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1、第六章 特征值与特征向量第一节 矩阵的特征值与特征向量一、矩阵的特征值与特征向量及计算定义 设 A 是一个 n 阶方阵，如果存在数 和非零的 n 维列向量 ， 使得则称数 为矩阵 A 的一个特征值， 并且称非零向量 为矩阵 A 属于特征值 的一个特征向量 显然，一个特征向量只能属于一个特征值，从而，特征值由特征向量所唯一决定；但是，特征向量却不是由特征值唯一决定的 定义2设 是一个 n 阶方阵， 将以 为未知数的多项式 称为矩阵 A 的特征多项式， 这是一个一元 n 次多项式；将 称为矩阵 A 的特征方程； 将矩阵 称为矩阵 A 的特征矩阵 是 n 阶方阵 A 的特征值的充分必要条件为是 A

2、的特征多项式的根求一个方阵的特征值和特征向量的具体步骤： 1）求出方阵 A 的特征多项式 的全部根， 即特征方程 的全部解， 这就是 A 的全部特征值； 2）对于每个特征值 ，求出齐次线性方程组的所有非零解， 我们只需求出上面方程组的一个基础解系 从而 （ 不同时为零）即为属于特征值 的所有特征向量 例1求矩阵 的特征值和特征向量例2求矩阵例3求上（下）三角矩阵以及对角矩阵的特征值 的特征值和特征向量 二、矩阵的特征值与特征向量的性质 定义3设 n 阶方阵 将 A 的主对角线上元素的和 称为方阵 A 的迹，记为 tr(A)定理1设 n 阶方阵 A 在复数域内的 n 个特征值分别为 ，则有1）

3、；2） 推论设 A 是一个 n 阶方阵，则 A 是可逆矩阵的充分必要条件是 A 的特征值均为非零数 定理2相似矩阵具有相同的特征值 推论相似矩阵具有相同的行列式和迹定理3互为转置的两个矩阵具有相同的特征值 对一个 n 阶方阵 A，我们也可以定义矩阵的多项式 设 是一个以 x 为未知量的 s 次多项式， 常数，为且 规定矩阵 A 的多项式为 显然，一个 n 阶方阵 A 的多项式仍然为一个 n 阶方阵定理4设 是矩阵 A 的特征值， 是 A 属于 的特征向量， 则有 1）对于任意的常数 k ，是 A 的特征值，且是 kA 属于 的特征向量； 2）对于任意的正整数 m ， 是 的特征值，且 是 属于

4、 的特征向量； 3）对于 ， 是4）当 A 是可逆矩阵时，的特征值，且 是 属于 的特征向量； 是 的特征值，且 是 属于 的特征向量例4设 A 是一个 4 阶方阵，且 2, -1, 1, 3 为 A 的特征值）求 A 的伴随矩阵 的特征值； ）求 的特征值 定理5设 是矩阵 A 的互不相同的 s 个特征值， 为分别与之对应的特征向量， 则 线性无关换句话说，属于不同特征值的特征向量线性无关例5设 和 为矩阵属于不同特征值的特征向量，则 不是属于任何特征值的特征向量 定理6（哈密尔顿-凯莱定理） 设 是一个 n阶方阵， 是的特征多项式，则有 右端的 O 为 n 阶零矩阵即为第二节 线性变换的特

5、征值 与特征向量一、线性变换的特征值与特征向量及计算 定义4设 V 是数域 F 上的一个线性空间， 是 V 上的一个线性变换如果存在数域 F 中的一个数 与线性空间 V 中一个非零向量 ， 则称数 为线性变换 的一个特征值， 使得 并且称非零向量 为线性变换 属于特征值 的一个特征向量特征值由特征向量所唯一决定； 但是，特征向量却不是由特征值唯一决定的定理7设 V 是数域 F 上的一个 n 维线性空间， 向量组 是 V 的一组基， 是 V 上的一个线性变换，矩阵 A 为 在基 下的矩阵表示 则1）数 是线性变换 的一个特征值的充分必要条件是 是矩阵 A 的特征值； 2）当 是 的一个特征值时，

6、 为 属于 的一个特征向量的充分必要条件是 在基下的坐标向量为 A 属于 的一个特征向量线性变换的矩阵表示的特征值与基的选取无关 于是，通常也将线性变换 的矩阵表示 A 的特征多项式和特征方程，特征方程称为线性变换 的特征多项式和求线性空间 V 上一个线性变换 的特征值与特征向量的具体步骤如下： 1）在 V 中取定一组基 ，写出 在这组基下的矩阵表示 A ，即 A 满足 2）求出矩阵 A 的特征多项式在数域 F 中全部根，这就是的全部特征值； 3）对于每个特征值 ，求出齐次线性方程组 的一个基础解系 ， 从而 （ 不同时为零）即为矩阵 A 属于特征值 的所有特征向量 不妨设 由于 ，令 则 （

7、 不同时为零）即为线性变换 属于特征值 的所有特征向量 例6设 V 是数域 F 上的一个 n 维线性空间， （ 任意的数）是 V 上的数乘变换，即试写出 的特征值和特征向量 例7设 V 是数域 F 上的一个 3 维线性空间， 量 是 V 的一组基，向 是 V 上一个线性变换，满足 求 的特征值和特征向量 则有 1）对于任意的常数 k ，且2）对于任意的正整数 m ， 是 的特征值，且 是 属于 的特征向量； 3）对于 ， 是的特征值，且 是 属于 的特征向量；定理8设 是线性变换 的特征值， 的特征向量， 是 属于是 的特征值，是 属于 的特征向量； 二、线性变换的特征值与特征向量的性质 是

