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第4章离散傅里叶变换
4.1傅里叶变换的几种形式4.2周期序列的离散傅里叶级数及性质4.3离散傅里叶变换及性质4.4频率抽样理论1第4章离散傅里叶变换4.1傅里叶变换的几种形式14.1傅里叶变换的几种形式
傅里叶变换就是建立以时间为自变量的“信号”与以频率为自变量的“频率函数(频谱)”之间的某种变换关系。所以,当自变量“时间”或“频率”取连续值还是离散值,就形成各种不同形式的傅里叶变换对。在深入讨论离散傅里叶变换DFT之前,先概述四种不同形式的傅里叶变换对。
24.1傅里叶变换的几种形式傅里叶变换就4.1傅里叶变换的几种形式1.连续时间、连续频率——傅里叶变换
一个非周期实连续时间信号xa(t)的傅里叶变换,即频谱Xa(jΩ)是一个连续的非周期函数。在“信号与系统”课程的内容中,已知这一变换对为
可以看出,时域连续函数造成非周期的频谱,而时域的非周期造成频域是连续的谱密度函数。
34.1傅里叶变换的几种形式1.连续时间、连续频率——傅里4.1傅里叶变换的几种形式2.连续时间、离散频率——傅里叶级数
一个周期性连续时间信号xp(t),其周期为Tp,该信号可展成傅里叶级数,其傅里叶级数的系数为Xp(jkΩ),即xp(t)的傅里叶变换或频谱Xp(jkΩ)是由各次谐波分量组成的,并且是非周期离散频率函数。这一变换对为
式中,Ω=2πF=2π/Tp,为离散频谱相邻两谱线之间的角频率间隔,k为谱谐波序号。可见,时域连续函数造成频域非周期的频谱函数,而频域的离散频谱就与时域的周期时间函数相对应。44.1傅里叶变换的几种形式2.连续时间、离散频率——傅里4.1傅里叶变换的几种形式3.离散时间、连续频率——序列的傅里叶变换
在第3章里讨论了一个非周期连续时间信号xa(t)经过等间隔抽样的信号(x(nT)),即离散时间信号——序列x(n),其傅里叶变换是以2π为周期的连续函数。它们的变换关系为
这里的ω是数字频率,它和模拟角频率Ω的关系为ω=ΩT。若振幅特性的频率轴用Ω表示,则周期为Ωs=2π/T。同样可以看出,时域的离散化造成频域的周期延拓,而时域的非周期对应于频域的连续,这在第3章中讨论过。54.1傅里叶变换的几种形式3.离散时间、连续频率——序列4.1傅里叶变换的几种形式4.离散时间、离散频率——离散傅里叶变换
从以上讨论可发现:如果信号频域是离散的,表现为周期性的时间函数。相反,在时域上是离散的,则该信号在频域必然表现为周期性的频率函数。这三种傅里叶变换至少在一个域(时域或频域)中函数是连续的,因而都不适合在计算机上运算。同时,不难设想,一个离散周期序列,它一定具有既是周期又是离散的频谱,这正是我们所期望的时域及频域都是离散的情况,适合于进行数字计算,便于计算机处理,也就是即将要研究的离散傅里叶变换。对它的全面讨论将在后面内容进行。64.1傅里叶变换的几种形式4.离散时间、离散频率——离散4.1傅里叶变换的几种形式
从以上简单讨论,可以总结得出一般的规律:一个域的离散对应另一个域的周期延拓,一个域的连续必定对应另一个域的非周期。表4-1对这四种傅里叶变换形式的特点作了简要归纳。表4-1四种傅里叶变换形式的归纳时间函数频率函数连续和非周期非周期和连续连续和周期非周期和离散离散和非周期周期和连续离散和周期周期和离散74.1傅里叶变换的几种形式从以上简单讨论,可以总图4-1各种形式的傅里叶变换4.1傅里叶变换的几种形式8图4-1各种形式的傅里叶变换4.1傅里叶变换的几种4.2周期序列的离散傅里叶级数及性质
4.2.1周期序列的离散傅里叶级数(DFS)
4.2.2离散傅里叶级数(DFS)的性质94.2周期序列的离散傅里叶级数及性质4.2.14.2.1周期序列的离散傅里叶级数(DFS)设是一个周期为N的周期序列,即,r为任意整数。正如连续时间周期信号可以用傅里叶级数表示一样,周期序列也可以用离散傅里叶级数来表示,该级数相当于成谐波关系的复指数序列(正弦型序列)之和。也就是说,复指数序列的频率是周期序列的基频(2π/N)的整数倍。这些复指数序ek(n)的形式为
104.2.1周期序列的离散傅里叶级数(DFS)设4.2.1周期序列的离散傅里叶级数(DFS)因而可展成如下的离散傅里叶级数,即
(4-8)
式中,求和号前所乘的系数1/N是习惯上已经采用的常数,是k次谐波的系数。下面我们来求解系数,这要利用复正弦序列的正交特性,即
将式(4-8)两端同乘以,然后从n=0到N-1的一个周期内求和,则得到
r=mN,m为整数其他r
114.2.1周期序列的离散傅里叶级数(DFS)因而可4.2.1周期序列的离散傅里叶级数(DFS)把r换成k可得
这就是求k=0到N-1的N个谐波系数的公式。同时看出也是一个以N为周期的周期序列,即
124.2.1周期序列的离散傅里叶级数(DFS)124.2.1周期序列的离散傅里叶级数(DFS)定义WN为周期序列的傅里叶级数(DFS)变换对为式中,n和k都是离散变量。如果将n当作时间变量,k当作频率变量,则DFS[·]表示时域到频域的离散傅里叶级数正变换,IDFS[·]表示由频域道时域的离散傅里叶级数反变换。从上面看出,只要知道周期序列一个周期的内容,其他的内容也都知道了。所以,这种无限长周期序列实际上只有一个周期中的N个序列值有信息。
(4-12)(4-13)134.2.1周期序列的离散傅里叶级数(DFS)定义WN为(例4-1设为周期脉冲串(4-14)因为对于0≤n≤N-1, ,所以利用式(4-6)求出 的DFS系数为(4-15)在这种情况下,对于所有的k值均相同。于是,将式(4-15)代入式(4-13)可以得出表示式(4-16)4.2.1周期序列的离散傅里叶级数(DFS)14例4-1设为周期脉冲串(4-14)因为
例4-2
已知周期序列如图4-2所示,其周期N=10,试求解它的傅里叶级数系数。图4-2例4-2的周期序列(周期N=10)4.2.1周期序列的离散傅里叶级数(DFS)15例4-2已知周期序列如由式(4-12)(4-17)这一有限求和有闭合形式(4-18)图4-3图4-2所示序列的傅里叶级数系数的幅值4.2.1周期序列的离散傅里叶级数(DFS)16由式(4-12)(4-17)这一有限求和有闭合形式(4式(4-12)中的周期序列可看成是对的第一个周期x(n)作Z变换,然后将Z变换在Z平面单位圆上按等间隔角2π/N采样而得到的。令0≤n≤N-1其他n
