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回归分析第六章回归分析第六章第一节回归分析测量与数据处理的目的并不在于被测量的估计值，而是为了寻求两个变量或多个变量之间的内在关系。表达变量之间关系的方法有散点图、表格、曲线、数学表达式等，其中数学表达式能较客观地反映事物的内在规律性，形式紧凑，且便于从理论上作进一步分析研究。数学表达式的获得是通过回归分析方法完成的。第一节回归分析测量与数据处理的目的并不第一节回归分析回归分析就是应用数学的方法,对大量的观测数据进行处理，从而得出比较符合事物内部规律的数学表达式。回归分析(RegressionAnalysis)是英国生物学家兼统计学家高尔顿(Galton)在1889年出kok电子竞技的《自然遗传》一书中首先提出的。回归分析是数理统计中的一个重要分支，在工农业生产和科学研究中有着广泛的应用。当今在实验数据处理、经验公式的求得、因家分析、仪器的精度分析、产品质量的控制、某些新标准的制定、气象及地震预报、目动控制中的数学模型的制定及其他许多场合中，回归分析往往是一种很有用的工具。第一节回归分析回归分析就是应用数学的方法,对第二节一元线形回归一元回归是处理两个变量之间的关系，即两个变量x和y之间若存在一定的关系，则通过试验，分析所得数据，找出两者之间关系的经验公式。假如两个变量之间的关系是线性的就称为一元线性回归，这就是工程上和科研中常遇到的直线拟合问题。第二节一元线形回归一元回归是处理两个变量之间例题测量某导线在一定温度x下的电阻值y如表中所示，试找出它们之间的内在关系。例题测量某导线在一定温度x下的电阻值y如表中所示分析：最小二乘法分析：最小二乘法第六章回归分析1课件第六章回归分析1课件第六章回归分析1课件第六章回归分析1课件回归方程的稳定性回归方程的稳定性是指回归值的波动大。欢。毓榉匠痰奈榷ㄐ杂。的波动大小用

的标准差

来表示。回归方程的稳定性回归方程的稳定性是指回归值的波动大小=0=Q回归方程的方差分析总的离差平方和=U=0=Q回归方程的方差分析总的离差平方和=U回归方程的方差分析回归方程的方差分析回归方程的方差分析=N-1=1=N-2自由度回归方程的方差分析=N-1=1=N-2自由度回归方程显著性检验由回归平方和与残余平方和的意义可知：一个回归方程是否显著，也就是y与x的线性关系是否密切，取决于U及Q的大。琔愈大Q愈小说明y与x的线性关系愈密切。回归方程显著性检验通常采用F检验法。回归方程显著性检验由回归平方和与残余平方和的意义残余方差与残余标准差残余方差：残余标准差：残余方差与残余标准差残余方差：残余标准差：方差分析表方差分析表重复试验为了检验一个回归方程拟合得好坏，可以做些重复试验，从而获得误差平方和QE和失拟平方和QL(它反映了非线性及其它未加控制的因素的影响)，用误差平方和对失拟平方和进行F检验,就可以确定回归方程拟合得好坏。重复试验为了检验一个回归方程拟合得好坏，可以做例题用标准压力计对莱固体压力传感器进行检定，检定所得数据如表所示.表中xt为标准压力，yti为传感器输出电压，yt为四次读数的算术平均值。试对仪器定标并分折仪器的误差。例题用标准压力计对莱固体压力传感器进行检定，检重复试验在一般情况下，重复试验可将误差平方和与失拟平方和从残余平方和中分离出来，这对统计分析是有好处的。同时，在精密测试仪器中，通常失拟平方和及误差平方和分别与仪器的原理误差(定标误差、非线性误差)及仪器的随机误差相对应。应用这种方法可以将系统误差与随机误差分离开来，并可用回归分析方法进一步找出仪器的误差方程，从而可以对仪器的误差进行修正。重复试验在一般情况下，重复试验可将误差平方和与失回归直线的简便求法分组法:用分组法求回归方程中的系数

