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第四章
受弯截面弹塑性全过程分析30Oct,20061AdvancedConcreteStructures
§4.1弹性分析4.1.1第Ⅰ阶段(开裂前)计算图式:30Oct,20062AdvancedConcreteStructures
(一)基本方程1.平衡条件(4-1)(4-2)2.变形条件(4-3)(4-4)根据平截面假定:30Oct,20063AdvancedConcreteStructures
3.物理条件(4-5)(4-6)
6个独立方程,13个参数,即如果已知其中的任意7个,便可解出其余6个未知数。30Oct,20064AdvancedConcreteStructures
(二)中性轴位置将式(4-3)、(4-4)分别代入式(4-5)、(4-6)得:再将式(4-7)、(4-8)代入式(4-1)得:(4-7)(4-8)即:(4-9)由式(4-9)即可求得x的值,也即确定了中性轴的位置。30Oct,20065AdvancedConcreteStructures
特别地,对于矩形截面,b为常数,则由式(4-9)可得:即:(4-10)(4-10a)式中:(纵向配筋率)30Oct,20066AdvancedConcreteStructures
式(4-10a)说明:①在第Ⅰ阶段,中性轴位置与M无关,且为常数。②值略大于而接近于0.5,中性轴偏于受拉区,若为纯砼截面,则
(三)换算截面(4-12)(4-13)其中:x按(4-10)式确定。30Oct,20067AdvancedConcreteStructures
(四)弯矩曲率关系(即内力与变形的关系)将式(4-7)、式(4-8)代入(4-2)式得:(4-14)曲率的单位是:或者,且,为曲率半径。30Oct,20068AdvancedConcreteStructures
(五)抗弯刚度定义式:
将(4-14)式代入上式得:B的单位为:或(4-15)30Oct,20069AdvancedConcreteStructures
(六)弯矩与应力的关系
将式(4-14)变形得φ的表达式,再代入(4-7)式得:(4-16)由物理条件,变形条件及(4-14)式得:(4-17)30Oct,200610AdvancedConcreteStructures
4.1.2第Ⅰ阶段末(即将开裂)
在第Ⅰ阶段末,截面即将开裂,也就是说,受拉边缘的砼拉应力达到其抗拉强度,裂缝即将出现,此时的弯矩称为RC开裂弯矩,记为,可由式(4-16)确定:则(4-18)其中:由(4-10)式确定。30Oct,200611AdvancedConcreteStructures
4.1.3第Ⅱ阶段(开裂后)计算图式与第Ⅰ阶段相比有所变化:(受拉区砼退出工作)30Oct,200612AdvancedConcreteStructures
(一)基本方程1、平衡条件(4-19)(4-20)2、变形条件(4-3)(4-4)3、物理条件(4-5)(4-6)30Oct,200613AdvancedConcreteStructures
(二)中性轴的位置将变形条件,物理条件代入式(4-19)得:(4-21)由式(4-21)即可求得中性轴的位置x。可知:x仍为常数,与M无关。由式(4-22)求得的x远小于式(4-10a)求得的x,说明受拉区砼开裂时,中性轴突然上升,往受压区移动,使得x减。馐且桓龇浅V匾奈锢硐窒。对于矩形截面,b为常数,则由式(4-21)可得:(4-22)30Oct,200614AdvancedConcreteStructures
(三)换算截面(4-23)(4-24)对于矩形截面,b为常数,则(4-24a)
其中,x按(4-22)确定。(四)
与前式(4-14)、(4-15)、(4-16)、(4-17)相同,只不过式中I0应按式(4-24)计算。30Oct,200615AdvancedConcreteStructures
4.1.4第Ⅱ阶段末(纵筋屈服)(4-25)其中:按式(4-21)计算。30Oct,200616AdvancedConcreteStructures
§4.2受弯截面弹塑性分析平衡条件,变形条件与弹性分析时相同,物理关系不用虎克定律的线弹性模型,而采用与实验结果较为吻合的本构关系,即砼本构关系(拉、压)采用非线性模式(二次抛物线)。30Oct,200617AdvancedConcreteStructures