通常称x(n)为的主值区序列,则x(n)的Z变换为(4-19)4.2.1周期序列的离散傅里叶级数(DFS)17式(4-12)中的周期序列可把式(4-19)与式(4-12)比较可知(4-20)可以看出,当0≤k≤N-1时,是对X(z)在Z平面单位圆上的N点等间隔采样,在此区间之外随着k的变化,的值呈周期变化。图4-4画出了这些特点。4.2.1周期序列的离散傅里叶级数(DFS)18把式(4-19)与式(4-12)比较可知(4-20)可以jIm[z]234567(=N?1)k=02p/NRe[z]o|z|=114.2.1周期序列的离散傅里叶级数(DFS)图4-4图4-4是对X(z)在Z平面单位圆上的N点等间隔角点抽样示意图19jIm[z]234567(=N?1)k=02p/NRe[z]由于单位圆上的Z变换即为序列的傅里叶变换,所以周期序列 也可以解释为 的一个周期x(n)的傅里叶变换的等间隔采样。因为(4-21)比较式(4-21)和式(4-12),可以看出这相当于以2π/N的频率间隔对傅里叶变换进行采样。(4-22)4.2.1周期序列的离散傅里叶级数(DFS)20由于单位圆上的Z变换即为序列的傅里叶变换,所例4-3
为了举例说明傅里叶级数系数和周期信号的一个周期的傅里叶变换之间的关系,我们再次研究图4-2所示的序列。在序列的一个周期中:0≤n≤4其他(4-23)则的一个周期的傅里叶变换是(4-24)可以证明,若将ω=2πk/10代入式(4-18),即4.2.1周期序列的离散傅里叶级数(DFS)21例4-3为了举例说明傅里叶级数系数图4-5对图4-2所示序列的一个周期作傅里叶变换的幅值4.2.1周期序列的离散傅里叶级数(DFS)22图4-5对图4-2所示序列的一个周期作傅里叶变换的幅值图4-6图4-3和图4-5的重叠图(它表明一个周期序列的DFS系数等于主值区序列的傅里叶变换的采样)4.2.1周期序列的离散傅里叶级数(DFS)23图4-6图4-3和图4-5的重叠图4.2.1周期序列由于可以用采样Z变换来解释DFS,因此它的许多性质与Z变换性质非常相似。但是,由于和两者都具有周期性,这就使它与Z变换性质还有一些重要差别。此外,DFS在时域和频域之间具有严格的对偶关系,这是序列的Z变换表示所不具有的。设和 皆是周期为N的周期序列,它们各自的DFS分别为:4.2.2离散傅里叶级数(DFS)的性质24由于可以用采样Z变换来解释DFS,因此它的许1.线性(4-25)式中,a和b为任意常数,所得到的频域序列也是周期序列,周期为N。这一性质可由DFS定义直接证明,留给读者自己去做。4.2.2离散傅里叶级数(DFS)的性质251.线性(4-25)式中,a和b为任意常数,所得到的频2.序列的移位(4-26)(4-27a)或证(4-27b)i=n+m
4.2.2离散傅里叶级数(DFS)的性质262.序列的移位(4-26)(4-27a)或证(4-由于都是以N为周期的周期函数,故由于与的对称特点,可以用相似的方法证明式(4-27a):4.2.2离散傅里叶级数(DFS)的性质27由于都是以N为周期的3.周期卷积如果则或证代入(4-28)4.2.2离散傅里叶级数(DFS)的性质283.周期卷积如果则或证代入(4-28)4.2.得将变量进行简单换元,即可得等价的表示式4.2.2离散傅里叶级数(DFS)的性质29得将变量进行简单换元,即可得等价的表示式4.2.2离散式(4-28)是一个卷积公式,但是它与非周期序列的线性卷积不同。首先, 和 (或和 都是变量m的周期序列,周期为N,故乘积也是周期为N的周期序列;其次,求和只在一个周期上进行,即m=0到N-1,所以称为周期卷积。4.2.2离散傅里叶级数(DFS)的性质30式(4-28)是一个卷积公式,但是它与非周周期卷积的过程可以用图4-7来说明,这是一个N=7的周期卷积。每一个周期里有一个宽度为4的矩形脉冲,有一个宽度为3的矩形脉冲,图中画出了对应于n=0,1,2时的。周期卷积过程中一个周期的某一序列值移出计算区间时,相邻的同一位置的序列值就移入计算区间。运算在m=0到N-1区间内进行,即在一个周期内将 与 逐点相乘后求和,先计算出n=0,1,…,N-1的结果,然后将所得结果周期延拓,就得到所求的整个周期序列 。4.2.2离散傅里叶级数(DFS)的性质31周期卷积的过程可以用图4-7来说明,这是一个N图4-7两个周期序列(N=7)的周期卷积4.2.2离散傅里叶级数(DFS)的性质32图4-7两个周期序列(N=7)的周期卷积4.2.2图4-7两个周期序列(N=7)的周期卷积4.2.2离散傅里叶级数(DFS)的性质33图4-7两个周期序列(N=7)的周期卷积4.2.2图4-7两个周期序列(N=7)的周期卷积4.2.2离散傅里叶级数(DFS)的性质34图4-7两个周期序列(N=7)的周期卷积4.2.2由于DFS和IDFS变换的对称性,可以证明(请读者自己证明)时域周期序列的乘积对应着频域周期序列的周期卷积。即,如果则
(4-29)4.2.2离散傅里叶级数(DFS)的性质35由于DFS和IDFS变换的对称性,可以证明(4.3.1离散傅里叶变换(DFT)的定义4.3.2DFT与序列傅里叶变换、Z变换的关系4.3.3离散傅里叶变换的性质4.3离散傅里叶变换(DFT)及性质364.3.1离散傅里叶变换(DFT)的定义4.3离散傅里4.3.1DFT的定义在实际应用中,把无限长的周期序列送给计算机处理是不现实的,也是不必要的。而在上一节讨论过,周期序列实际上只有有限个序列值有意义,它和有限长序列有着本质的联系。实际上,可以把长度为N有限长序列x(n)看成周期为N的周期序列的一个周期,这样利用离散傅里叶级数计算周期序列的一个周期,也就是计算了有限长序列的离散傅里叶变换。本节将根据周期序列和有限长序列之间的这种本质关系,由周期序列的离散傅里叶级数表示式推导得到有限长序列的离散频域表示,即离散傅里叶变换(DFT)。
设x(n)为有限长序列,长度为N,即x(n)只在n=0到N-1点上有值,其他n时,x(n)=0。即
