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第四章圆的方程4.1

圆的方程第四章4.1.1

圆的标准方程互动课堂2随堂3课后强化作业4预习导学1预习导学课标展示明确圆的基本要素，能用定义推导圆的标准方程．会求圆的标准方程，能够判断点与圆的位置关系．温故知新旧知再现1．圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，其中定点是圆心，定长是半径长．确定|AB|＝x2－x12＋y2－y12.圆心2．确定圆的基本条件：(1)已知

圆心

和半径长

可以确定一个圆，圆的位置，

半径长

确定圆的大。(2)过不在同一条直线上的

三个点可确定一个圆，其中由这三点确定的三角形的外心即为该圆的圆心，圆心到三点中任一点的距离即为圆的半径长．3．平面内两点间的距离公式：A(x1，y1)，B(x2，y2)，则新知导学1．圆基本要素当圆心的位置与半径的大小确定后，圆就唯一确定了，因此，确定一个圆的基本要素是

圆心和

半径

标准方程圆心为C(a，b)，半径为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2图示说明若点M(x，y)在圆C上，则点M的

坐标适合方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2；反之，若点M(x，y)的坐标适合方程

(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则点M在圆C

上[拓展]

特殊位置圆的标准方程如下表所示.条件方程形式圆过原点(x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2(a2＋b2≠0)圆心在x

轴上(x－a)2＋y2＝r2(r≠0)圆心在y

轴上x2＋(y－b)2＝r2(r≠0)圆心在原点x2＋y2＝r2(r≠0)2.点与圆的位置关系圆

C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其圆心为(a，b)，半径为r，点

P(x0，y0)，设

d＝|PC|＝

x0－a2＋y0－b2.位置关系d

与r的大小图示点P

的坐标的特点点在圆外d

>

r(x0－a)2＋(y0－b)2>r2点在圆上d

＝

r(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2点在圆内d

<

r(x0－a)2＋(y0－b)2<r2B．(1,1)D．不存在自我检测1．圆x2＋y2＝1的圆心为(

)A．(0,0)C．(0,1)[答案]

A2．圆(x－1)2＋(y＋2)2＝2

的半径为(

)A．1．2B．

2D．4[答案]

B3．圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝4，点P(x0，y0)在圆C

，且d＝(x0－1)2＋(y0＋2)2，则有(

)A．d>2C．d>4B．d<2D．d<4[答案]

D互动课堂典例探究求圆的标准方程写出下列各圆的方程：圆心在原点，半径是

3；圆心在点C(3,4)处，半径是

5；经过点

P(5,1)，圆心在点

C(8，－3)处．[分析]

各小题全部给出了圆的圆心坐标，要求圆的标准方程，需求出(或已知)圆的半径，再写出圆的标准方程．[解析]

(1)圆心为(0,0)，r＝3，方程为：x2＋y2＝9.方程为：(x－3)2＋(y－4)2＝5.r＝

8－52＋－3－12＝5，方程为：(x－8)2＋(y＋3)2＝25.规律总结：对于圆的标准方程的几点认识：要准确方程的形式；从方程上看要确定圆的标准方程需要两个条件(包含三个代数量)：圆的圆心坐标和圆的半径长；反之如果已知圆的标准方程也能直接得到圆的圆心坐标和半径；求解圆的标准方程时，一般先求出圆心和半径，再写方程．特别提醒：圆的标准方程中等号的右侧是半径的平方．写出下列方程表示的圆的圆心坐标和半径长．①(x－2)2＋(y－5)2＝9；②x2＋y2＝256；③(x＋1)2＋(y－2)2＝m(m>0)．写出下列各圆的标准方程．①圆心在原点，半径长为2；②圆心是直线x＋y－1＝0

与2x－y＋3＝0

的交点，半径长1为4.[解析]

(1)根据圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)中圆心为(a，b)，半径为

r，故①圆心坐标是(2,5)，半径长是3.②圆心坐标是(0,0)，半径长是16.③圆心坐标是(－1,2)，半径长是m.(2)①∵圆心在原点，半径长为2，即a＝0，b＝0，r＝2.∴圆的标准方程为x2＋y2＝4.②圆心是两直线的交点，即圆心在x＋y－1＝02x－y＋3＝0上，∴圆心为(－3，3)2

5

，又∵半径长为14.∴圆的标准方程为(x

2

＋(y

5

＝

1.＋3)2

－3)2

16判断点与圆的位置关系的圆的方程，并判断点M(5,3)，N在圆内，还是在圆外？[分析]直径两端点坐标→圆心坐标和半径长可得→圆的标准方程→将各点坐标代入方程判断[解析]设圆心C(a，b)，半径长为r，则由C

