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1、4.3 李雅普诺夫稳定判据 4.3.1 预备知识 1.标量函数的正定性 标量函数的正定性定义如下： 1）当 时， ；当 时， 则称 是的； 2）若 除原点和某些状态下为零，而其余部分都大于零，则称 为半正定的； 3）若 是正定的，则称 是负定的； 4）若 是半正定的，则称 是半负定的； 5）若 既可以是正值, 也可以是负值,则称 是不定的。1根据上述定义容易检验下列标量函数的正定性1） = 是正定的；2） = 是半正定的,因为当 时 ， =0；3） =( )是负定的；4） = - 是半负定的；5） = 是不定的， 因为当 ， 时， ，而当 ， 时， 。2 2二次型标量函数及其正定性条件 若 (

2、4.32) 则称为二次型标量函数。其中P一般表示为实 对称矩阵，即 。 3 若P表示为实对称矩阵，二次型标量函数的正定性可以用塞尔维斯特(Sylvester)准则判别。该准则叙述如下： 塞尔维斯特准则：记P的主子行列式为 ( 4.33) 二次型标量函数 为正定的充要条件是矩阵P的所有主子行列式为正，即: (4.34) 4 二次型标量函数 为负定的充要条件是矩阵P的各阶主子式满足： = (4.35) 54.3.2 李雅普诺夫稳定判据 若非线性连续系统的状态方程为: (4.36) 不失一般性,设系统的平衡状态为 。如果 ，可以通过 变换为零。 连续系统的李雅普诺夫稳定判据：若存在一个标量函数 ，对

3、所有 的有连续的一阶偏导数，且 是正定的，则6 当 为负定时,平衡状态是渐近稳定的； 当 为负定，且 时，平衡状态是大范围渐近稳定的； 当 为半负定时，平衡状态是李氏意义下稳定的； 当 是半负定的， 不恒等于0时，平衡状态是大范围渐近稳定的； 当 为正定时，则平衡状态是不稳定的。 标量函数称为李雅普诺夫函数。7 离散系统的李雅普诺夫稳定判据：对于非线性离散系统 (4.37) 若存在一个连续的标量函数 , ,对任意 , 是正定的,则当对任意 ，沿轨线 ( 4.38) 为负定时，它的平衡状态 是渐近稳定的，进一步当 ， 时,平衡状态则是大范围渐近稳定的;当 是正定时,平衡状态是不稳定的。标量函数

4、称为系统的李雅普诺夫函数。8 例4.13 非线性系统的状态方程为 分析其平衡状态的稳定性。 解：确定平衡点:9 因为 ，所以 ， .即系统 的平衡点为 :10 取李雅普诺夫函数为 : 则 将状态方程代入上式得 可见， 是负定的，因此，系统在坐标原点处的平衡状态是渐进稳定的。又因为时 ， ，所以是大范围渐进稳定的。 11 例4.14 线性系统的状态方程为 判别系统稳定性。 解： 是唯一的平衡点。取 ，则 当 时， ， 是半负定的。系统平衡点是李氏意义下稳定的。12当 时， ，因此 ,不恒等于0， 也不恒等于0，因此，系统平衡状态是大范围渐进稳定的。 李雅普诺夫函数不是唯一的。本例也可取则因此，

5、是负定的。又因为当 ，所以，系统是大范围渐进稳定的。 13 例4.15 分析系统 的稳定性。 解 平衡点为 ，取 则 可见， 是正定的，所以，平衡点是不稳定的。 144.3.3 线性连续系统的李雅普诺夫稳定判据 李雅普诺夫稳定判据是最一般的方法，适用于线性和非线性系统。但其主要的问题是难以寻找李雅普诺夫函数。事实上，李雅普诺夫稳定性理论本身没有提供构造李雅普诺夫函数的一般方法。但对线性系统，一定可以用二次型来构造李雅普诺夫函数。下面介绍线性系统的李雅普诺夫函数的构造方法与李雅普诺夫稳定判据。 15 设线性时变连续系统的状态方程为: (4.39) 总可以用下列正定二次型函数作为李雅普诺夫函数：