和

的具体作法是：将自变量数据按由小到大的次序安排，分成个数相等或近于相等的两个组:第一组为第二组为回归直线的简便求法分组法:用分组法求回归方程第六章回归分析1课件例题测量某导线在一定温度x下的电阻值y如表中所示，用分组法求回归方程。例题测量某导线在一定温度x下的电阻值y如表中所示第六章回归分析1课件回归直线的简便求法图解法:把N对观测数据于坐标纸上画出散点图，假如画出的点群形成一直线带，就在点群中画一条直线，使得多数点位于直线上或接近此线并均匀地分布在直线的两边。这条直线可以近似地作为回归直线，回归系数可以直接由图中求得。利用此直线也可在坐标纸上直接进行预报。由于作图时完全凭经验画直线，主观性较大，精度较低，但此法非常简单，精度要求不高时可采用。回归直线的简便求法图解法:把N对观测数据于坐标纸例题用x光机检查镁合金焊接件及铸件内部缺陷时．为达到最佳灵敏度，透照电压y应随被透照件厚度x而改变。经试验得如下一组数据:例题用x光机检查镁合金焊接件及铸件内部缺陷时．第三节两个变量都具有误差时

线性回归方程的确定上面用最小二乘法求得的回归方程,一般认为是最佳的，但它是假设x是没有误差或误差可以忽略的，其所有误差都归结在y方向。然而，x的测量也可能是不精确的，存在试验误差。现在我们考察另一种极端情况,即y没有误差，而所有误差都归结于x。在这种情况下，一元线性回归方程的数学模型是第三节两个变量都具有误差时

线性回归方程的确定第六章回归分析1课件第六章回归分析1课件戴明(Deming)解法若

分别具有误差假定之间为线性关系，其数学模型为戴明(Deming)解法若例题通过试验测量某量x、y的结果如下：由重复测量已估计出

，即

，试求y对x的回归直线方程.例题通过试验测量某量x、y的结果如下：由重复测量已估计出第四节一元非线性回归在实际问题中，有时两个变量之间的内在关系并不是线性关系，而是某种曲线关系．这时若求所需的回归线，一般地说，可以分两步进行：

①确定函数类型;

②求解相关函数中的未知参数。用最小二乘法直接求解非线性回归方程是非常复杂的，通常是通过变量代换把回归曲线转换成回归直线，继而用前面给出的方法求解；或者把回归曲线展成回归多项式，直接用回归多项式来描述两个变量之间的关系。第四节一元非线性回归在实际问题中，有时两个变回归曲线函数类型的选取和检验直接判断法:观察法:回归曲线函数类型的选取和检验直接判断法:观察法:回归曲线函数类型的选取和检验直线检验法:①将预选的回归曲线f(x,y,a,b)=0写成Z1=A+BZ2②求出几对与x、y相对应的Z1和Z2的值，这几对值以选择x、y值相距较远为好。③以Z1和Z2为变量画图，若所得图形为一直线，则证明原先所选定的回归曲线类型是合适的。回归曲线函数类型的选取和检验直线检验法:①将预选的回归曲线f例题用直线检验法说明下列一组数据是否可用

表示.例题用直线检验法说明下列一组数据是否可用回归曲线函数类型的选取和检验表差法:①用试验数据画图。②自图上根据定差，列出各对应值。

③根据的读出值作出差值

，而回归曲线函数类型的选取和检验表差法:①用试验数据画图。例题检验表中所示观测数据是否可用

表示。例题检验表中所示观测数据是否可用化曲线回归为直线回归问题为了测定椭圆齿轮流量计在介质粘度变化时的误差，先测定10号变压器油的粘度y与温度x的变化曲线，以便试验时测出油温就可以知道粘度。通过试验获得如下一组数据：化曲线回归为直线回归问题为了测定椭圆齿轮流量计回归曲线方程的效果与精度回归曲线方程的效果与精度第五节多元线性回归第五节多元线性回归第五节多元线性回归第五节多元线性回归第五节多元线性回归第五节多元线性回归第五节多元线性回归第五节多元线性回归第五节多元线性回归第五节多元线性回归第五节多元线性回归第五节多元线性回归第五节多元线性回归第五节多元线性回归回归方程的显著性和精度回归方程的显著性和精度每个自变量在多元回归中所起的作用偏回归平方和一般地说，由于各自变量之间可能有密切的相关关系，所以一般地不能按偏回归平方和的大。岩桓龌毓橹械乃凶员淞慷砸虮淞康闹匾源笮〗兄鸶雠帕。通常在计算偏回归平方和以后，对各因素的分析可按一定步骤进行.每个自变量在多元回归中所起的作用偏回归平方和一般每个自变量在多元回归中所起的作用①凡是偏回归平方和大的变量，一定是对y有重要影响的因素。可用残余平方和对它进行F检验。

