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第六章平面向量及其应用平面向量的运算第2课时向量的数乘运算【课程标准】通过实例分析,掌握平面向量的数乘运算及其运算规则,理解其几何意义。了解平面向量的线性运算性及其几何意义。掌握平面向量基本定理及其证明过程,会根据向量共线定理判断两个向量是否共线。【知识要点归纳】1.数乘向量(1)定义:一般地,给定一个实数λ与任意一个向量a,规定它们的乘积是一个向量,记作λa,其中:①当λ≠0且a≠0时,λa的模为|λ||a|,而且λa的方向如下:(i)当λ>0时,与a的方向相同;(ii)当λ<0时,与a的方向相反.②当λ=0或a=0时,λa=0.上述实数λ与向量a相乘的运算简称为数乘向量.(2)几何意义:把向量a沿着a的方向或a的反方向放大或缩。(3)运算律:设λ,μ为实数,则①(λ+μ)a=λa+μa;②λ(μa)=(λμ)a;③λ(a+b)=λa+λb.注意:数乘向量与实数的乘法的区别。[提示](1)数乘向量与实数的乘法是有区别的,前者的结果是一个向量,后者的结果是一个实数.特别要注意λ=0时,λa=0,此处最容易出现的错误是将实数0与0混淆,错误地表述成λa=0.(2)要注意实数与向量可以求积,但是不能进行加减运算,如λ+a,λ-a是无法运算的.2.线性运算:向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算,向量线性运算的结果仍是向量.对于任意向量a,b,以及任意实数λ,μ1,μ2,恒有λ(μ1a+μ2b)=λμ1a±λμ2b.3.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使b=λa.【经典例题】例1.已知,,(1)求.(2)求。
例2.已知,,,都是向量,且,,试用,分别表示,.例3.已知两个非零向量与不共线,,,.(1)若,求的值;(2)若,,三点共线,求的值.例4.已知非零向量,,,,,求证:,,三点在同一条直线上.例5.如图,已知中,为的中点,,,交于点,设,.(1)用,分别表示向量,;(2)若,求实数的值.【当堂检测】一.选择题(共4小题)1.如图,在平行四边形中,是的中点,是线段上靠近点的三等分点,则A. B. C. D.2.已知,点为边上一点,且满足,则向量A. B. C. D.3.在平行四边形中,为的中点,为的中点,则A. B. C. D.4.在所在的平面上有一点,满足,设,,则A. B. C. D.二.填空题(共2小题)5.在中,点,分别在边,上,且,,记,,若,则的值为.6.在平行四边形中,,则(用表示).三.解答题(共1小题)7.已知平行四边形中,若是该平面上任意一点,则满足.(1)若是的中点,求的值;(2)若、、三点共线,求证:.
当堂检测答案一.选择题(共4小题)1.如图,在平行四边形中,是的中点,是线段上靠近点的三等分点,则A. B. C. D.【分析】利用平面向量的基本定理,用和线性表示向量即可.【解答】解:由可知,,故。海镜闫馈勘咎庵饕疾榱似矫嫦蛄康幕径ɡ,以及向量的线性表示,是基础题.2.已知,点为边上一点,且满足,则向量A. B. C. D.【分析】根据可得出,然后进行向量的数乘运算求出即可.【解答】解:,,.故。海镜闫馈勘咎饪疾榱讼蛄考醴ǖ募负我庖,向量的数乘运算,考查了计算能力,属于基础题.3.在平行四边形中,为的中点,为的中点,则A. B. C. D.【分析】根据条件可画出图形,根据向量加法、减法和数乘的几何意义即可用表示出向量.【解答】解:如图,四边形为平行四边形,为的中点,为的中点,.故。海镜闫馈勘咎饪疾榱讼蛄考臃、减法和数乘的几何意义,向量的数乘运算,考查了计算能力,属于基础题.4.在所在的平面上有一点,满足,设,,则A. B. C. D.【分析】由向量加减的三角形法则结合相反向量的定义,可得为线段的一个三等分点,再根据向量的加减的几何意义即可求出答案.【解答】解:,;即;故点是边上的第二个三等分点;;故。海镜闫馈勘咎饪疾橄蛄康脑怂惴ㄔ,涉及共线向量定理,属基础题.二.填空题(共2小题)5.在中,点,分别在边,上,且,,记,,若,则的值为.【分析】可画出图形,根据,即可得出,再根据便可得出,又知,这样根据平面向量基本即可求出,的值.【解答】解:如图,,;,,且;;又;根据平面向量基本定理得,;.故答案为:.【点评】考查向量加法、减法和数乘的几何意义,以及向量的数乘运算,平面向量基本定理.6.在平行四边形中,,则(用表示).【分析】根据向量的线性运算性质及几何意义,由得,利用向量的三角形法则得,且,最后将左式的两个向量都用用表示即得.【解答】解:由得,且,又,.故答案为:.【点评】本题考点是向量加减混合运算及其几何意义,考查了向量加法与减法法则,解题的关键是熟练掌握向量加减法的法则,根据图象将所研究的向量用基向量表示出来,本题考查数形结合的思想,是向量在几何中运用的基础题型.三.解答题(共1小题)7.已知平行四边形中,若是该平面上任意一点,则满足.(1)若是的中点,求的值;(2)若、、三点共线,求证:.【分析】(1)是的中点时,可得出,从而根据平面向量基本定理得出;(2)根据,,三点共线可得出与共线,从而得出,进而得出,这样根据平面向量基本定理即可得出.【解答】解:(1)若是的中点,则,又,根据平面向量基本定理得,,;(2)证明:,,三点共线,和共线,存在实数,使,,,又,根据平面向量基本定理得,.【点评】本题考查了向量加法的平行四边形法则,共线向量和平面向量基本定理,以及向量减法的几何意义,向量的数乘运算,考查了计算和推理能力,属于基础题.
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