4.3.1离散傅里叶变换的定义374.3.1DFT的定义4.3.1离散傅里叶变换的定义
为了引用周期序列的概念,我们把它看成周期为N的周期序列的一个周期,而把看成x(n)的以N为周期的周期延拓,即表示成:
这个关系可以用图4-8来表明。通常把的第一个周期n=0到n=N-1定义为“主值区间”,故x(n)是 的“主值序列”,即主值区间上的序列。而称 为x(n)的周期延拓。对不同r值x(n+rN)之间彼此并不重叠,故上式可写成
(4-32)(4-31)(4-30)38为了引用周期序列的概念,我们把它看成周期为N4.3.1离散傅里叶变换的定义N?1n-N0N?1n主值区间x(n)图4-8有限长序列及其周期延拓394.3.1离散傅里叶变换的定义N?1n-N0N?1n主值区用((n))N表示(nmodN),其数学上就是表示“n对N取余数”,或称“n对N取模值”。令0≤n1≤N-1,m为整数则n1为n对N的余数。例如,是周期为N=9的序列,则有:4.3.1离散傅里叶变换的定义40用((n))N表示(nmodN),其数学上利用前面的矩形序列RN(n),式(4-30)可写成(4-33)
同理,频域的周期序列也可看成是对有限长序列X(k)的周期延拓,而有限长序列X(k)可看成是周期序列 的主值序列,即:(4-34)(4-35)我们再看表达DFS与IDFS的式(4-12)和式(4-13):
4.3.1离散傅里叶变换的定义41利用前面的矩形序列RN(n),式(4-30)可写成(4-3
这两个公式的求和都只限定在n=0到N-1和k=0到N-1的主值区间进行,它们完全适用于主值序列x(n)与X(k),因而我们可以得到有限长序列的离散傅里叶变换的定义:
0≤k≤N-10≤n≤N-1(4-36)(4-37)4.3.1离散傅里叶变换的定义42这两个公式的求和都只限定在n=0到N-1和k
x(n)和X(k)是一个有限长序列的离散傅里叶变换对。我们称式(4-36)为x(n)的N点离散傅里叶变换(DFT),称式(4-37)为X(k)的N点离散傅里叶反变换(IDFT)。已知其中的一个序列,就能惟一地确定另一个序列。这是因为x(n)与X(k)都是点数为N的序列,都有N个独立值(可以是复数),所以信息当然等量。此外,值得强调的是,在使用离散傅里叶变换时,必须注意所处理的有限长序列都是作为周期序列的一个周期来表示的。换句话说,离散傅里叶变换隐含着周期性。
4.3.1离散傅里叶变换的定义43x(n)和X(k)是一个有限长序列的离散傅
例4-4已知序列x(n)=δ(n),求它的N点DFT。
解单位脉冲序列的DFT很容易由DFT的定义式(4-36)得到:
k=0,1,…,N-1
δ(n)的X(k)如图4-9。这是一个很特殊的例子,它表明对序列δ(n)来说,不论对它进行多少点的DFT,所得结果都是一个离散矩形序列。4.3.1离散傅里叶变换的定义44例4-4已知序列x(n)=δ(n),求它图4-9序列δ(n)及其离散傅里叶变换45图4-9序列δ(n)及其离散傅里叶变换45
例4-5
已知x(n)=cos(nπ/6)是一个长度N=12的有限长序列,求它的N点DFT。
解由DFT的定义式(4-36)利用复正弦序列的正交特性(4-3)式,再考虑到k的取值区间,可得4.3.1离散傅里叶变换的定义46例4-5已知x(n)=cos(nπ/6图4-10有限长序列及其DFT4.3.1离散傅里叶变换的定义47图4-10有限长序列及其DFT4.3.1离散傅里叶变换若x(n)是一个有限长序列,长度为N,对x(n)进行Z变换比较Z变换与DFT,我们看到,当z=W-kN时即(4-38)4.3.2DFT与序列傅里叶变换、Z变换的关系
48若x(n)是一个有限长序列,长度为N,对x(n 表明是Z平面单位圆上幅角为的点,也即将Z平面单位圆N等分后的第k点,所以X(k)也就是对X(z)在Z平面单位圆上N点等间隔采样值,如图4-11所示。此外,由于序列的傅里叶变换X(ejω)即是单位圆上的Z变换,根据式(4-38),DFT与序列傅里叶变换的关系为(4-39)(4-40)4.3.2DFT与序列傅里叶变换、Z变换的关系
49 表明是
式(4-39)说明X(k)也可以看作序列x(n)的傅里叶变换X(ejω)在区间[0,2π]上的N点等间隔采样,其采样间隔为ωN=2π/N,这就是DFT的物理意义。显而易见,DFT的变换区间长度N不同,表示对X(ejω)在区间[0,2π]上的采样间隔和采样点数不同,所以DFT的变换结果也不同。
图4-11DFT与序列傅里叶变换、Z变换的关系
4.3.2DFT与序列傅里叶变换、Z变换的关系
50式(4-39)说明X(k)也可以看作序列x(
本节讨论离散傅里叶变换(DFT)的一些性质,它们本质上和周期序列的离散傅立叶级数(DFS)概念有关,而且是由有限长序列及其离散傅里叶变换(DFT)表示式隐含的周期性得出的。以下讨论的序列都是N点有限长序列,用DFT[·]表示N点DFT,且设:DFT[x1(n)]=X1(k)DFT[x2(n)]=X2(k)4.3.3离散傅里叶变换的性质
51本节讨论离散傅里叶变换(DFT)的一些性质,它2.圆周移位(1)定义:一个长度为N的有限长序列x(n)的圆周移位定义为
y(n)=x((n+m))NRN(n)(4-42)我们可以这样来理解上式所表达的圆周移位的含义。具体计算步骤为:i)将x(n)以N为周期进行周期延拓得到周期序列;ii)将加以移位:
1.线性式中,a,b为任意常数。该式可根据DFT定义证明。4.3.3离散傅里叶变换的性质
522.圆周移位y(n)=x((n+m))NRN(n)(4-4iii)对移位的周期序列 取主值区间(n=0到N-1)上的序列值,即x((n+m))NRN(n)。所以,一个有限长序列x(n)的圆周移位序列y(n)仍是一个长度为N的有限长序列,这一过程用图4-12(a)、(b)、(c)、(d)来表达。从图上可以看出,由于是周期序列的移位,当我们只观察0≤n≤N-1这一主值区间时,某一采样从该区间的一端移出时,与其相同值的采样又从该区间的另一端循环移进。因而,可以想象x(n)是排列在一个N等分的圆周上,序列x(n)的圆周移位,就相当于x(n)在此圆周上旋转,如图4-12(e)、(f)、(g)所示,因而称为圆周移位。若将x(n)向左圆周移位时,此圆是顺时针旋转;将x(n)向右圆周移位时,此圆是逆时针旋转。此外,如果围绕圆周观察几圈,那么看到的就是周期序列。
