 1 )当负载电阻 R L =12 W时， R L 中的电流和功率;( 2 )设 R L 可调，则 R L 为何值时才能获得最大功率，最大功率值为多少?题 2.24 图2. 25 电路如题 2. 25 图所示，负载电阻 R L 可任意改变，问电阻 R L 为何值时可获得最大功率，并求出该最大功率。题 2.25 图