4.2.1第Ⅰ阶段(开裂前)计算图式:30Oct,200618AdvancedConcreteStructures
(一)基本方程1.平衡条件(4-1)(4-2)2、变形条件(4-3)(4-4)30Oct,200619AdvancedConcreteStructures
3.物理条件
a.砼受压—二次抛物线(4-26)30Oct,200620AdvancedConcreteStructures
b.砼受拉—二次抛物线
(4-27)30Oct,200621AdvancedConcreteStructures
c.钢筋受拉(压)(理想弹塑性)30Oct,200622AdvancedConcreteStructures
(二)中性轴位置将变形(相容)条件代入物理条件得:压区砼:
拉区砼:拉区钢筋:(4-28)(4-29)(4-30)30Oct,200623AdvancedConcreteStructures
再将式(4-28、4-29、4-30)代入式(4-1)得:(4-31)上式为x的一元三次方程,已知材料性能几何尺寸b、h、h0、As,曲率
,则可求解受压区高度。30Oct,200624AdvancedConcreteStructures
(三)
关系将变形条件代入物理条件,再代入式(4-2)得:(4-32)式中:由式(4-31)确定。由式(4-32)可知:为非线性关系。30Oct,200625AdvancedConcreteStructures
(四)抗弯刚度由,将式(4-32)代入该式得(4-33)B不再是常数,与及有关,且为的非线性式。30Oct,200626AdvancedConcreteStructures
(五)钢筋和砼的应力按(4-28~30)进行计算。压区砼:
拉区砼:拉区钢筋:(4-28)(4-29)(4-30)30Oct,200627AdvancedConcreteStructures
4.2.2第Ⅰ阶段末(即将开裂)计算图式:30Oct,200628AdvancedConcreteStructures
1.曲率:(4-34)2.中性轴位置将式(4-31)类比变形,用代替式(4-31)中的,代替式(4-31)中的得:(4-35)由式(4-35)可解得到。(迭代解x的三次方程)30Oct,200629AdvancedConcreteStructures
可由式(4-32)变形改写得到,用代替,代替得:
3.(4-36)4.抗弯刚度B(4-37)30Oct,200630AdvancedConcreteStructures
4.2.3第Ⅱ阶段(开裂后)
(不计中性轴以下受拉砼的作用)30Oct,200631AdvancedConcreteStructures
(一)基本方程1.平衡条件(4-38)(4-39)2、变形条件(4-3)(4-4)30Oct,200632AdvancedConcreteStructures
3、物理条件
a.受压区砼:
b.受拉钢筋:30Oct,200633AdvancedConcreteStructures
(二)中性轴的位置(三)关系(4-40)(4-41)30Oct,200634AdvancedConcreteStructures
4.2.4第Ⅱ阶段末(纵筋屈服)计算图式:30Oct,200635AdvancedConcreteStructures
1.曲率:2、中性轴位置将式(4-31)中用代替得:(4-43)(4-42)30Oct,200636AdvancedConcreteStructures
3、弯矩(纵筋屈服弯矩)
4、抗弯刚度
(4-44)(4-45)30Oct,200637AdvancedConcreteStructures
4.2.5第Ⅲ阶段(纵筋屈服后)计算图式:30Oct,200638AdvancedConcreteStructures
(一)基本方程1.平衡条件(4-38)(4-39)2、变形条件(4-3)纵筋屈服,只有砼:30Oct,200639AdvancedConcreteStructures
3、物理条件(砼受压)
a.受压区砼:
b.受拉钢筋:(4-46)(4-47)30Oct,200640AdvancedConcreteStructures
