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1、第一章空间解析几何与向量代数内容小结一、向量代数L向堂的定义具有大小和方向的量称为向量;只有大小的量称为数量（实数）.向量可以用有向线段初 来表示.2,向上的模向量口的长度称为向量的模,记为.模为1的向量称为单位向量;长度为零的向量称为 零向量.记为0.对两个向量的夹角8,规定004兀3.基本单位向量与I轴、y轴述轴三个坐标轴同方向的单位向量分别记为i,j,3称为基本单位向量.4.向量的方向角与方向余弦非零向量。分别与I轴、）轴2轴三个坐标轴正向的夹角口小y称为口的方向角；cow tosf, cosy称为。的方向余弦.5,向土的坐标表示若a分别在工轴、丁轴排轴三个坐标轴上的投影为口则a =山+

2、切+ d, 记为。二血八，并称叫方式为向量a的坐标,对干给定的点Mi （j；小,为）,M式力，比，血）， 则mM= （七 一 ）i + （y2 1yi）j +（勺一修=5 一心功一用一右，6,向量的发性运算给定向量。4及数量3可定义向量的加法a+P及数量乘法入a,统称为向量的线性运 算，其满足运算律：1）加法交换律。+尸叶a；2）加法结合律（a+p）+尸c+（E+r）;3）数量乘法结合律1（w）=，Afl） = （1）*其中与是数量；4）数量乘法对于数量加法的分配律a+）a=+w；5）数量乘法对于向量加法的分配律Xa+，）=M+居7.向上的好积给定向量a与人它们的数量积定义为a,尸Wlcosy

3、,其中乎是。与。的夹角.数翻满足下列运算律:1）交换律a ,尸卜明2）结合律A（a P=（M），产a （加）,其中A是教量;3)分配律 S+A) r=a y+P rj8,向量的向量积给定两个向量Q和，它们的向量积定义为一个向量，记为aX/h满足:D Hxp| = |a|,|sin,其中是。与。的夹角；2）aX。的方向垂直于q与，所在的平面，并且与。,p符合右手法则.向量积满足下列运算律:反交换律 aX/J=-（/|Xa）；结合律 XaXA）= aa）XA=QX（邛），其中久是数量; 左分配律 rX（a+/J）=yXa+yX/,右分配律（a+）Xy=aXy+AXr.9.向量及其坐标的有关公式给定

4、向量%,，=（仇也也）及数量九则1）M =/即，油），a土=加 61，1土瓦，由土仇）.2）a 六|。| I川co即=幻瓦+勺仇+%，其中9是两个向量的夹角.于是可推知加=a加=a=+即67+小平一,一扃焉奇魂+史4）a与。平行的充要条件是它们对应的坐标成比例，即? = ? = 空.y 仇5） a与,垂直的充分必要条件是事，=0,即对仇+见仇+口33=。.6）若。=勺,%,的/0,6）若。=勺,%,的/0,则=1r-r0 lai称为a单位化向量，它表示与。同方向的单位向量并有a=|a|atJ.此时 H +/； +口；+ a； +a： Jg： +a； + a；= kosa, cosg, cosy

5、, 其中cosa, cosp, COS7是口的方向余弦.二、空间中的曲面与曲线.曲面与曲面方程给定曲面S及三元方程F(7.z)=0 如果曲面S上的点的坐标都满足方程，反之，方程 的解所对应的点都在S上冽称S为方程FCr,yM=O所表示的曲面.两个方程ECr,y,z)=O和F2(N,y,z) = 0表示同一个曲面的充分必要条件是它们为同解方格.空间由发的方程空间中的曲线C可以看做两个曲面的交线，它的一般方程为F（7.y,z） = 0,G（7,y,z） = 0.空间曲线C也可表示为参数方程X -工9 y = y。）, z = z（z）.旋转面方程I一条平面曲线C绕它所在平面的一条直线L旋转一周所生

6、成的曲面称为旋转曲面(旋转 面)，其中曲线C称为旋转曲面的母线，直线L称为旋转曲面的旋转轴.f(y,Z)= (J,0”平面上的曲线C：绕Z轴旋转的旋转面方程为7 = 0f(- JX + ,z) =0;绕y轴旋转的旋转面方程为f(y, 土 v? + r) = 0.类似可得其它坐标面上的曲线绕坐标轴旋转的旋转面方程.4.柱面方程一平行于定直线L并沿定曲线C移动的直饯/所生成的曲面称为柱面，其中动直线，在移 动中的每一个位置称为柱面的母线，曲线C称为柱面的准线.以0。平面上的曲线C：以0。平面上的曲线C：e = 0= o.同理方程g（y,w）=o和小工,力=。分别表示母线平行于工轴和轴的柱面.5,由

7、我收生标面上的权形在空间曲线。（K（右 y,z） = 0,在空间曲线。的施中蜀同殿形分瞬去谑碎通幅到C在0”平取0m平面及0町平面上的投敷曲线，分别形如F(z) = 0, 工F(z) = 0, 工=0.G(n) = 0,y = 0,f = 0,z = 0.三、空间中的平面与直线方程L平面方程D点法式：给定空间中的点PCr”M。）及非零向量n=A,B,C,则经过点R且与果 垂直的平面方程为AGr 工。）+ B（y 知）+CG %） = 0, 其中n称为平面的法向量.2）一般式；Ai+By+a+D=0,其中A,B,C不全为零.3）截距式；尸1,其中血全不为零.4）两个平面之间的关系：设两个平面说与

8、吗的法向量依次为“ = （A1,B,CJ和曲=4田力CJ山与4的夹角6规定为它们法向量的夹角（取锐角），这时,coM =% =A4 +BB? + GGISJ TJ ，A； + B； + Cf ./A； + B；+C两个平面平行的充要条件是:学=3=?；& 口 2 L两个平面垂直的充要条件是：A1A2+B1B2+C1C2=0.直线方程.直线与平面的关系1）一般式：将直线表示为两个平面的交线j A_r + Bi）+ Gz +D =0,（+ B2y + G t +。= 0.* 2）若直线L经过点且与向量产=。,那,工0平行,则匕的方程为对称式；工-工0_）一刈=看I m n参数式：，H=* + A

9、, = %+血，-80, 60, c01-56）,例如4+4+左=1，/+2丁+3z? = 12等均表示椭球面. * v X U3）桶圆抛物面:其中。0其中。00 （图157）.例如2 =尺+炉，-z = 2+y2等均表示椭圆抛物面.图 1-57图 1-574）椭圆锥面:7 _ V a ylZ _/ + 囚其中q00 （图158）.例如z2=/+y2表示楠圆锥面.5）单叶双曲面:r2 J /_7 +方一？ = 1， 其中 a09 b09 c0 （图 1-59）.例如x2+yzz2 = l表示单叶双曲面.6）双叶双曲面： V2 Z2.不 十af=-1, 其中 a 0,。 0, C 0 （图 1-60）.例如Z2X2-J2 = l表示双叶双曲面.