4.3.3离散傅里叶变换的性质
53iii)对移位的周期序列 取图4-12圆周移位过程示意图4.3.3离散傅里叶变换的性质
54图4-12圆周移位过程示意图4.3.3离散傅里叶变(2)时域圆周移位定理设x(n)是长度为N的有限长序列,y(n)为x(n)圆周移位,即则圆周移位后的DFT为
证利用周期序列的移位性质加以证明。
4.3.3离散傅里叶变换的性质
55(2)时域圆周移位定理则圆周移位后的DFT为证利用周期再利用DFS和DFT关系这表明,有限长序列的圆周移位在离散频域中引入一个和频率成正比的线性相移,而对频谱的幅度没有影响。4.3.3离散傅里叶变换的性质
56再利用DFS和DFT关系这表明,有限长序列的圆周移位在离散(3)
频域圆周移位定理
对于频域有限长序列X(k),也可看成是分布在一个N等分的圆周上,所以对于X(k)的圆周移位,利用频域与时域的对偶关系,可以证明以下性质:若则这就是调制特性。它说明,时域序列的调制等效于频域的圆周移位。
4.3.3离散傅里叶变换的性质
57(3)频域圆周移位定理则这就是调制特性。它说明,时域序3.圆周卷积(1)时域圆周卷积定理设x1(n)和x2(n)都是点数为N的有限长序列(0≤n≤N-1),且有:若则4.3.3离散傅里叶变换的性质
(4-45)
583.圆周卷积若则4.3.3离散傅里叶变换的性质(4
一般称式(4-45)所表示的运算为x1(n)和x2(n)的N点圆周卷积。下面先证明式(4-45),再说明其计算方法。
证这个卷积相当于周期序列和作周期卷积后再取其主值序列。先将Y(k)周期延拓,即
根据DFS的周期卷积公式
4.3.3离散傅里叶变换的性质
59一般称式(4-45)所表示的运算为x1(n)由于0≤m≤N-1为主值区间, ,因此将 式经过简单换元,也可证明4.3.3离散傅里叶变换的性质
60由于0≤m≤N-1为主值区间, ,因此将
圆周卷积过程可以用图4-13来表示。分为5步:i)周期延拓:先作出x1(n)和x2(n)。将x2(m)在参变量坐标m上延拓成周期为N的周期序列x2((m))N
;ii)反转:将x2((m))N反转形成x2((-m))N
;iii)移位和取主值:将x2((-m))N移n位并取主值序列得到x2((n-m))NRN(n);iv)相乘:将相同m值x2((n-m))NRN(n)与x1(m)相乘;V)相加:将iv)中得到的乘积累加起来,便得到圆周卷积y(n)。可以看出,它和周期卷积过程是一样的,只不过这里要取主值序列。特别要注意,两个长度小于等于N的序列的N点圆周卷积长度仍为N,这与一般的线性卷积不同。圆周卷积用符号来表示。圆周内的N表示所作的是N点圆周卷积。4.3.3离散傅里叶变换的性质
N61圆周卷积过程可以用图4-13来表示。分为5步图4-13圆周卷积过程示意图4.3.3离散傅里叶变换的性质
62图4-13圆周卷积过程示意图4.3.3离散傅里叶变图4-13圆周卷积过程示意图4.3.3离散傅里叶变换的性质
63图4-13圆周卷积过程示意图4.3.3离散傅里叶变N或N记为:4.3.3离散傅里叶变换的性质
64N或N记为:4.3.3离散傅里叶变换的性质64N
(2)频域圆周卷积定理
利用时域与频域的对称性,可以证明频域圆周卷积定理(请读者自己证明)。若x1(n),x2(n)皆为N点有限长序列,则
即时域序列相乘,乘积的DFT等于各个DFT的圆周卷积再乘以1/N。
4.3.3离散傅里叶变换的性质
65N(2)频域圆周卷积定理x1(n),x2(4.有限长序列的线性卷积与圆周卷积时域圆周卷积在频域上相当于两序列的DFT的乘积,而计算DFT可以采用它的快速算法——快速傅里叶变换(FFT)(见第5章),因此圆周卷积与线性卷积相比,计算速度可以大大加快。但是,在许多实际问题中常需要计算线性卷积,例如一个FIR数字滤波器的输出等于输入与滤波器的单位冲激响应的线性卷积。如果能将线性卷积转化为圆周卷积,就能够用圆周卷积来计算线性卷积而加快计算速度。因此,需要讨论圆周卷积与线性卷积在什么条件下相等及如何用圆周卷积运算来代替线性卷积运算的问题。
设x1(n)是N1点的有限长序列(0≤n≤N1-1),x2(n)是N2点的有限长序列(0≤n≤N2-1)。4.3.3离散傅里叶变换的性质
664.有限长序列的线性卷积与圆周卷积时域圆周卷积它们的线性卷积
x1(m)的非零区间为0≤m≤N1-1x2(n-m)的非零区间为0≤n-m≤N2-1(4-43)4.3.3离散傅里叶变换的性质
67它们的线性卷积x1(m)的非零区间为0≤m≤N1-1x2将两个不等式相加,得到0≤n≤N1+N2-2在上述区间外,不是x1(m)=0就是x2(n-m)=0,因而y1(n)=0。所以y1(n)是N1+N2-1点有限长序列,即线性卷积的长度等于参与卷积的两序列的长度之和减1。例如,图4-14中,x1(n)为N1=4的矩形序列(图4-14(a)),x2(n)为N2=5的矩形序列(图4-14(b)),则它们的线性卷积y1(n)为N=N1+N2-1=8点的有限长序列(图4-14(c))。4.3.3离散傅里叶变换的性质
68将两个不等式相加,得到0≤n≤N1+N2-2再来看x1(n)与x2(n)的圆周卷积。先讨论进行L点的圆周卷积,再讨论L取何值时,圆周卷积才能代表线性卷积。设y(n)=x1(n)x2(n)是两序列的L点圆周卷积,L≥max[N1,N2],这就要将x1(n)与x2(n)都看成是L点的序列。在这L个序列值中,x1(n)只有前N1个是非零值,后L-N1个均为补充的零值。同样,x2(n)只有前N2个是非零值,后L-N2个均为补充的零值。则L(4-47)4.3.3离散傅里叶变换的性质
L
为了分析其圆周卷积,我们先将序列x1(n)与x2(n)以L为周期进行周期延拓
69再来看x1(n)与x2(n)的圆周卷积。先讨论进行L点的圆周将它们代入式(4-47)得其周期卷积序列为
(4-48)4.3.3离散傅里叶变换的性质
