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1、 课时分层作业(六十一)古典概型、概率的基本性质一、选择题1若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为()A0.3 B0.4 C0.6 D0.7B由题意知不用现金支付的概率为10.450.150.4.2(2020全国卷)设O为正方形ABCD的中心,在O,A,B,C,D中任取3点,则取到的3点共线的概率为()A eq f(1,5) B eq f(2,5) C eq f(1,2) D eq f(4,5)A根据题意作出图形,如图所示,在O,A,B,C,D中任取3点,有C eq oal(sup1(3),sdo1(5)10种可能情况,

2、其中取到的3点共线有(OAC)和(OBD)2种可能情况,所以3点共线的概率为 eq f(2,10) eq f(1,5),故选A.3抛掷一个质地均匀的骰子的试验,事件A表示“小于5的偶数点出现”,事件B表示“小于5的点数出现”,则一次试验中,事件A eq xto(B)发生的概率为()A eq f(1,3) B eq f(1,2) C eq f(2,3) D eq f(5,6)C抛掷一个骰子的试验有6种等可能结果依题意P(A) eq f(2,6) eq f(1,3),P(B) eq f(4,6) eq f(2,3),所以P( eq xto(B)1P(B)1 eq f(2,3) eq f(1,3).

3、因为 eq xto(B)表示“出现5点或6点”的事件,所以事件A与 eq xto(B)互斥,从而P(A eq xto(B)P(A)P( eq xto(B) eq f(1,3) eq f(1,3) eq f(2,3).4(2021重庆八中模拟)四名数学老师相约到定点医院接种新冠疫苗,若他们一起登记后,等待电脑系统随机叫号进入接种室,则甲不被第一个叫到,且乙、丙被相邻叫到的概率为()A eq f(1,8) B eq f(1,6) C eq f(1,4) D eq f(1,3)D四名教师总的进入接种室的顺序有A eq oal(sup1(4),sdo1(4)24种,则:甲第二个被叫到,且乙、丙被相邻叫

4、到的方法数有A eq oal(sup1(2),sdo1(2)2种;甲第三个被叫到,且乙、丙被相邻叫到的方法数有A eq oal(sup1(2),sdo1(2)2种;甲第四个被叫到,且乙、丙被相邻叫到的方法数有2A eq oal(sup1(2),sdo1(2)4种,所以“甲不被第一个叫到,且乙、丙被相邻叫到”的概率为 eq f(224,24) eq f(1,3).故选D.5中国篮球职业联赛(CBA)中,某男篮运动员在最近几次参加的比赛中的得分情况如下表:投篮次数投中两分球的次数投中三分球的次数1005518记该运动员在一次投篮中,“投中两分球”为事件A,“投中三分球”为事件B,“没投中”为事件C

5、,用频率估计概率的方法得到的下述结论中,不正确的是()AP(A)0.55 BP(B)0.18CP(C)0.27 DP(BC)0.55D由题意可得P(A) eq f(55,100)0.55,P(B) eq f(18,100)0.18.因为事件AB与事件C为对立事件,且事件A,B,C互斥,所以P(C)1P(AB)1P(A)P(B)10.550.180.27,P(BC)1P(A)10.550.45.故选D.6(2021武汉质检)我国古人认为宇宙万物是由金、木、水、火、土这五种元素构成的,历史文献尚书洪范提出了五行的说法,到战国晚期,五行相生相克的思想被正式提出这五种物质属性的相生相克关系如图所示,若

6、从这五种物质中随机选取三种,则取出的三种物质中,彼此间恰好有一个相生关系和两个相克关系的概率为()A eq f(3,5) B eq f(1,2) C eq f(2,5) D eq f(1,3)B(列举法)依题意,三种物质间相生相克关系如下表,金木水金木火金木土金水火金水土金火土木水火木水土木火土水火土所以彼此间恰好有一个相生关系和两个相克关系的概率p eq f(5,10) eq f(1,2),故选B.二、填空题7(2020江苏高考)将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,则点数和为5的概率是_ eq f(1,9)列表如下:点数的和共有36种等可能情形,其中和为5的共有4种情形,