(二)中性轴位置(4-48)求解x的一个一元三次方程。(三)关系(4-49)30Oct,200641AdvancedConcreteStructures
4.2.5第Ⅲ阶段末(砼压坏)计算图式:30Oct,200642AdvancedConcreteStructures
1.曲率:2.中性轴位置(4-50)(4-51)30Oct,200643AdvancedConcreteStructures
3.截面破坏时所承受的弯矩(4-52)将式(4-51)代入(4-52),并整理得:(4-52a)30Oct,200644AdvancedConcreteStructures
3.截面破坏时所承受的弯矩如。=0.002,=0.0033,代入(4-51)、(4-52)得(4-51b)(4-52b)4.刚度(4-53)30Oct,200645AdvancedConcreteStructures
§4.3受弯截面的延性概念:截面的延性是指从纵筋屈服直到砼压坏,截面的变形能力。定义式:即受弯截面的延性等于第Ⅲ阶段末与第Ⅱ阶段末的曲率的比值,为一无量纲的数。讨论:延性大就是塑性大,延性小表示脆性大,延性在超静定结构的内力重分布及结构的抗震设计中有重要的意义。(抗震的延性设计倒塌分析)30Oct,200646AdvancedConcreteStructures
§4.4受弯截面的塑性分析计算图式:30Oct,200647AdvancedConcreteStructures
1.物理条件受拉区钢筋:受压区砼:4.4.1基本公式2.平衡条件(4-54)(4-55)30Oct,200648AdvancedConcreteStructures
将式(4-56)代入式(4-55)得3.中性轴位置由式(4-54)得或:(4-56)(4-56a)(4-57)30Oct,200649AdvancedConcreteStructures
(4-10)(4-13)(4-18)§4.5塑性系数法(针对即将开裂截面)该法为另一种即将开裂时的简化计算方法。方法原理:对受弯截面作弹性分析,然后乘以塑性系数rm,即得开裂弯矩Mcr。公式:按弹性分析得:式中xcr和I0分别按式(4-10)、(4-13)计算,则有:30Oct,200650AdvancedConcreteStructures
由于式(4-18)没有考虑截面受拉区的塑性,故按式(4-18)计算的Mcr值偏。导实腗cr应乘以塑性系数rm,且式中:按式(4-10)计算。(4-58)则对于矩形截面:一般可取rm
=1.7530Oct,200651AdvancedConcreteStructures
精确值:评述:可见塑性系数法具有一定的精度,且简便实用。求:考虑塑性系数的Mcr。例:已知:其余同例3.2。,误差:7.2%30Oct,200652AdvancedConcreteStructures
1.将例3.2中的砼本构模型改为清华模式,对该轴心受压进行弹塑性分析,并与例3.2的结果(N-ε、N-σ、N-B)进行对比分析。已知条件:A=300×300mm,E=2.2×104MPa,As=1964mm2(4Φ25),Es=2×105MPa,εy=0.00182,σy=364MPa,σ0=22MPa。2.已知某钢筋混凝土受弯构件,截面尺寸如右图。已知:As=942mm2,Es=2×105MPa,σot=2.2MPa,σy=364MPa。①假设砼与钢筋两种材料均为弹性体,试求第Ⅰ、Ⅱ阶段的M-φ、M-σ(σs)
、M-B的关系。
②如果已知材料的本构关系,按4.3.1的模型选用。其中:σ0=22MPa,εo=0.002,εu=0.0033,σot=2.2MPa,εot=0.00015,εut=0.0002,σy=364MPa,εy=0.00182。试按弹塑性分析方法,求截面即将开裂、纵筋屈服和砼被压坏时的弯矩和应力分布,以及截面的M-φ、M-σ(σs)
、M-B的关系。③将①、②的计算结果对比分析。3.任选一个专题(如构件的扭转、剪切、弯矩组合、裂缝分析等)进行弹塑性全过程分析,并提交读书kok电子竞技。
作业:30Oct,200653AdvancedConcreteStructures
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