6、(4.40) 式中， 为实对称正定矩阵。16 令 (4.41) 式（4.41）称为李雅普诺夫矩阵微分方程。于是 (4.42) 若Q是正定的，则 是负定的。 因此，满足式（4.41）的实对称矩阵所构成的正定二次型函数 ，是线性连续系统的李雅普诺夫函数。17 线性连续系统的李雅普诺夫稳定判据：线性系统稳定的充分必要条件是，给定一正定的实对称阵Q(t)，存在一个正定实对称矩阵P(t)，使得李雅普诺夫矩阵微分方程成立。 对于线性系统，若A是非奇异矩阵，系统只有一个平衡点 ，所以，若系统是稳定的，则也是大范围稳定的。18 对于线性定常系统， 为常量矩阵，李雅普诺夫矩阵微分方程变为矩阵代数方程 （4.43

7、） 按照以上的介绍，判断线性定常系统稳定性的步骤，应是先取一个正定的实对称阵Q，然后根据式（4.43）解出P，最后检验P的正定性，即可确定系统的稳定性。由于Q阵可以任意指定，而判断结果与Q阵的具体选择无关，为简化计算通常取Q=I 。19 例4.16 系统的状态方程为 ，分析系统的稳定性。 解 取Q=I， ,代入 得 20 根据矩阵相等的定义，得到下列方程组: 解得 , , ，则21 验证正定性：因为 所以，P是正定的。因此，系统是（大范围）渐近稳定的，李氏函数为:224.3.4 线性离散系统的李雅普 诺夫稳定判据 设线性定常离散系统的状态方程为: （4.44） 取下列正定二次型函数为李雅普诺夫

8、函数: （4.45） 式中,P为正定的实对称阵.对于离散系统.采用 差分 :23 代替 ，则 令 (4.46）24 式(4.43)称为离散系统的李雅普诺夫方程。于是: （4.47） 若Q是正定的，则 是负定的。 线性系统的李雅普诺夫稳定判据 线性定常离散系统 渐近稳定的充要条件是，给定任一正定实对称阵Q，存在一个正定实对称阵P，满足离散系统的李雅普诺夫代数方程.25 例4.17 设离散系统的状态方程为 试分析系统的稳定性。 解： 选Q=I，代入离散系统的李雅普诺夫代数方程（4.47）得26 根据矩阵相等的定义，得到下列方程组： 解得 ，则:27 采用塞尔维斯特准则: 所以，P为正定的实对称阵，

9、系统是大范围渐 近稳定的。李雅普诺夫函数为 28 例4.18 设离散系统的状态方程为 试确定系统的平衡点处大范围渐近稳定的条件。 解： 选Q=I，代入离散系统的李雅普诺夫代数方程（4.47） 29 根据矩阵相等的定义，得到下列方程组： 解得： 则: 要使P为正定的实对称阵,应使 ， ,即使系 统稳定的条件为 。因为是线性系统，所以也是大范围渐近稳定的。304.3.5 非线性系统的李雅普 诺夫稳定判据 李雅普诺夫稳定判据虽然适用于非线性系统，但由于非线性系统的复杂性，目前还没有构造李雅普诺夫函数的一般方法。 例如，克拉索夫斯基法选择 作为李雅普诺夫函数，给出了非线性系统平衡状态在大范围内渐近稳定

10、的充分条件；舒茨-基布逊（Schultz-Gibson）的变量梯度法的基本思想是，如果存在一个能证明系统稳定的李雅普诺夫函数 ，则必然存在这个函数的单值梯度 ，因此，可以根据给定形式的 去确定 和 。阿依捷尔曼方法用线性关系取代单值非线性函数，然后根据线性状态方程选取二次型李雅普诺夫函数，分析系统稳定性。31 下面介绍克拉索夫斯基方法: 设非线性定常系统的状态方程为 （4.48） 其中，x为n维状态向量，f(x)为n维向量函数， 其元 是的非线性函数, 且对 是连续可微的。32 设系统的平衡状态为 。克拉索夫斯基建议用构造李雅普诺夫函数，即 其中，W为 正定对称常量矩阵。 而 （4.49）33