②凡是偏回归平方和小的变量，却并不一定不显著。但可以肯定，偏回归平方和最小的那个变量，必是所有变量中对y作用最小的一个，假如此时变量检验结果又不显著，那就可以将该变量剔除。每个自变量在多元回归中所起的作用①凡是偏回归平方和大的变量，第六节线性递推回归在动态测量中，数据往往是循序测出的，而且有的要求进行实时处理，即每获得一个新数据，就要及时解算出回归方程新的系数，计算工作量大。所以数据积累的越多，实时性越差。采用递推算法是解决上述问题的最佳方法。

递推算法的基本思想：首先根据初始的测量数据。计算出回归系数初始值；新增加一组数据后，计算出新增数据带来的回归系数增量，回归系数初始值加上其增量就是回归系数新的解；再增加新数据时，按此法类推解算。由于回归系数增量的计算工作量较少，而且无重复性计算，提高了计算速度。第六节线性递推回归在动态测量中，数据往往是循回归系数的递推计算公式新增加的一个测量值后，新的系数矩阵为:回归系数的递推计算公式新增加的一个测量值后，新的系数矩阵为:回归系数的递推计算公式回归系数递推公式:回归系数的递推计算公式回归系数递推公式:回归系数的递推计算步骤1．计算b和c的初始值2．计算3．计算回归系数矩阵4．重复第2、第3步，直至数据采样结束，这样把每增加一组数据后的回归方程系数全部解算出来。回归系数的递推计算步骤1．计算b和c的初始值2．计算3．计算回归分析第六章回归分析第六章第一节回归分析测量与数据处理的目的并不在于被测量的估计值，而是为了寻求两个变量或多个变量之间的内在关系。表达变量之间关系的方法有散点图、表格、曲线、数学表达式等，其中数学表达式能较客观地反映事物的内在规律性，形式紧凑，且便于从理论上作进一步分析研究。数学表达式的获得是通过回归分析方法完成的。第一节回归分析测量与数据处理的目的并不第一节回归分析回归分析就是应用数学的方法,对大量的观测数据进行处理，从而得出比较符合事物内部规律的数学表达式。回归分析(RegressionAnalysis)是英国生物学家兼统计学家高尔顿(Galton)在1889年出kok电子竞技的《自然遗传》一书中首先提出的。回归分析是数理统计中的一个重要分支，在工农业生产和科学研究中有着广泛的应用。当今在实验数据处理、经验公式的求得、因家分析、仪器的精度分析、产品质量的控制、某些新标准的制定、气象及地震预报、目动控制中的数学模型的制定及其他许多场合中，回归分析往往是一种很有用的工具。第一节回归分析回归分析就是应用数学的方法,对第二节一元线形回归一元回归是处理两个变量之间的关系，即两个变量x和y之间若存在一定的关系，则通过试验，分析所得数据，找出两者之间关系的经验公式。假如两个变量之间的关系是线性的就称为一元线性回归，这就是工程上和科研中常遇到的直线拟合问题。第二节一元线形回归一元回归是处理两个变量之间例题测量某导线在一定温度x下的电阻值y如表中所示，试找出它们之间的内在关系。例题测量某导线在一定温度x下的电阻值y如表中所示分析：最小二乘法分析：最小二乘法第六章回归分析1课件第六章回归分析1课件第六章回归分析1课件第六章回归分析1课件回归方程的稳定性回归方程的稳定性是指回归值的波动大。欢。毓榉匠痰奈榷ㄐ杂。的波动大小用