7、由古典概型的概率公式可得点数和为5的概率P eq f(4,36) eq f(1,9).8从1,2,3,30这30个数中任意摸出一个数,则事件“摸出的数是偶数或能被5整除的数”的概率是_ eq f(3,5)设事件A“摸出的数为偶数”,事件B“摸出的数能被5整除”,则P(A) eq f(1,2),P(B) eq f(6,30) eq f(1,5),P(AB) eq f(3,30) eq f(1,10),所以P(AB)P(A)P(B)P(AB) eq f(1,2) eq f(1,5) eq f(1,10) eq f(3,5).9已知花博会有四个不同的场馆A,B,C,D,甲、乙两人每人选2个去参观,则

8、他们的选择中,恰有一个馆相同的概率为 _ eq f(2,3)甲选2个去参观,有C eq oal(sup1(2),sdo1(4)6种,乙选2个去参观,有C eq oal(sup1(2),sdo1(4)6种,共有6636种,若甲、乙恰有一个馆相同,则选确定相同的馆有C eq oal(sup1(1),sdo1(4)4种,然后从剩余3个馆种选2个进行排列,有A eq oal(sup1(2),sdo1(3)6种,共有4624种,则对应概率P eq f(24,36) eq f(2,3).三、解答题10经统计,在某储蓄所一个营业窗口排队的人数相应的概率如下:排队人数012345人及5人以上概率0.10.16

9、0.30.30.10.04求:(1)至多2人排队等候的概率;(2)至少3人排队等候的概率解记“无人排队等候”为事件A,“1人排队等候”为事件B,“2人排队等候”为事件C,“3人排队等候”为事件D,“4人排队等候”为事件E,“5人及5人以上排队等候”为事件F,则事件A,B,C,D,E,F彼此互斥(1)记“至多2人排队等候”为事件G,则GABC,所以P(G)P(ABC)P(A)P(B)P(C)0.10.160.30.56.(2)法一:记“至少3人排队等候”为事件H,则HDEF,所以P(H)P(DEF)P(D)P(E)P(F)0.30.10.040.44.法二:记“至少3人排队等候”为事件H,则其对

10、立事件为事件G,所以P(H)1P(G)0.44.11广场舞是现代城市群众文化、娱乐发展的产物,也是城市精神文明建设成果的一个重要象征.2021年某校社会实践小组对某小区参与广场舞的群众进行了年龄的调查,随机抽取了40名广场舞者进行调查,将他们的年龄分成6组:20,30),30,40),40,50),50,60),60,70),70,80,得到如图所示的频率分布直方图(1)计算这40名广场舞者中年龄分布在40,70)的人数;(2)若从年龄在20,40)的广场舞者中任选2名,求这2名广场舞者中恰有一人年龄在30,40)的概率解(1)由题知,这40名广场舞者中年龄分布在40,70)的人数为(0.02

11、0.030.025)104030.(2)由频率分布直方图可知,年龄在20,30)的有2人,分别记为a1,a2,年龄在30,40)的有4人,分别记为b1,b2,b3,b4.现从这6人中任选2人,共有如下15种选法:样本空间(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a1,b4),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(a2,b4),(b1,b2),(b1,b3),(b1,b4),(b2,b3),(b2,b4),(b3,b4),共有15个样本点其中恰有一人年龄在30,40)的有8个样本点,故这2名广场舞者中恰有一人年龄在30,40)的概率P eq f(8,15).1