70将它们代入式(4-47)得其周期卷积序列为(4-48)4
前面已经分析了y1(n)具有N1+N2-1个非零值。因此可以看到,如果周期卷积的周期L<N1+N2-1,那么y1(n)的周期延拓就必然有一部分非零序列值要交叠起来,从而出现混叠现象。只有在L≥
N1+N2-1时,才没有交叠现象。这时,在y1(n)的周期延拓中,每一个周期L内,前N1+N2-1个序列值正好是y1(n)的全部非零序列值,而剩下的L-(N1+N2-1)个点上的序列值则是补充的零值。所以L点圆周卷积y(n)是线性卷积yl(n)以L为周期的周期延拓序列的主值序列。4.3.3离散傅里叶变换的性质
71前面已经分析了y1(n)具有N1+N2-1个非所以要使圆周卷积等于线性卷积而不产生混叠的必要条件为(4-49)满足此条件后就有
即 x1(n)○x2(n)=x1(n)*x2(n)L
图4-14(d)、(e)、(f)正反映了(4-46)式的圆周卷积与线性卷积的关系。在图4-14(d)中,L=6小于N1+N2-1=8,这时产生混叠现象,其圆周卷积不等于线性卷积;而在图4-14(e)、(f)中,L=8和L=10,这时圆周卷积结果与线性卷积相同,所得y(n)的前8点序列值正好代表线性卷积结果。所以只要L≥N1+N2-
1,圆周卷积结果就能完全代表线性卷积。
(4-50)4.3.3离散傅里叶变换的性质
72所以要使圆周卷积等于线性卷积而不产生混叠的必要条件为(4-图4-14线性卷积与圆周卷积4.3.3离散傅里叶变换的性质
73图4-14线性卷积与圆周卷积4.3.3离散傅里叶变换例4-6
一个有限长序列为
(1)计算序列x(n)的10点离散傅里叶变换。(2)若序列y(n)的DFT为
式中,X(k)是x(n)的10点离散傅里叶变换,求序列y(n)。
4.3.3离散傅里叶变换的性质
(3)若10点序列y(n)的10点离散傅里叶变换是
式中,X(k)是序列x(n)的10点DFT,W(k)是序列w(n)的10点DFT
0≤n≤6其他求序列y(n)。
74例4-6一个有限长序列为(1)计算序列x(n)的1
解(1)由式(4-36)可求得x(n)的10点DFT
(2)X(k)乘以一个WNkm形式的复指数相当于是x(n)圆周移位m点。本题中m=-2,x(n)向左圆周移位了2点,就有y(n)=x((n+2))10R10(n)=2δ(n-3)+δ(n-8)4.3.3离散傅里叶变换的性质
(3)X(k)乘以W(k)相当于x(n)与w(n)的圆周卷积。为了进行圆周卷积,可以先计算线性卷积再将结果周期延拓并取主值序列。x(n)与w(n)的线性卷积为
z(n)=x(n)*w(n)={1,1,1,1,1,3,3,2,2,2,2,2}75解(1)由式(4-36)可求得x(n)的10点DF圆周卷积为
在0≤n≤9求和中,仅有序列z(n)和z(n+10)有非零值,用表列出z(n)和z(n+10)的值,对n=0,1,2,…,9求和,得到:n01234567891011Z(n)z(n+10)111113322222000000002200y(n)3311133222____所以10点圆周卷积为
y(n)={3,3,1,1,1,3,3,2,2,2}4.3.3离散傅里叶变换的性质
76圆周卷积为在0≤n≤9求和中,仅有序5共轭对称性(1)复共轭序列的DFT设x*(n)为x(n)的共轭复序列,则DFT[x*(n)]=X*((-k))NRN(k)=X*((N-k))NRN(k)=X*(N-k)0≤k≤N-1
且X(N)=X(0)
(4-51)证0≤k≤N-14.3.3离散傅里叶变换的性质
775共轭对称性DFT[x*(n)]=X*((-k))NR这里利用了
因为X(k)的隐含周期性,故有X(N)=X(0)。用同样的方法可以证明也即
(4-52)4.3.3离散傅里叶变换的性质
78这里利用了因为X(k)的隐含周期性,故有X(N)=X(0)(2)DFT的共轭对称性在前面章节里讨论了序列傅里叶变换的一些对称性质,且定义了共轭对称序列与共轭反对称序列的概念。在那里,对称性是指关于坐标原点的纵坐标的对称性。DFT也有类似的对称性,但在DFT中,涉及的序列x(n)及其离散傅里叶变换X(k)均为有限长序列,且定义区间为0到N-1,所以,这里的对称性是指关于N/2
点的对称性。设有限长序列x(n)的长度为N点,则它的圆周共轭对称分量xep(n)和圆周共轭反对称分量xop(n)分别定义为:
(4-53)(4-54)4.3.3离散傅里叶变换的性质
79(2)DFT的共轭对称性(4-53)(4-54)4.3.则两者满足:
0≤n≤N-10≤n≤N-1(4-55)(4-56)
如同任何实函数都可以分解成偶对称分量和奇对称分量一样,任何有限长序列x(n)都可以表示成其圆周共轭对称分量xep(n)和圆周共轭反对称分量xop(n)之和,即
x(n)=xep(n)+xop(n)0≤n≤N-1(4-57)
由式(4-53)及式(4-54),并利用式(4-51)及式(4-52),可得圆周共轭对称分量及圆周共轭反对称分量的DFT分别为:4.3.3离散傅里叶变换的性质
80则两者满足:0≤n≤N-10≤n≤N-1(4-55)DFT[xep(n)]=Re[X(k)]DFT[xop(n)]=jIm[X(k)](4-58)(4-59)证利用式(4-52),可得
则式(4-58)得证。同理可证式(4-59)。
4.3.3离散傅里叶变换的性质
81DFT[xep(n)]=Re[X(k)](4-58)(4-5下面我们再来讨论序列实部与虚部的DFT。若用xr(n)及xi(n)分别表示有限长序列x(n)的实部及虚部,即
x(n)=xr(n)+jxi(n)
(4-60)式中:
则有:
4.3.3离散傅里叶变换的性质
式中,Xep(k)为X(k)的圆周共轭对称分量且Xep(k)=X*ep(N-k),Xop(k)为X(k)的圆周共轭反对称分量且Xop(k)=-X*op(N-k)。
(4-62)(4-61)82下面我们再来讨论序列实部与虚部的DFT。x(n)=xr(证利用式(4-51),有
这说明复序列实部的DFT等于序列DFT的圆周共轭对称分量。同理可证式(4-62)。式(4-62)说明复序列虚部乘以j的DFT等于序列DFT的圆周共轭反对称分量。