8、的特征值，且 是 属于 的特征向量4）当 是可逆矩阵时，s 个特征值， 为分别与之对应的特征向则 线性无关定理9设 是线性变换 的互不相同的量，定理10（哈密尔顿凯莱定理） 设 是 n 维线性空间 V 上的一个线性变换，是 的特征多项式， 即为 的矩阵表示 A 的特征多项式 则有 右端的 0 为 V 上的零变换 例8设 V 是数域 F 上的一个 n 维线性空间， 是 V 上的两个可逆的线性变换 证明： 和 具有相同的特征值 第三节 矩阵与线性变换的对角化一、对角化的条件 1矩阵的对角化 定义5对于 n 阶方阵 A ， 如果 A 与一个对角矩阵 相似，即存在一个 n 阶可逆矩阵 P ，使得 则称

9、 A 是可对角化的， 并称 P 是相应于 A 的相似变换矩阵 （10） 如果 A 是可对角化的，且与 A 相似的对角矩阵 D 如（10）所示， 那么，由于相似矩阵具有相同的特征值，也是 A 的全部特征值 若不考虑 的顺序， D 是唯一确定的 因此，也称对角矩阵 D 为 A 的相似标准形 根据例3，对角矩阵 D 的特征值即为主对角线上的元素，为 D 的全部特征值 即 定理11设 A 是一个 n 阶方阵 那么 A 是可对角化的的充分必要条件是 A 存在 n 个线性无关的特征向量 推论设 A 是一个 n 阶方阵 如果 A 存在 n 个互不相同的特征值， 那么 A 是可对角化的 定理12设 是 n 阶

10、方阵 A 的 s 个互不相同的特征值， 无关的特征向量， 是 A 的属于特征值 的线性是线性无关的 那么向量组 例9判断矩阵是否可以对角化；如果可以对角化，求出与 A 相似的对角矩阵 D 及相似变换矩阵 P 例10说明例中的矩阵 不可以对角化 2线性变换的对角化定义6设 V 是数域 F 上的一个线性空间， 是 V上的一个线性变换 如果 在 V 的一组基下的矩阵表示是可对角化的， 则称 是可对角化的 定义6 设 V 是数域 F 上的一个线性空间， 是 V上的一个线性变换 如果 在 V 的某组基下的矩阵表示为一个对角矩阵， 则称 是可对角化的 定理13设 V 是数域 F 上的一个线性空间， 是 V

11、上的一个线性变换 那么 是可对角化的充分必要条件是 存在个线性无关的特征向量 推论设 V 是数域 F 上的一个线性空间， 是 V 上的一个线性变换 如果 存在 n 个互不相同的特征值， 那么 是可对角化的 的特征值， 无关的特征向量， 是线性无关的 那么向量组 定理14设 是线性变换 的 s 个互不相同是 的属于特征值 的线性例11设 V 是数域 F 上的一个 3 维线性空间， 是 V 的一组基， 是 V 上一个线性变换， 满足 判断 是否为可对角化的； 如果是可对角化的，求相应的基及在此基下的矩阵表示 二、实对称矩阵的对角化定义7如果一个矩阵的元素均为复（实）数，则称这个矩阵为复（实）矩阵；

12、 如果一个向量同样，的分量均为复（实）数，则称这个向量为复（实）向量 定义8设 是一个复矩阵 将 称为 A 的共轭矩阵，其中 是 的共轭复数 相应地， 我们称 为 n 维向量的共轭向量，其中 是 的共轭复数 容易验证，矩阵的共轭运算满足如下规律： 1） ；2） ；4） ；5） ；6） ；3） ；7）如果 A 是可逆矩阵， 则 其中 A, B 是任意复矩阵，k 是任意复数 性质设 是一个 n 维复向量 则 ， 并且，只有 时，等号才成立 定义9设 和 是 n 维实向量 将 称为向量 与 的内积， 记为 并且，当时，我们称 与 正交 根据定义可以得到实向量的内积满足： 1） ；2） ；3） ；4）

13、 ，只有当 时，等号才成立， 其中 ， 定义10设 是一个 n 维实向量 将 称为向量 的长度 当 时，称为单位向量 如果向量组 中的向量两两正交，即 则称此向量组为正交向量组； 如果一个正交向量组中的每个向量 ， 都是单位向量，即 则称此向量组为规范正交向量组 定义11设 是 s 个 n 维非零实向量 定理16设 是任意 s 个 n 维线性无关的实向量， 则存在一个含有 s 个 n 维向量规范正交组 与 向量组等价 定理17设 A 是一个实对称矩阵则 A 的特征值均为实数，且对应的特征向量可以取成实向量 定理18实对称矩阵 A 属于不同特征值的实特征向量是正交的定理15设 是 s 个 n 维实向量构成的正交向量组 则 是线性无关的 定理19设 A 是一个 n 阶实对称矩阵， 则存在一个 n 阶正交矩阵 Q ，使得 推论设 A 是一个 n 阶实对称矩阵， 是 A 的 r 重特征根， 则 A 存在 r 个属于特征值 的线性无关的特征向量例12设 求一个正交矩阵 Q ，使得为对角矩阵