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1、向量序列的收敛性迭代法的收敛性分析迭代误差估计定理平面温度场计算收敛性分析初步平面点列:X (k)Rn : X(1), X (2), , X (k) , 利用向量范数等价性, 对任意范数 | |A X = b (MN )X = b M X = N X + b记 (k) = X(k) X* ( k = 0, 1, 2, 3, )则有 (k+1) = B (k) (k) = B (k-1) ( k = 1, 2, 3, )计算格式: X(k+1) = B X(k) + f ( B = M-1N ) X(k+1) X*= B(X(k) X*) 设方程组的精确解为 X*,则有X* = B X* + f

2、 (1)(k) = B (k-1)=B2 (k-2)=Bk (0)迭代格式 X(k+1) = B X(k) + f 收敛(2)证: 由(k) = B (k-1),得 | (k)| | B| | (k-1)| ( k = 1, 2, 3, )所以命题 若|B|1,则迭代法 X(k+1) =B X(k) +f 收敛| (k)| | B|k | (0)| | B| 1注1: AX = b X = BX + f ( I B )X = f X = ( I B )-1 f 注2: 若 则( I - B)-1 = I + B + B2 + + Bk + 事实上 ( I - B)( I + B + B2 +

3、+ Bk ) =I Bk+1注3: X(k) =B X(k-1) + f = B(B X(k-2) + f) + f = = Bk X(0) + ( I + B + + Bk-1)f ( I B )-1 f 定义4.1 A=(aij)nn, 如果则称A为严格对角占优阵.例1 常微分方程边值问题 求在 x1=0.1, x2=0.2, , x9=0.9 处的数值解 yj-1 + (2 + h2) yj yj+1 = xj h2 ( j= 1,2,9) 高斯-赛德尔迭代格式:误差限设置：10-5。迭代次数k=60，error0 = 1.2742e-004 定理4.3 若Ax=b的系数矩阵A是严格对角

4、占优矩阵,则Jacobi迭代和Seidel迭代均收敛证: 由于矩阵A严格对角占优由A矩阵构造Jacobi迭代矩阵BJ = D-1(D A)第 i 行绝对值求和所以矩阵B 的谱设n阶方阵B 的n个特征值为: 则称集合为B 的谱. 记为 ch B矩阵B的谱半径注1: 当B是对称矩阵时, |B|2 = (B) 注2: 对 Rnn 中的范数| |,有 (B) | B |特征值取模最大定理4.1 迭代法 X(k+1) = B X(k) + f 收敛 谱半径(B) 1例2 线性方程组 A X = b, 分别取系数矩阵为分析Jacobi 迭代法和 Seidel 迭代法的敛散性Jacobi X(k+1)=D-

5、1(U+L)X(k)+D-1bSeidel X(k+1) = (D L)-1b + (D L)-1UX(k) Ans= 1.2604e-005D=diag(diag(A1);B1=D(D-A1);max(abs(eig(B1)A1=1,2,-2;1,1,1;2,2,1收敛A2=2,-1,1;1,1,1;1,1,-2D=diag(diag(A2)B2=D(D-A2)max(abs(eig(B2)Ans= 1.1180发散DL=tril(A1)B1=DL(DL-A1)max(abs(eig(B1)Ans= 2发散DL=tril(A2)B2=DL(DL-A2)max(abs(eig(B2)Ans=

6、1/2收敛定理4.2 :设X*为方程组 AX=b 的解若|B|1,则对迭代格式 X(k+1) = B X(k) + f 有(1)(2)证 由|B|0, 记 xTLTx = a , 则有xTAx=xT(D L LT)x=p a a =p 2a 0设 为BG-S的任一特征值, x 为其特征向量,则称 R= ln 为迭代法的渐近收敛速度。所以, 迭代矩阵 BG-S 的谱半径 (BG-S) 1,从而当方程组 Ax=b的系数矩阵A 是实对称正定矩阵时, Gauss-Seidel迭代法收敛。(i=1,2, n; k = 1,2,3, )超松驰(SOR)迭代法Gauss-Seidel迭代格式最佳松驰因子选取

7、迭代矩阵为Jacobi迭代谱半径.定理4.8 若 A 是对称正定矩阵, 则当0 2 时SOR 迭代法解方程组 Ax = b 是收敛的。BJ = D-1(U+L) 平面温度场问题:令 h = 1/(n+1) , xj= jh, yj = jh ( i , j = 0,1, , n+1 )记 ui,j= u(xi , yj ), ( i , j = 0,1, , n+1 )线性方程组( i,j = 1,n )u0, j = 0, ui, 0 = 0, ui, n+1 = 0系数矩阵Seidel迭代格式SOR迭代格式最佳松驰因子结点数n2 102 202 402迭代次数 182 606 2077CP

8、U时间(s) 0.97 4.328 58.531误差 0.0023 6.4274e-4 1.6814e-4Gauss-Seidel迭代实验 (误差限10-8):SOR迭代实验(误差限10-8):结点数n2 102 202 402迭代次数 40 74 137CPU时间(s) 0.11 0.6560 4.9530 误差 0.0023 6.4306e-4 1.6944e-4 块迭代法简介设 ARnn, xRn, bRn其中, AiiRnini, AijRninj , xiRni, BiRni将方程组 Ax = b 中系数矩阵 A 按行列分块将A分解, A = DB LB UB Jacobi块迭代 D

9、B X(k+1) = (LB + UB)X(k) + B( i=1,2, r )(2)Gauss-Seidel块迭代 DB X(k+1) = LB X(k+1)+ UBX(k) + b( i=1,2, r )( i,j = 1,n )边值问题:, , AU = F Gauss-Seidel算法I:三对角矩阵的三角分解 A = L U( k = 2,3,n1 )紧格式: L+U I 下三角方程组 LY = f 算法II:上三角方程组 UX = Y 算法III: n2 102 202 402 602迭代次数 107 339 1135 2331CPU时间0.3750 4.3750 58.0470 284.9060误差 0.0023 6.42e-4 1.68e-4 7.51e-5五点差分格式块迭代实验 (误差限:1e-008) n2 102 202 402 602迭代次数37 70 135 200CPU时间0.11 0.6250 4.562014.3590误差 0.0023 6.43e-4 1.69e-47.66e-5五点差分格式块SOR迭代实验(误差限:1e-008) 最佳松驰因子 :数值微分-有限差分法一阶向前差商一阶向后差商二阶中心差商一阶中心差商