4.3.3离散傅里叶变换的性质
此外,根据上述共轭对称特性可以证明有限长实序列DFT的共轭对称特性。若x(n)是实序列,这时x(n)=x*(n),两边进行离散傅里叶变换并利用式(4-51),有X(k)=X*((N-k))NRN(k)=X*(N-k)(4-63)由上式可看出X(k)只有圆周共轭对称分量。若x(n)是纯虚序列,则显然X(k)只有圆周共轭反对称分量,即满足X(k)=-X*((N-k))NRN(k)=-X*(N-k)(4-64)
83证利用式(4-51),有这说明复序列实部的DFT等于表4-2序列及其DFT的奇、偶、虚、实关系x(n)[或X(k)]X(k)[或x(n)]偶对称奇对称实数虚数实数偶对称实数奇对称虚数偶对称虚数奇对称偶对称奇对称实部为偶对称、虚部为奇对称实部为奇对称、实部为偶对称实数偶对称虚数奇对称虚数偶对称实数奇对称4.3.3离散傅里叶变换的性质
84表4-2序列及其DFT的奇、偶、虚、实关系偶对称偶对称6.DFT形式下的帕塞伐定理证
如果令y(n)=x(n),则式(4-65)变成
4.3.3离散傅里叶变换的性质
即
这表明一个序列在时域计算的能量与在频域计算的能量是相等的。
856.DFT形式下的帕塞伐定理证如果令y(n)=x(n),表4-3DFT性质表(序列长皆为N点)4.3.3离散傅里叶变换的性质
86表4-3DFT性质表(序列长皆为N点)4.3.3离在4.2节中已说到,周期序列的离散傅立叶级数的系数的值和的一个周期的z变换在单位圆的N个均分点上的抽样值相等,这就实现了频域的抽样。时域抽样定理告诉我们,在一定的条件下,可以通过时域离散抽样恢复原来的连续信号。那么,能不能通过频域女士抽样恢复原来的信号(或频率函数)?若能,其条件是什么?内插公式又是什么形式?本节就上述问题进行讨论。首先,考虑一个任意的绝对可和的非周期序列x(n),它的Z变换为由于绝对可和,所以其傅里叶变换存在且连续,故Z变换收敛域包括单位圆。如果我们对X(z)在单位圆上进行N点等距采样:(4-67)4.4抽样z变换——频域抽样理论
87在4.2节中已说到,周期序列的离散傅立叶级数的问题在于,这样采样以后是否仍能不失真地恢复出原序列x(n)。也就是说,频率采样后从X(k)的反变换中所获得的有限长序列,即xN(n)=IDFT[X(k)],能不能代表原序列x(n)?为此,我们先来分析X(k)的周期延拓序列的离散傅里叶级数的反变换,令其为。将式(4-67)代入此式,可得
由于
m=n+rN,r为任意整数其他m
4.4抽样z变换——频域抽样理论
88问题在于,这样采样以后是否仍能不失真地恢复出原序列x(n)。所以
(4-68)这说明由得到的周期序列是原非周期序列x(n)的周期延拓,其时域周期为频域采样点数N。在第1章1.2节中已经知道,时域采样造成频域的周期延拓,这里又看到一个对称的特性,即频域采样同样会造成时域的周期延拓。4.4抽样z变换——频域抽样理论
89所以(4-68)这说明由
(1)如果x(n)是有限长序列,点数为M,则当频域采样不够密,即当N<M时,x(n)以N为周期进行延拓,就会造成混叠。这时,从就不能不失真地恢复出原信号x(n)来。因此,对于M点的有限长序列x(n)
0≤n≤M-1其他n
频域采样不失真的条件是频域采样点数N要大于或等于时域采样点数M(时域序列长度),即满足
N≥M
(4-69)此时可得到
N≥M
(4-70)也就是说,点数为N(或小于N)的有限长序列,可以利用它的Z变换在单位圆上的N个等间隔点上的采样值精确地表示。4.4抽样z变换——频域抽样理论
90(1)如果x(n)是有限长序列,点数为M,则当
(2)如果x(n)不是有限长序列(即无限长序列),则时域周期延拓后,必然造成混叠现象,因而一定会产生误差;当n增加时信号衰减得越快,或频域采样越密(即采样点数N越大),则误差越。磝N(n)越接近x(n)。既然N个频域采样X(k)能不失真地代表N点有限长序列x(n),那么这N个采样值X(k)也一定能够完全地表达整个X(z)及频率响应X(ejω)。讨论如下:将4.4抽样z变换——频域抽样理论
代入X(z)式子中,得到
由于WN-Nk=1,因此
(4-71)91(2)如果x(n)不是有限长序列(即无限长序列式中
(4-73)称为内插函数。令其分子为零,得
r=0,1,…,k,…,N-1即内插函数在单位圆的N等分点上(也即采样点上)有N个零点。而分母为零,则有z=WN-k=的一个极点,它将和第k个零点相抵消。因而,插值函数Φk(z)只在本身采样点r=k处不为零,在其他(N-1)个采样点r上(r=0,1,…,N-1,但r≠k)都是零点(有(N-1)个零点)。而它在z=0处还有(N-1)阶极点,如图4-15所示。这就是用N个频率采样X(k)来表示X(z)的内插公式。它可以表示为
(4-72)4.4抽样z变换——频域抽样理论
92式中(4-73)称为内插函数。令其分子为零,得r=0,图4-15内插函数的零极点
4.4抽样z变换——频域抽样理论
93图4-15内插函数的零极点4.4抽样z变换——频域
现在来讨论频率响应,即求单位圆上z=ejω的Z变换。由式(4-72)可得(4-74)而(4-75)4.4抽样z变换——频域抽样理论
94现在来讨论频率响应,即求单位圆上z=ejω的Z可将Φk(ejω)表示成更为方便的形式:式中:
(4-76)(4-77)这样式(4-76)又可改写为
(4-78)频域插值函数的幅度特性及相位特性如图4-16所示。其中相位是线性相移加上一个的整数倍地相移,后一个相移是由于每隔2
/N的整数倍相位翻转[由正变负或由负变正],因而每隔2
/N的整数倍相位要加上。4.4抽样z变换——频域抽样理论
95可将Φk(ejω)表示成更为方便的形式:式中:(4-76图4-16内插函数幅度特性与相位特性(N=5)
4.4抽样z变换——频域抽样理论
96图4-16内插函数幅度特性与相位特性(N=5)4.4
当变量ω=0时,
Φ(ω)=1,当(i=1,2,…,N-1)时,Φ(ω)=0。因而可知,满足以下关系:(4-79)4.4抽样z变换——频域抽样理论