的标准差

来表示。回归方程的稳定性回归方程的稳定性是指回归值的波动大小=0=Q回归方程的方差分析总的离差平方和=U=0=Q回归方程的方差分析总的离差平方和=U回归方程的方差分析回归方程的方差分析回归方程的方差分析=N-1=1=N-2自由度回归方程的方差分析=N-1=1=N-2自由度回归方程显著性检验由回归平方和与残余平方和的意义可知：一个回归方程是否显著，也就是y与x的线性关系是否密切，取决于U及Q的大。琔愈大Q愈小说明y与x的线性关系愈密切。回归方程显著性检验通常采用F检验法。回归方程显著性检验由回归平方和与残余平方和的意义残余方差与残余标准差残余方差：残余标准差：残余方差与残余标准差残余方差：残余标准差：方差分析表方差分析表重复试验为了检验一个回归方程拟合得好坏，可以做些重复试验，从而获得误差平方和QE和失拟平方和QL(它反映了非线性及其它未加控制的因素的影响)，用误差平方和对失拟平方和进行F检验,就可以确定回归方程拟合得好坏。重复试验为了检验一个回归方程拟合得好坏，可以做例题用标准压力计对莱固体压力传感器进行检定，检定所得数据如表所示.表中xt为标准压力，yti为传感器输出电压，yt为四次读数的算术平均值。试对仪器定标并分折仪器的误差。例题用标准压力计对莱固体压力传感器进行检定，检重复试验在一般情况下，重复试验可将误差平方和与失拟平方和从残余平方和中分离出来，这对统计分析是有好处的。同时，在精密测试仪器中，通常失拟平方和及误差平方和分别与仪器的原理误差(定标误差、非线性误差)及仪器的随机误差相对应。应用这种方法可以将系统误差与随机误差分离开来，并可用回归分析方法进一步找出仪器的误差方程，从而可以对仪器的误差进行修正。重复试验在一般情况下，重复试验可将误差平方和与失回归直线的简便求法分组法:用分组法求回归方程中的系数

和

的具体作法是：将自变量数据按由小到大的次序安排，分成个数相等或近于相等的两个组:第一组为第二组为回归直线的简便求法分组法:用分组法求回归方程第六章回归分析1课件例题测量某导线在一定温度x下的电阻值y如表中所示，用分组法求回归方程。例题测量某导线在一定温度x下的电阻值y如表中所示第六章回归分析1课件回归直线的简便求法图解法:把N对观测数据于坐标纸上画出散点图，假如画出的点群形成一直线带，就在点群中画一条直线，使得多数点位于直线上或接近此线并均匀地分布在直线的两边。这条直线可以近似地作为回归直线，回归系数可以直接由图中求得。利用此直线也可在坐标纸上直接进行预报。由于作图时完全凭经验画直线，主观性较大，精度较低，但此法非常简单，精度要求不高时可采用。回归直线的简便求法图解法:把N对观测数据于坐标纸例题用x光机检查镁合金焊接件及铸件内部缺陷时．为达到最佳灵敏度，透照电压y应随被透照件厚度x而改变。经试验得如下一组数据:例题用x光机检查镁合金焊接件及铸件内部缺陷时．第三节两个变量都具有误差时

线性回归方程的确定上面用最小二乘法求得的回归方程,一般认为是最佳的，但它是假设x是没有误差或误差可以忽略的，其所有误差都归结在y方向。然而，x的测量也可能是不精确的，存在试验误差。现在我们考察另一种极端情况,即y没有误差，而所有误差都归结于x。在这种情况下，一元线性回归方程的数学模型是第三节两个变量都具有误差时

线性回归方程的确定第六章回归分析1课件第六章回归分析1课件戴明(Deming)解法若

分别具有误差假定之间为线性关系，其数学模型为戴明(Deming)解法若例题通过试验测量某量x、y的结果如下：由重复测量已估计出

，即

，试求y对x的回归直线方程.例题通过试验测量某量x、y的结果如下：由重复测量已估计出第四节一元非线性回归在实际问题中，有时两个变量之间的内在关系并不是线性关系，而是某种曲线关系．这时若求所需的回归线，一般地说，可以分两步进行：

①确定函数类型;