11、 其中， （4.50） 称为雅可比(Jacobian)矩阵。 (4.51)34 令 （4.52） 则式（4.51）为: (4.53) 显然,如果由式（4.52）得到的 是负定的,则 是负定的，所以,平衡点 是一致渐近稳定的。如果 ， ，则平衡点 是一致大范围渐近稳定的。 为简化计算，可以选取W=I，则: (4.54)， 35 例4.19 分析下列非线性系统的稳定性。 解 由于 可见，满足条件f(0)=0。选择W=I，则 显然，V(x)为正定的。由式（4.50），雅可比矩阵为:36 所以 由于的各阶顺序主子式分别为: 所以，S(x)是负定的。由李雅普诺夫稳定判据，该系统是渐近稳定的。又由于: 所

12、以，该系统是大范围渐进稳定的。 374.3.6 小偏差线性化方法与李雅普 诺夫第一法 1. 小偏差线性化方法的基本思想 目前一些常用的非线性分析方法的一个基本特点、是:总以某种形式通过线性化而建立起来的方法. 最简单、最常用的线性化方法是所谓的小偏差线性化方法。这种方法假设系统始终运行在工作点附近一个较小的范围内，在这个范围内系统的输入与输出关系可以近似为线性的.描述系统的非线性微分方程式中所含非线性部分在稳态工作点附近展开为泰勒级数，忽略掉其中的非线性（即高次）项，仅取其线性（一次）项，从而将非线性微分方程式转化为线性微分方程式。38 2. 非线性静态模型的线性化 设非线性元件的静特性方程为

13、: (4.55) 设预定工作点为 或 ，则在工作点进行泰勒级数展开，并去掉高次项，得线性化方程为: (4.56) 式中: (4.57)39 例4.20 在例2.7中，液体流出的流量 与 液位高度H的关系为 ，求其线性化方程。 解 则线性化方程为: 或者: 其中， 40 3. 非线性微分方程的线性化 设非线性系统的微分方程为: (4.58) 式中，c 为系统的输出，r 为系统的输入，L 为线性部分，N 为非线性部分。设预定工作点为 ,则线性化方程为: (4.59) 式中: (4.60) 41 例4.21 在例2.7中，液位高度H与液体流入的流量 的关系为: 求其线性化方程。 解 由例4.20得到

14、非线性部分的线性化方程为: 由式（4.59），系统的线性化方程为: 42 4. 非线性状态方程的线性化 设非线性系统的状态方程为: (4.61a) (4.61b) 其中, , 均为连续可微的向量函数。 , , .设 为系统的工作点。将非线性函数向量 ， 在工作点 展开成泰勒级数，并去掉高次项，得线性化方程为： (4.62a) 43 (4.62b) 其中， 为雅可比矩阵，分别为: (4.63) (4.64)44 (4.65) 为状态的增量向量； 为输入的增量向量； 为输出的增量向量。45 若记 , , , 则线性化方程记为习惯的表示形式 (4.65)46 例4.22 求下列非线性系统在处的线性化方程。 解 系统的雅可比矩阵分别为: 所以，非线性系统的线性化方程为: 47 5. 李雅普诺夫第一法 李雅普诺夫在19世纪末提出了所谓的小偏差理论即李 雅普诺夫第一法。 庞加莱李雅普诺夫第一近似定理： （）若线性化模型的特征根均具有负实部，则非线性系统渐近稳定。 （）若线性化模型的特征根有实部为正的根，则非线性系统不稳定。 （）若线性化模型的特征根有实部为零但无实部为正的根，则非线性系统的稳定性不能按线性化模型判别。48