也就是说,函数 在本采样点 ,而在其他采样点 上,函数。整个X(ejω)就是由N个函数分别乘上X(k)后求和。所以很明显,在每个采样点上X(ejω)就精确地等于X(k)(因为其他点的插值函数在这一点上的值为零,没有影响)即97当变量ω=0时,Φ(ω)=1,当
各采样点之间的X(ejω)值由各采样点的加权插值函数 在所求ω点上的值的叠加得到的。
k=0,1,…,N-1请注意,一般来说,这里的X(ejω)和X(k)都是复数。
4.4抽样z变换——频域抽样理论
98各采样点之间的X(ejω)值由各采样点的加权第4章离散傅里叶变换
4.1傅里叶变换的几种形式4.2周期序列的离散傅里叶级数及性质4.3离散傅里叶变换及性质4.4频率抽样理论99第4章离散傅里叶变换4.1傅里叶变换的几种形式14.1傅里叶变换的几种形式
傅里叶变换就是建立以时间为自变量的“信号”与以频率为自变量的“频率函数(频谱)”之间的某种变换关系。所以,当自变量“时间”或“频率”取连续值还是离散值,就形成各种不同形式的傅里叶变换对。在深入讨论离散傅里叶变换DFT之前,先概述四种不同形式的傅里叶变换对。
1004.1傅里叶变换的几种形式傅里叶变换就4.1傅里叶变换的几种形式1.连续时间、连续频率——傅里叶变换
一个非周期实连续时间信号xa(t)的傅里叶变换,即频谱Xa(jΩ)是一个连续的非周期函数。在“信号与系统”课程的内容中,已知这一变换对为
可以看出,时域连续函数造成非周期的频谱,而时域的非周期造成频域是连续的谱密度函数。
1014.1傅里叶变换的几种形式1.连续时间、连续频率——傅里4.1傅里叶变换的几种形式2.连续时间、离散频率——傅里叶级数
一个周期性连续时间信号xp(t),其周期为Tp,该信号可展成傅里叶级数,其傅里叶级数的系数为Xp(jkΩ),即xp(t)的傅里叶变换或频谱Xp(jkΩ)是由各次谐波分量组成的,并且是非周期离散频率函数。这一变换对为
式中,Ω=2πF=2π/Tp,为离散频谱相邻两谱线之间的角频率间隔,k为谱谐波序号。可见,时域连续函数造成频域非周期的频谱函数,而频域的离散频谱就与时域的周期时间函数相对应。1024.1傅里叶变换的几种形式2.连续时间、离散频率——傅里4.1傅里叶变换的几种形式3.离散时间、连续频率——序列的傅里叶变换
在第3章里讨论了一个非周期连续时间信号xa(t)经过等间隔抽样的信号(x(nT)),即离散时间信号——序列x(n),其傅里叶变换是以2π为周期的连续函数。它们的变换关系为
这里的ω是数字频率,它和模拟角频率Ω的关系为ω=ΩT。若振幅特性的频率轴用Ω表示,则周期为Ωs=2π/T。同样可以看出,时域的离散化造成频域的周期延拓,而时域的非周期对应于频域的连续,这在第3章中讨论过。1034.1傅里叶变换的几种形式3.离散时间、连续频率——序列4.1傅里叶变换的几种形式4.离散时间、离散频率——离散傅里叶变换
从以上讨论可发现:如果信号频域是离散的,表现为周期性的时间函数。相反,在时域上是离散的,则该信号在频域必然表现为周期性的频率函数。这三种傅里叶变换至少在一个域(时域或频域)中函数是连续的,因而都不适合在计算机上运算。同时,不难设想,一个离散周期序列,它一定具有既是周期又是离散的频谱,这正是我们所期望的时域及频域都是离散的情况,适合于进行数字计算,便于计算机处理,也就是即将要研究的离散傅里叶变换。对它的全面讨论将在后面内容进行。1044.1傅里叶变换的几种形式4.离散时间、离散频率——离散4.1傅里叶变换的几种形式
从以上简单讨论,可以总结得出一般的规律:一个域的离散对应另一个域的周期延拓,一个域的连续必定对应另一个域的非周期。表4-1对这四种傅里叶变换形式的特点作了简要归纳。表4-1四种傅里叶变换形式的归纳时间函数频率函数连续和非周期非周期和连续连续和周期非周期和离散离散和非周期周期和连续离散和周期周期和离散1054.1傅里叶变换的几种形式从以上简单讨论,可以总图4-1各种形式的傅里叶变换4.1傅里叶变换的几种形式106图4-1各种形式的傅里叶变换4.1傅里叶变换的几种4.2周期序列的离散傅里叶级数及性质
4.2.1周期序列的离散傅里叶级数(DFS)
4.2.2离散傅里叶级数(DFS)的性质1074.2周期序列的离散傅里叶级数及性质4.2.14.2.1周期序列的离散傅里叶级数(DFS)设是一个周期为N的周期序列,即,r为任意整数。正如连续时间周期信号可以用傅里叶级数表示一样,周期序列也可以用离散傅里叶级数来表示,该级数相当于成谐波关系的复指数序列(正弦型序列)之和。也就是说,复指数序列的频率是周期序列的基频(2π/N)的整数倍。这些复指数序ek(n)的形式为
1084.2.1周期序列的离散傅里叶级数(DFS)设4.2.1周期序列的离散傅里叶级数(DFS)因而可展成如下的离散傅里叶级数,即
(4-8)
式中,求和号前所乘的系数1/N是习惯上已经采用的常数,是k次谐波的系数。下面我们来求解系数,这要利用复正弦序列的正交特性,即
将式(4-8)两端同乘以,然后从n=0到N-1的一个周期内求和,则得到
r=mN,m为整数其他r
1094.2.1周期序列的离散傅里叶级数(DFS)因而可4.2.1周期序列的离散傅里叶级数(DFS)把r换成k可得
这就是求k=0到N-1的N个谐波系数的公式。同时看出也是一个以N为周期的周期序列,即
1104.2.1周期序列的离散傅里叶级数(DFS)124.2.1周期序列的离散傅里叶级数(DFS)定义WN为周期序列的傅里叶级数(DFS)变换对为式中,n和k都是离散变量。如果将n当作时间变量,k当作频率变量,则DFS[·]表示时域到频域的离散傅里叶级数正变换,IDFS[·]表示由频域道时域的离散傅里叶级数反变换。从上面看出,只要知道周期序列一个周期的内容,其他的内容也都知道了。所以,这种无限长周期序列实际上只有一个周期中的N个序列值有信息。
(4-12)(4-13)1114.2.1周期序列的离散傅里叶级数(DFS)定义WN为(例4-1设为周期脉冲串(4-14)因为对于0≤n≤N-1, ,所以利用式(4-6)求出 的DFS系数为(4-15)在这种情况下,对于所有的k值均相同。于是,将式(4-15)代入式(4-13)可以得出表示式(4-16)4.2.1周期序列的离散傅里叶级数(DFS)112例4-1设为周期脉冲串(4-14)因为