②求解相关函数中的未知参数。用最小二乘法直接求解非线性回归方程是非常复杂的，通常是通过变量代换把回归曲线转换成回归直线，继而用前面给出的方法求解；或者把回归曲线展成回归多项式，直接用回归多项式来描述两个变量之间的关系。第四节一元非线性回归在实际问题中，有时两个变回归曲线函数类型的选取和检验直接判断法:观察法:回归曲线函数类型的选取和检验直接判断法:观察法:回归曲线函数类型的选取和检验直线检验法:①将预选的回归曲线f(x,y,a,b)=0写成Z1=A+BZ2②求出几对与x、y相对应的Z1和Z2的值，这几对值以选择x、y值相距较远为好。③以Z1和Z2为变量画图，若所得图形为一直线，则证明原先所选定的回归曲线类型是合适的。回归曲线函数类型的选取和检验直线检验法:①将预选的回归曲线f例题用直线检验法说明下列一组数据是否可用

表示.例题用直线检验法说明下列一组数据是否可用回归曲线函数类型的选取和检验表差法:①用试验数据画图。②自图上根据定差，列出各对应值。

③根据的读出值作出差值

，而回归曲线函数类型的选取和检验表差法:①用试验数据画图。例题检验表中所示观测数据是否可用

表示。例题检验表中所示观测数据是否可用化曲线回归为直线回归问题为了测定椭圆齿轮流量计在介质粘度变化时的误差，先测定10号变压器油的粘度y与温度x的变化曲线，以便试验时测出油温就可以知道粘度。通过试验获得如下一组数据：化曲线回归为直线回归问题为了测定椭圆齿轮流量计回归曲线方程的效果与精度回归曲线方程的效果与精度第五节多元线性回归第五节多元线性回归第五节多元线性回归第五节多元线性回归第五节多元线性回归第五节多元线性回归第五节多元线性回归第五节多元线性回归第五节多元线性回归第五节多元线性回归第五节多元线性回归第五节多元线性回归第五节多元线性回归第五节多元线性回归回归方程的显著性和精度回归方程的显著性和精度每个自变量在多元回归中所起的作用偏回归平方和一般地说，由于各自变量之间可能有密切的相关关系，所以一般地不能按偏回归平方和的大。岩桓龌毓橹械乃凶员淞慷砸虮淞康闹匾源笮〗兄鸶雠帕。通常在计算偏回归平方和以后，对各因素的分析可按一定步骤进行.每个自变量在多元回归中所起的作用偏回归平方和一般每个自变量在多元回归中所起的作用①凡是偏回归平方和大的变量，一定是对y有重要影响的因素。可用残余平方和对它进行F检验。

②凡是偏回归平方和小的变量，却并不一定不显著。但可以肯定，偏回归平方和最小的那个变量，必是所有变量中对y作用最小的一个，假如此时变量检验结果又不显著，那就可以将该变量剔除。每个自变量在多元回归中所起的作用①凡是偏回归平方和大的变量，第六节线性递推回归在动态测量中，数据往往是循序测出的，而且有的要求进行实时处理，即每获得一个新数据，就要及时解算出回归方程新的系数，计算工作量大。所以数据积累的越多，实时性越差。采用递推算法是解决上述问题的最佳方法。

递推算法的基本思想：首先根据初始的测量数据。计算出回归系数初始值；新增加一组数据后，计算出新增数据带来的回归系数增量，回归系数初始值加上其增量就是回归系数新的解；再增加新数据时，按此法类推解算。由于回归系数增量的计算工作量较少，而且无重复性计算，提高了计算速度。第六节线性递推回归在动态测量中，数据往往是循回归系数的递推计算公式新增加的一个测量值后，新的系数矩阵为:回归系数的递推计算公式新增加的一个测量值后，新的系数矩阵为:回归系数的递推计算公式回归系数递推公式:回归系数的递推计算公式回归系数递推公式:回归系数的递推计算步骤1．计算b和c的初始值2．计算3．计算回归系数矩阵4．重复第2、第3步，直至数据采样结束，这样把每增加一组数据后的回归方程系数全部解算出来。回归系数的递推计算步骤1．计算b和c的初始值2．计算3．计算