为线段P1P2的中点得a＝3＋5

8＋42

2＝4，b＝ ＝6，即圆心坐标为C(4,6)又由两点间的距离公式得

r＝|CP1|＝

4－32＋6－82＝5，故所求圆的标准方程为(x－4)2＋(y－6)2＝5.分别计算点M，N，P

到圆心C

的距离：|CM|＝

4－52＋6－32＝

10>

5，|CN|＝

4－32＋6－42＝

5，|CP|＝

4－32＋6－52＝

2<

5，所以点M

在此圆外，点N

在此圆上，点P

在此圆内．规律总结：点与圆的位置关系的判断方法：(1)几何法：利用圆心到该点的距离d与圆的半径r比较；

(2)代数法：直接利用下面的不等式判定：①(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2，点在圆外；②(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，点在圆上；③(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2，点在圆内．写出圆心为(3,4)，半径为5的圆的方程，并判定点A(0,0)，B(1,3)与该圆的位置关系．[分析]由点到圆心的距离与圆的半径的大小关系来确定此点与圆的位置关系，也可先求出圆的方程，从数的角度作判断．[解析]

该圆的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25，把A、B两点的坐标分别代入圆的方程(0－3)2＋(0－4)2＝25，(1－3)2＋(3－4)2＝5<25.∴A点在圆上，B点在圆内．规律总结：解答这种类型的题目可以从形的角度，比较圆的半径与圆心到定点的距离的大。佣鞒雠卸，还可以从数的角度，将定点的坐标代入圆的方程左边，再与右边的值比较作出判断．两种方法体现了几何与代数相互转化的数学思想．圆的标准方程的综合应用求圆心在直线x－2y－3＝0

上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆心的标准方程．[分析]圆的几何性质→寻求圆心坐标和半径长→可得标准方程[解析]

方法

1：设点

C

为圆心，∵点

C

在直线

x－2y－3＝0

上，∴可设点

C

的坐标为(2a＋3，a)．∵该圆经过

A，B

两点，∴|CA|＝|CB|，∴

2a＋3－22＋a＋32＝

2a＋3＋22＋a＋52，解得

a＝－2，∴圆心坐标为

C(－1，－2)，半径长

r＝

10.故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.方法

2：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，2－a2＋－3－b2＝r22

22由条件知－2－a

＋－5－b

＝ra－2b－3＝0a＝－1，解得b＝－2r2＝10，故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.方法

3：线段

AB

的中点为(0，－4)，k－3－－51AB＝

2－－2

＝2，∴弦

AB

的垂直平分线的斜率为

k＝－2，∴弦

AB的垂直平分线的方程为

y＋4＝－2x，即

y＝－2x－4.又圆心是直线y＝－2x－4

与直线x－2y－3＝0的交点，由y＝－2x－4

x＝－1x－2y－3＝0

y＝－2，得

，∴圆心坐标为(－1，－2)，∴圆的半径长

r＝

－1－22＋－2＋32＝10，故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.规律总结：求圆的标准方程有以下两种方法：(1)待定系数法．由于圆的标准方程中含有a，b，r三个参数，必须具备三个独立条件，才能求出一个圆的标准方程，用待定系数法求圆的方程，即列出关于a，b，r的方程组，解方程组求a，b，r.一般步骤如下：①设出所求的圆的标准方程(x－a)2

＋(y－b)2

＝r2；②根据已知条件，建立关于a，b，r的方程组；③解方程组时，求出a，b，r的值，并把它们代入所设的方程中，就得到所求圆的标准方程．(2)几何法．通过研究已知条件，结合圆的几何性质，求得圆的基本量(圆心坐标，半径长)，进而求得方程．圆的常用的几何性质：①圆心到圆上的点的距离等于半径；②圆心到圆的切线的距离等于半径；③圆的弦的垂直平分线过2，圆心；④两条弦的垂直平分线的交点为圆心；⑤r2＝d2＋(l

)2其中r

为圆的半径，d

为弦心距，l

为弦长．(1)(2013～2014·吉安高二检测)圆心为(1,1)且与直线x＋y＝4相切的圆的方程是(

)A．(x－1)2＋(y－1)2＝2C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2[答案]

AB．(x－1)2＋(y－1)2＝4D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4[解析]

由题意知，圆心到直线的距离即为圆的半径，即

r＝|1＋1－4|12＋12

＝2，故所求圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.(2)求经过两点A(－1,4)、B(3,2)，且圆心在y轴上的圆的方程．[解析]