例4-2
已知周期序列如图4-2所示,其周期N=10,试求解它的傅里叶级数系数。图4-2例4-2的周期序列(周期N=10)4.2.1周期序列的离散傅里叶级数(DFS)113例4-2已知周期序列如由式(4-12)(4-17)这一有限求和有闭合形式(4-18)图4-3图4-2所示序列的傅里叶级数系数的幅值4.2.1周期序列的离散傅里叶级数(DFS)114由式(4-12)(4-17)这一有限求和有闭合形式(4式(4-12)中的周期序列可看成是对的第一个周期x(n)作Z变换,然后将Z变换在Z平面单位圆上按等间隔角2π/N采样而得到的。令0≤n≤N-1其他n
通常称x(n)为的主值区序列,则x(n)的Z变换为(4-19)4.2.1周期序列的离散傅里叶级数(DFS)115式(4-12)中的周期序列可把式(4-19)与式(4-12)比较可知(4-20)可以看出,当0≤k≤N-1时,是对X(z)在Z平面单位圆上的N点等间隔采样,在此区间之外随着k的变化,的值呈周期变化。图4-4画出了这些特点。4.2.1周期序列的离散傅里叶级数(DFS)116把式(4-19)与式(4-12)比较可知(4-20)可以jIm[z]234567(=N?1)k=02p/NRe[z]o|z|=114.2.1周期序列的离散傅里叶级数(DFS)图4-4图4-4是对X(z)在Z平面单位圆上的N点等间隔角点抽样示意图117jIm[z]234567(=N?1)k=02p/NRe[z]由于单位圆上的Z变换即为序列的傅里叶变换,所以周期序列 也可以解释为 的一个周期x(n)的傅里叶变换的等间隔采样。因为(4-21)比较式(4-21)和式(4-12),可以看出这相当于以2π/N的频率间隔对傅里叶变换进行采样。(4-22)4.2.1周期序列的离散傅里叶级数(DFS)118由于单位圆上的Z变换即为序列的傅里叶变换,所例4-3
为了举例说明傅里叶级数系数和周期信号的一个周期的傅里叶变换之间的关系,我们再次研究图4-2所示的序列。在序列的一个周期中:0≤n≤4其他(4-23)则的一个周期的傅里叶变换是(4-24)可以证明,若将ω=2πk/10代入式(4-18),即4.2.1周期序列的离散傅里叶级数(DFS)119例4-3为了举例说明傅里叶级数系数图4-5对图4-2所示序列的一个周期作傅里叶变换的幅值4.2.1周期序列的离散傅里叶级数(DFS)120图4-5对图4-2所示序列的一个周期作傅里叶变换的幅值图4-6图4-3和图4-5的重叠图(它表明一个周期序列的DFS系数等于主值区序列的傅里叶变换的采样)4.2.1周期序列的离散傅里叶级数(DFS)121图4-6图4-3和图4-5的重叠图4.2.1周期序列由于可以用采样Z变换来解释DFS,因此它的许多性质与Z变换性质非常相似。但是,由于和两者都具有周期性,这就使它与Z变换性质还有一些重要差别。此外,DFS在时域和频域之间具有严格的对偶关系,这是序列的Z变换表示所不具有的。设和 皆是周期为N的周期序列,它们各自的DFS分别为:4.2.2离散傅里叶级数(DFS)的性质122由于可以用采样Z变换来解释DFS,因此它的许1.线性(4-25)式中,a和b为任意常数,所得到的频域序列也是周期序列,周期为N。这一性质可由DFS定义直接证明,留给读者自己去做。4.2.2离散傅里叶级数(DFS)的性质1231.线性(4-25)式中,a和b为任意常数,所得到的频2.序列的移位(4-26)(4-27a)或证(4-27b)i=n+m
4.2.2离散傅里叶级数(DFS)的性质1242.序列的移位(4-26)(4-27a)或证(4-由于都是以N为周期的周期函数,故由于与的对称特点,可以用相似的方法证明式(4-27a):4.2.2离散傅里叶级数(DFS)的性质125由于都是以N为周期的3.周期卷积如果则或证代入(4-28)4.2.2离散傅里叶级数(DFS)的性质1263.周期卷积如果则或证代入(4-28)4.2.得将变量进行简单换元,即可得等价的表示式4.2.2离散傅里叶级数(DFS)的性质127得将变量进行简单换元,即可得等价的表示式4.2.2离散式(4-28)是一个卷积公式,但是它与非周期序列的线性卷积不同。首先, 和 (或和 都是变量m的周期序列,周期为N,故乘积也是周期为N的周期序列;其次,求和只在一个周期上进行,即m=0到N-1,所以称为周期卷积。4.2.2离散傅里叶级数(DFS)的性质128式(4-28)是一个卷积公式,但是它与非周周期卷积的过程可以用图4-7来说明,这是一个N=7的周期卷积。每一个周期里有一个宽度为4的矩形脉冲,有一个宽度为3的矩形脉冲,图中画出了对应于n=0,1,2时的。周期卷积过程中一个周期的某一序列值移出计算区间时,相邻的同一位置的序列值就移入计算区间。运算在m=0到N-1区间内进行,即在一个周期内将 与 逐点相乘后求和,先计算出n=0,1,…,N-1的结果,然后将所得结果周期延拓,就得到所求的整个周期序列 。4.2.2离散傅里叶级数(DFS)的性质129周期卷积的过程可以用图4-7来说明,这是一个N图4-7两个周期序列(N=7)的周期卷积4.2.2离散傅里叶级数(DFS)的性质130图4-7两个周期序列(N=7)的周期卷积4.2.2图4-7两个周期序列(N=7)的周期卷积4.2.2离散傅里叶级数(DFS)的性质131图4-7两个周期序列(N=7)的周期卷积4.2.2图4-7两个周期序列(N=7)的周期卷积4.2.2离散傅里叶级数(DFS)的性质132图4-7两个周期序列(N=7)的周期卷积4.2.2由于DFS和IDFS变换的对称性,可以证明(请读者自己证明)时域周期序列的乘积对应着频域周期序列的周期卷积。即,如果则
(4-29)4.2.2离散傅里叶级数(DFS)的性质133由于DFS和IDFS变换的对称性,可以证明(4.3.1离散傅里叶变换(DFT)的定义4.3.2DFT与序列傅里叶变换、Z变换的关系4.3.3离散傅里叶变换的性质4.3离散傅里叶变换(DFT)及性质1344.3.1离散傅里叶变换(DFT)的定义4.3离散傅里4.3.1
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