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山东省淄博市张店区沣水中学2021-2022学年高二数学理期末试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为,则直线的倾斜角的取值范围是(
)(A)
(B)(C)
(D)参考答案:B略2.在的二项展开式中,第三项的系数与第二项的系数的差为20,则展开式中含的项的系数为(
)A.8 B.28 C.56 D.70参考答案:B【分析】先由题意写出二项展开式的通项公式,得到各项系数,根据题意求出,进而可求出结果.【详解】因为展开式的通项公式为,所以第二项与第三项的系数分别为,,又第三项的系数与第二项的系数的差为20,所以,即,解得,所以,令,则,所以展开式中含的项的系数为.故选B【点睛】本题主要考查求指定项的系数,熟记二项式定理即可,属于常考题型.3.函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在[0,3]上的最大值、最小值分别是()A.5,﹣4 B.5,﹣15 C.﹣4,﹣15 D.5,﹣16参考答案:B【考点】6E:利用导数求闭区间上函数的最值.【分析】对函数求导,利用导数研究函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在[0,3]上的单调性,判断出最大值与最小值位置,代入算出结果.【解答】解:由题设知y'=6x2﹣6x﹣12,令y'>0,解得x>2,或x<﹣1,故函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在[0,2]上减,在[2,3]上增,当x=0,y=5;当x=3,y=﹣4;当x=2,y=﹣15.由此得函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在[0,3]上的最大值和最小值分别是5,﹣15;故选B.4.设x∈R,则“x>”是“2x2+x﹣1>0”的(
)A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案:A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【专题】简易逻辑.【分析】求出二次不等式的解,然后利用充要条件的判断方法判断选项即可.【解答】解:由2x2+x﹣1>0,可知x<﹣1或x>;所以当“x>”?“2x2+x﹣1>0”;但是“2x2+x﹣1>0”推不出“x>”.所以“x>”是“2x2+x﹣1>0”的充分而不必要条件.故选A.【点评】本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断,二次不等式的解法,考查计算能力.5.甲、乙二人同时从A点出发,甲沿着正东方向走,乙沿着北偏东30°方向走,当乙走了2千米到达B点时,两人距离恰好为千米,那么这时甲走的距离是
A.
千米
B.2千米
C.千米
D.1千米参考答案:D略6.已知向量,,若垂直,则(
)A.-3
B.-2
C.2
D.3参考答案:A7.下列各数中最小的一个是
(
)
A.
B.C.
D.参考答案:A8.下列曲线中离心率为的是(
)A.
B.
C.
D.参考答案:B9.由数字0,1,2,3组成的无重复数字且能被3整除的非一位数的个数为()A.12 B.20 C.30 D.31参考答案:D【分析】分成两位数、三位数、四位数三种情况,利用所有数字之和是的倍数,计算出每种情况下的方法数然后相加,求得所求的方法总数.【详解】两位数:含数字1,2的数有个,或含数字3,0的数有1个.三位数:含数字0,1,2的数有个,含数字1,2,3有个.四位数:有个.所以共有个.故选D.【点睛】本小题主要考查分类加法计数原理,考查一个数能被整除的数字特征,考查简单的排列组合计算,属于基础题.10.已知二面角为锐角,点M,M到的距离,M到棱的距离,则N到平面的距离为
()
A
B
C
D
3参考答案:C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图所示,等边的边长为a,将它沿平行于BC的线段PQ折起,使,
若折叠后的长为d,则d的最小值为
.
参考答案:12.已知双曲线-=1(a>0,b>0)和椭圆+=1有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为______________.
参考答案:-=1略13.底面是正方形,容积为16的无盖水箱,它的高为
时最省材料.参考答案:【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.【分析】设底面是正方形为x,则它的高为,从而它的表面积S=x2+,由此利用基本不等式能求出结果.【解答】解:设底面是正方形为x,∵容积为16,∴它的高为,∵底面是正方形,容积为16的无盖水箱,∴它的表面积S==x2+=≥=,∴当x2=,即x=时,最省材料.故答案为:.【点评】本题考查无盖长方体水箱用料最省时它的高的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意长方体的结构特征的合理运用.14.在区域内任取一点P,则点P落在单位圆内的概率为
;参考答案:15.在等比数列中,,且,,成等差数列,则通项公式
.参考答案:16.某教师出了一份共3道题的测试卷,每道题1分,全班得3分,2分,1分,0分的学生所占比例分别为30%,40%,20%,10%,若全班30人,则全班同学的平均分是-----___.参考答案:1.917.从一堆苹果中任取10只,称得它们的质量如下(单位:克):125
120
122
105
130
114
116
95
120
134,则样本数据落在内的频率为________.参考答案:0.7样本数据落在内有7个,所以频率为0.7.三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.(14分)已知函数,(1)求在点(1,0)处的切线方程;(2)判断及在区间上的单调性;(3)证明:在上恒成立参考答案:(1)
…………1分
…………2分
………………3分(2)
…………4分
…………5分在上恒成立
………………6分在上单调递减
………………7分
………………8分在上单调递增
………………9分(3)即………………10分
设函数则在在上单调递增
…………13分即在上恒成立…………14分19.已知函数,.(1)当时,求f(x)的最值;(2)使在区间[-4,6]上是单调函数,求实数a的取值范围.参考答案:(1)最小值-1,最大值35;(2).【分析】(1)利用二次函数的单调性求函数的最值;(2)由题得函数的图象开口向上,对称轴是,所以或,即得a的取值范围.【详解】(1)当时,,由于,∴在上单调递减,在上单调递增,∴的最小值是,
又,,故的最大值是35.(2)由于函数的图象开口向上,对称轴是,所以要使在上是单调函数,应有或,即或.故的取值范围是.【点睛】本题主要考查二次函数的图像和性质,意在考查学生对该知识的理解掌握水平,属于基础题.20.(20分)在⊿ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若.(1)求证:A=B;(2)求边长c的值;(3)若,求⊿ABC的面积。参考答案:解析:(1)由,得bccosA=accosB,sinBcosA=sinAcosB,sin(A-B)=0,则A=B.----------(5分)(2),得bccosA=1,又,则b2+c2-a2=2,c2=2,所以。------------10分)(3),得2+b2+2=6,,s=.-------------------(20分)21.(本小题满分13分)如图,四棱锥的底面为正方形,侧棱底面,且,分别是线段的中点.
(Ⅰ)求证://平面;(Ⅱ)求证:平面;(Ⅲ)求二面角的大。,参考答案:建立如图所示的空间直角坐标系,,,,,.(Ⅰ)证明:∵,,∴,∵平面,且平面,∴//平面.(Ⅱ)证明:,,,,又,∴平面.(Ⅲ)设平面的法向量为,因为,,则取又因为平面的法向量为所以所以二面角的大小为.略22.如图,椭圆的离心率为,轴被曲线截得的线段长等于的短轴长。与轴的交点为,过坐标原点的直线与相交于点,直线分别与相交于点。(1)求、的方程;(2)求证:。(3)记的面积分别为,若,求的取值范围。参考答案:(1)
又,得
(2)设直线则
=0
(3)设直线,同理可得
同理可得
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