解法

1：∵圆心在

y轴上，可设圆的标准方程是

x2＋(y－b)2＝r2.∵该圆经过

A、B

两点，∴－12＋4－b2＝r2，2

2

23

＋2－b

＝r

，∴

2b＝1，r

＝10.所以圆的方程是

x2＋(y－1)2＝10.解法

2：线段

AB

的中点为(1,3)，ABk

＝2－413－－1＝－2，∴弦

AB的垂直平分线方程为

y－3＝2(x－1)，即

y＝2x＋1，由y＝2x＋1x＝0得(0,1)为所求圆的圆心．由两点间距离公式得圆半径r＝

0＋12＋1－42＝

10，∴所求圆的方程为

x2＋(y－1)2＝10.规律总结：求圆的标准方程就是求圆心坐标和圆的半径，解法1是先设出圆的标准方程，而后用待定系数法求出圆心坐标和圆半径，解法2抓住圆的性质及题目的特点，求出线段AB的垂直平分线方程并与y轴的方程联立组成方程组，先求出了圆心的坐标，而后求出圆的半径．误区警示易错点 忽视标准方程的结构致错求圆(x＋2)2

＋(y－3)2

＝b2(b≠0)的圆心及半径长．[错解]

由圆的标准方程知圆心为(2，－3)，半径长为b.[错因分析]在圆的标准方程(x－a)2

＋(y－b)2

＝

r2(r>0)中，此圆的圆心为(a，b)，半径长为r.此题错解是因为没有准确把握圆的标准方程的结构形式．[正解]

由圆的标准方程知圆心为(－2,3)，半径长为|b|.(2013～2014·湛江高一检测)已知A(0，－5)，B(0，－1)，则以线段AB为直径的圆的方程是(

)A．(x＋3)2＋y2＝2C．(x＋3)2＋y2＝4B．x2＋(y＋3)2＝4D．(x－3)2＋y2＝2[答案][解析]B圆的圆心是(0，－3)，半径是r＝1

－5－(－1)|＝2.2|故圆的方程为x2＋(y＋3)2＝4.随堂1．方程(x－a)2＋(y－b)2＝0表示的图形是(A．以(a，b)为圆心的圆

B．以(－a，－b)为圆心的圆

C．点(a，b)D．点(－a，－b)[答案]

C)2．下面各点在圆(x－1)2＋(y－1)2＝2

上的是(

)A．(1,1)

B．(2,1)C．(0,0)

D．( 2，

2)[答案]

C3．某圆的标准方程为

x2＋(y＋1)2＝8，则此圆的圆心与半径分别为(

)A．(1,0)，4

B．(－1,0)，2

2C．(0,1)，4

D．(0，－1)，2

2[答案]

D4

．圆x2

＋y2

＝

1

的圆心到直线3x

＋4y

－25

＝

0

的距离是(

)B．3D．2A．5C．4[答案]

A[解析]圆心为(0,0)，d＝|3×0＋4×0－25|32＋42＝5，故选A.5．据下列不同条件写出圆的标准方程圆心为原点，半径为

2

的圆的标准方程为

．圆心为(0，－2)，半径为

3

的圆的标准方程为

(3)圆心为C(－1,2)，半径为

5的圆的标准方程为

．(4)圆心为(3，－4)，过原点的圆心的标准方程为

圆心为(

－

2

，－

3)

与

x

轴相切的圆的标准方程为

．圆心为(－5,4)与

y

轴相切的圆的标准方程为

．[答案]

(1)x2＋y2＝4

(2)x2＋(y＋2)2＝9

(3)(x＋1)2＋(y－2)2＝5

(4)(x－3)2＋(y＋4)2＝25

(5)(x＋2)2＋(y＋3)2＝9

(6)(x＋5)2＋(y－4)2＝256．求经过A(6,5)，B(0,1)两点，并且圆心C在直线l：3x＋10y＋9＝0上的圆的标准方程．[解析]

方法

1(待定系数法)：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，6－a2＋5－b2＝r2，2

2

2则有0－a

＋1－b

＝r

，3a＋10b＋9＝0，解得a＝7，b＝－3，r＝

65.故所求圆的标准方程是(x－7)2＋(y＋3)2＝65.方法2(几何法)：由题意得AB

的中垂线方程为3x＋2y－15＝0，由解得3x＋2y－15＝0，

x＝7，3x＋10y＋9＝0，

y＝－3.故圆心C

为(7，－3)，于是半径r＝|CB|＝

72＋1＋32＝

65.故所求圆的标准方程为(x－7)2＋(y＋3)2＝65.规律总结：(1)在方法1中，解方程组时，要注意运算的技巧性．由于圆的标准方程左端是平方和的形式，右端是常数，因此两式相减，利用平方差公式可以简化运算．(2)方法2主要是利用了圆心在圆的弦的垂直平分线上这一几何性质，在计算上更为简捷，在解题时若能利用圆的几何性质，往往会收到较好的效果．课后强化作业（点此）