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1、专题04根与系数关系阅读与思考根与系数的关系称为韦达定理，其逆定理也成立，是由16世纪的法国数学家韦达所发现的.韦达定 理形式简单而内涵丰富，在数学解题中有着广泛的应用，主要体现在：.求方程中字母系数的值或取值范围；.求代数式的值；.结合根的判别式，判断根的符号特征；.构造一元二次方程；.证明代数等式、不等式.当所要求的或所要证明的代数式中的字母是某个一元二次方程的根时，可先利用根与系数的关系找 到这些字母间的关系，然后再结合已知条件进行求解或求证，这是利用根与系数的关系解题的基本思路， 需要注意的是，应用根与系数的关系的前提条件是一元二次方程有两个实数根，所以，应用根与系数的 关系解题时，必

2、须满足判别式三0.例题与求解【例1】设关于x的二次方程(m2 -4)x2 + (2m-1)x +1 = 0 (其中m为实数)的两个实数根的倒数和为s，则s的取值范围是.【例2】如果方程(X-1)(x2 - 2x + m) = 0的三个根可以作为一个三角形的三边长，那么，实数m的取值范围是A. 0 A. 0 m 13 m 143 m B .不解方程，求-+ 3p 2的值.st + 4 s +1【例4】 设实数s, t分别满足19s2 + 99s +1 = 0,12 + 991 +19 = 0并且st 1,求的值.tb 1 a 1【例5】 若实数a, b满足a2 + 5 = 8a , b2 + 5

3、 = 8b，求代数式+ 的值；a 1 b 13 x + 2 y + z - a(2)关于x, y,z的方程组|有实数解(x, y, z)，求正实数a的最小值；xy + 2 yz + 3 zx - 6(3)已知x, y 均为实数，且满足xy + x + y -17，x2y + xy2 - 66，求x4 + x3y + x2y2 + xy3 + y4 的值.【例6】a,b,c为实数，ac 0，且：2a + 1的一切实数6.设6.设xx2是关于x的一元二次方程x2 + x + n 2 = mx的两个实数根 )且 x 0, x 3x 0)的两根之差为1,那么p等于()A. 2B. 4C. b ,且方程

4、3 x2 + 3( a + b) x + 4 ab = 0的两个根a, P满足关系式a(a +1) +P (P +1) = (a+ 1)(P +1) .试求所有整数点对(a, b).若方程x2 + 3x +1 = 0的两根a,p也是方程x6 - px2 + q = 0的两根，其中p, q均为整数，求p, q的值.11.设a, b是方程x2 - 3 x +1 = 0的两根，d是方程X 2 4 x + 2 = 0的两根，a b c d+ - += M . b + c + d c + d + a d + a + b a + b + c求证:(1)a 2b 2c 2d 2+b + c + d c +

5、d + a d + a + b a + b + c(2)a 3b 3c 3d 3+b + c + d c + d + a d + a + b a + b + c=49M - 68 .12.设m是不小于-1的实数，使得关于x的一元二次方程x2 + 2(m - 2)x + m2 - 3m +1 = 0有两个不相等实数根5, x2.(1)若 x 2 + x 2 = 6，求 m 的值； 12mx 2 mx 2(2)求+”的最大值.1 - x 1 - x13.已知关于x的一元二次方程x2 + cx + a = 0的两个整数根恰好比方程x2 + ax + b = 0的两个根都大1,求a + b + c的值.