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1、1.3.1函数的单调性与导数一、复习回顾:基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)cf(x)_f(x)x(Q*)f(x)_f(x)sinxf(x)_f(x)cosxf(x)_f(x)axf(x)_f(x)exf(x)_f(x)logaxf(x)_f(x)lnxf(x)_0 x1cosxsinxaxlnaex(和与差的导数等于导数的和与差)(前导后不导,后导前不导,中间是正号)(分母平方要记牢,上导下不导,下导上不导,中间是负号)一、复习回顾:求导法则 函数 y = f (x) 在给定区间 G 上,当 x 1、x 2 G 且 x 1 x 2 时函数单调性判定单调函数的图象特征yxoabyxoa
2、b1)都有 f ( x 1 ) f ( x 2 ),则 f ( x ) 在G 上是增函数;2)都有 f ( x 1 ) f ( x 2 ),则 f ( x ) 在G 上是减函数;若 f(x) 在G上是增函数或减函数,增函数减函数则 f(x) 在G上具有严格的单调性。G 称为单调区间G = ( a , b )二、复习引入:新课引入引例1.确定函数 在哪个区间内是增函数?在哪个区间内是减函数?引例2.确定函数 在哪个区间内是增函数?在哪个区间内是减函数?研究函数的单调性你有哪些方法?发现问题 函数单调性的定义是讨论函数单调性的基本方法,但有时十分麻烦,尤其当函数的解析式复杂时这里就需要寻求一种新的
3、方法能画出函数的图像吗 ?能用单调性的定义吗?试一试!解决了吗?到哪一步解决不了?引例2.确定函数 在哪个区间内是增函数?在哪个区间内是减函数?三,问题探究 函数的单调性与导数之间存在怎样的联系?探究单调性与导数的关系学习目标 1,理解函数单调性与导数的关系 2,掌握用导数判断证明函数单调性方法 3,能运 用导数求函数的单调区间 重点:利用导数判断函数的单调性及求函数的单调区间.难点:利用导数求函数的单调区间.预习教材P22-25,找出疑惑之处ox2y1.在x2的左边函数图像的单调性如何?2.在x2的左边函数图像上的各点切线的倾斜角为 (锐角/钝角)?他的斜率有什么特征?3.由导数的几何意义,
4、你可以得到什么结论?4.在x2的右边时,同时回答上述问题。问题探究xyOxyOxyOxyOy = xy = x2y = x3 观察下面一些函数的图象, 探讨函数的单调性与其导函数正负的关系. 在某个区间(a,b)内,如果 ,那么函数 在这个区间内单调递增; 如果 ,那么函数 在这个区间内单调递减.如果恒有 ,则 是常数。aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf (x)0f (x)0,则f(x)在此区间上单调递增,反之也成立吗?提示:不一定成立.比如yx3在R上为增函数,但其在x0处的导数等于零.也就是说“f(x)0”是“yf(x)在某个区间上递增”的充分不必要条件 证明:函数ylnxx在
5、其定义域内为单调递增函数.例1四,方法应用【点评】(1)利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性,实质上就是判断或证明不等式f(x)0(f(x)0和f(x)0;(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间.变式、判断下列函数的单调性,并求出单调区间。(2) f(x)=x2-2x-3 (1) f(x)=x3+3x (3) f(x)=3x-x3, (4) f(x)=x3-x2-x方法应用练习、已知导函数 的下列信息:当1x0;当x4,或x1时, 0f (x)1, 证明:x ln(x+1) 、已知函数 f(x)=2x3-3(a+1)x2+6a x+8.其中aR,若f(x) 在区间(-,0)
6、上是增函数,求实数a的取值范围点评:利用函数的单调性求参数的取值范围,常转化为不等式恒成立问题.一般地,函数f(x)在区间I上单调递增(递减);等价于不等式f(x)0(f(x)0)在区间I上恒成立,然后可借助分离参数等方法求出参数的取值范围.例4方法应用变式1:求参数解:由已知得因为函数在(0,1上单调递增本题用到一个重要的转化:在某个区间上, ,f(x)在这个区间上单调递增(递减);但由f(x)在这个区间上单调递增(递减)而仅仅得到 是不够的。还有可能导数等于0也能使f(x)在这个区间上单调,所以对于能否取到等号的问题需要单独验证变式2已知函数f(x)x3ax1,是否存在实数a,使f(x)在
7、(1,1)上单调递减?若存在,求出a的取值范围;若不存在,说明理由解:存在f(x)3x2a,又f(x)在(1,1)上单调递减,f(x)0在(1,1)上恒成立,即3x2a0在(1,1)上恒成立a3x2在(1,1)上恒成立,又03x20,则f(x)在此区间是单调递增的;但由函数f(x)在区间(a,b)内递增又可得出f(x)0,因此在(a,b)内f(x)0并不是函数f(x)在(a,b)内递增的充要条件2如果在(a,b)内,f(x)0,则f(x)在此区间是单调递减的;同理在(a,b)内f(x)0和f(x)0f(x)0五,课堂小结3,利用函数的单调性求参数的取值范围,常转化为不等式恒成立问题.一般地,函数f(x)在区间I上单调递增(递减);等价于不等式f(x)0(f(x)0)在区间I上恒成立,然后可借助分离参数等方法求出参数的取值范围课堂训练;学案P14 本讲到此结束,请同学们课后再做好复习. 谢谢!再见! 作业: P31 A组 1(2)(4),2(3)(4)备选题A 2、判断下列函数的单调性,并求出单调区间 (2) f(x)=x-lnx (1) f(x)=x3-3x 备选题 3、求证:函数 f(x)=2x3+3x2-12x+1 在区间(-2,1)内是减函数备选题4、已知函数 f(x)=4x+ax2- x在区间-1,1上是增函数,求实数a的取值范围备选题
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