12、食物链亦称“营养链”,是指生态系统中各种生物为维持其本身的生命活动,必须以其他生物为食物的这种由食物联结起来的链锁关系这种摄食关系,实际上是太阳能从一种生物转到另一种生物的关系,也即物质能量通过食物链的方式流动和转换如图为某个生态环境中的食物链,若从鹰、麻雀、兔、田鼠以及蝗虫中任意选取两种,则这两种生物恰好构成摄食关系的概率为()A eq f(1,3) B eq f(2,5) C eq f(3,5) D eq f(2,3)B从鹰、麻雀、兔、田鼠以及蝗虫中任意选取两种,不同的选法有C eq oal(sup1(2),sdo1(5)10(种),其中恰好构成摄食关系的有鹰与田鼠、鹰与兔、鹰与麻雀、麻雀

13、与蝗虫,共4种,所以所求事件的概率P eq f(4,10) eq f(2,5).2我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,爻分为阳爻“”和阴爻“”,如图就是一重卦在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦恰有3个阳爻的概率是()A eq f(5,16) B eq f(11,32) C eq f(21,32) D eq f(11,16)A由6个爻组成的重卦种数为2664,在所有重卦中随机取一重卦,该重卦恰有3个阳爻的种数为C eq oal(sup1(3),sdo1(6) eq f(654,6)20.根据古典概型的概率计算公式得,所求概率P eq f(20,64) e

14、q f(5,16).故选A.3某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,记录指针所指区域中的数设两次记录的数分别为x,y.奖励规则如下:若xy3,则奖励玩具一个;若xy8,则奖励水杯一个;其余情况奖励饮料一瓶假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀小亮准备参加此项活动(1)求小亮获得玩具的概率;(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大。⑺得骼碛山庥檬(x,y)表示儿童参加活动先后记录的数,则样本空间与点集S(x,y)|xN,yN,1x4,1y4一一对应因为S中元素的个数是4416,所以样本点总数n16.(1)记“xy3

15、”为事件A,则事件A包含的样本点个数共5个即A(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1)所以P(A) eq f(5,16),即小亮获得玩具的概率为 eq f(5,16).(2)记“xy8”为事件B,“3xy8”为事件则事件B包含的样本点共6个,即B(2,4),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4)所以P(B) eq f(6,16) eq f(3,8).事件C包含的样本点个数共5个,即C(1,4),(2,2),(2,3),(3,2),(4,1)所以P(C) eq f(5,16).因为 eq f(3,8) eq f(5,16),所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料

16、的概率1(2021湖南永州三模)甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加劳动技术比赛,决出第1名到第5名的名次甲、乙两名参赛者去询问成绩,回答者对甲说“虽然你的成绩比乙好,但是你俩都没得到第一名”;对乙说“你当然不会是最差的”从上述回答分析,丙是第一名的概率是_ eq f(1,3)因为甲和乙都不可能是第一名,所以第一名只可能是丙、丁或戊,又考虑到所有的限制条件对丙、丁、戊都没有影响,所以这三个人获得第一名是等概率事件,所以丙是第一名的概率是 eq f(1,3).2.如图,A地到火车站共有两条路径L1和L2,现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查,调查结果如下:所用时间(分钟)1020203030

17、4040505060选择L1的人数612181212选择L2的人数0416164(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率;(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率;(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站,为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站,试通过计算说明,他们应如何选择各自的路径解(1)由已知共调查了100人,其中40分钟内不能赶到火车站的有121216444(人),所以用频率估计相应的概率为P eq f(44,100)0.44.(2)选择L1的有60人,选择L2的有40人,故由调查结果得频率为所用时间(分钟)10202030304040505060选择L1的频率0.10.20.30.20.2选择L2的频率00.10.40.40.1(3)设A1,A2分别表示甲选择L1和L2时,在40分钟内赶到火车站;B1,B2分别表示乙选择L1和L2时,在50分钟内赶到火车站由(2)知P(A1)0.10.20.30.6,P(A2)0.10.40.5,因为P(A1)P(A2),所以甲应选择L1.同理,P(B1)0.10.20.30.20.8,P(B2)0.10.40.40.9,因为P(B1)P(B2),所以乙应选择L2.

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