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1、第五节一、立体体积 二、曲面的面积 三、物体的质心 四、物体的转动惯量 五、物体的引力 重积分的应用 第九章 第五节一、立体体积 二、曲面的面积 三、物体的质心 四、物体一、问题的提出把定积分的元素法推广到二重积分的应用中. 若要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性(即当闭区域D分成许多小闭区域时，所求量U相应地分成许多部分量，且U等于部分量之和)，并且在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域时，相应地部分量可近似地表示为的形式，其中在内这个的元素，记为称为所求量U，所求量的积分表达式为一、问题的提出把定积分的元素法推广到二重积分的应用中. 二、立体体积则其体积为 曲顶柱体的顶为连续曲面 占有空间

2、有界域 的立体的体积为二、立体体积则其体积为 曲顶柱体的顶为连续曲面 占有空间有界解解方程组得两曲面的交线为圆周在 平面上的投影域为解解方程组得两曲面的交线为圆周在 平面上的投影域为则立体体积为把体积表达为二重积分时，被积函数是上面的边界面减去下面的边界面，积分区域是立体在xOy 坐标面上的投影则立体体积为把体积表达为二重积分时，被积函数是上面的边界面减解解重积分应用课件例3. 求半径为a 的球面与半顶角为 的内接锥面所围成的立体的体积.解: 在球坐标系下空间立体所占区域为例3. 求半径为a 的球面与半顶角为 的内接锥面所围成的立则立体体积为则立体体积为设曲面的方程为：如图，三、曲面的面积设曲

3、面的方程为：如图，三、曲面的面积.dsdAdAdsszd，则有为截切平面为柱面，截曲面轴的小于边界为准线，母线平行以Ss；.dsdAdAdsszd，则有为截切平面为柱面，截曲面轴的曲面S的面积元素曲面面积公式为：曲面S的面积元素曲面面积公式为：设曲面的方程为：曲面面积公式为：设曲面的方程为：曲面面积公式为：同理可得设曲面的方程为：曲面面积公式为：设曲面的方程为：曲面解解重积分应用课件2aa.L2a0 xyz 例4求由解解方程组得两曲面的交线为圆周2aa.L2a0 xyz 例4求由解解方程组得两曲面的交线为圆0 xz y.LD.a2a.在 平面上的投影域为0 xz y.LD.a2a.在 平面上的

4、投影域为重积分应用课件重积分应用课件四、平面薄片的重心四、平面薄片的重心由元素法由元素法当薄片是均匀的，重心称为形心.设物体占有空间域 ,有连续密度函数则 公式 ,即:采用 元素法可导出其质心 当薄片是均匀的，重心称为形心.设物体占有空间域 ,有连续重积分应用课件则得形心坐标：则得形心坐标：例5. 求位于两圆和的形心. 解: 利用对称性可知而之间均匀薄片例5. 求位于两圆和的形心. 解: 利用对称性可知而之间均匀五、平面薄片的转动惯量五、平面薄片的转动惯量薄片对于 轴的转动惯量薄片对于 轴的转动惯量薄片对于 轴的转动惯量薄片对于 轴的转动惯量类似可得空间立体 :对 x 轴的转动惯量对 y 轴的

5、转动惯量对原点的转动惯量对 z 轴 的转动惯量:类似可得空间立体 :对 x 轴的转动惯量对 y 轴解解解: 取球心为原点, z 轴为 l 轴,则例7.求均匀球体对于过球心的一条轴 l 的转动惯量.设球 所占域为(用球坐标) 解: 取球心为原点, z 轴为 l 轴,则例7.求均匀球体对解解重积分应用课件薄片对 轴上单位质点的引力五、平面薄片对质点的引力薄片对 轴上单位质点的引力五、平面薄片对质点的引力为引力常数为引力常数解由积分区域的对称性知解由积分区域的对称性知所求引力为所求引力为例9. 求半径 R 的均匀球对位于的单位质量质点的引力.解: 利用对称性知引力分量点例9. 求半径 R 的均匀球对位于的单位质量质点的引力.解:重积分应用课件几何应用：曲顶柱体的体积、曲面的面积物理应用：重心、转动惯量、对质点的引力（注意审题，熟悉相关物理知识）六、小结几何应用：曲顶柱体的体积、曲面的面积物理应用：重心、转动惯量思考题思考题薄片关于 轴对称思考题解答薄片关于 轴对称思考题解答练 习 题练 习 题重积分应用课件练习题答案练习题答案