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飞行器结构力学基础

——电子教学教案西北工业大学航空学院航空结构工程系第三章静定结构的内力与变形计算Chapter3InternalForcesandDeformationsofStaticallyDeterminateStructures第一讲静定结构的概念静定桁架的内力计算3-1

静定结构的概念所谓静定结构是指没有多余约束的几何不变体。从静定结构的运动学上:结构的自由度数N=结构的约束数C能提供的静力平衡方程数目未知力(元件力和支反力)总数=从静定结构的静力学上:3-1

静定结构的概念

由线性代数的知识可知:当方程的数目等于未知量的数目时,未知量可以由这组方程全部求出,且解是惟一的。因此,对静定结构:在已知外力作用下,系统中的全部未知力由静力平衡方程惟一确定。换句话讲,满足静力平衡方程的解,就是静定结构的真实受力状态。3-2

静定桁架的内力计算

一、计算模型(calculationmodel)组成桁架的元件均为直杆;各杆均用无摩擦的理想铰连接,杆的轴线通过铰心,称铰心为桁架的结点;外力仅作用在结点上。桁架:truss,pin-jointedframework由于铰只能传递线力,不能传递力矩,因而外力只能作用在杆两端结点上;不计杆的自重,各杆只受到两端结点上的作用力,且在此二力作用下处于平衡。这种在杆两端受到大小相等、方向相反、沿杆轴线的力作用的杆,力学上称为“二力杆”。桁架的内力就是指各杆的轴力。杆轴线桁架的分类:1、根据维数分类1.1平面(二维)桁架(planetruss)

——所有组成桁架的杆件都在同一平面内,仅承受平面内的载荷。1.2空间(三维)桁架(spacetruss)——组成桁架的杆件不都在同一平面内。2、按外型分类

平行弦桁架

三角形桁架

抛物线桁架

梯形桁架简单桁架simpletruss复合桁架combinedtruss复杂桁架Complicatedtruss3、按几何组成分类

梁式桁架4、按受力特点分类:

拱式桁架竖向荷载下将产生水平反力

某桁架实例主桁架上弦杆下弦杆竖杆斜杆跨度桁高

弦杆腹杆结间d主桁架经简化后,得到图示的工程结构:二、静定桁架组成规则1、平面桁架的组成规则(1)逐次连接结点法(二元体规则)从某一基础或几何不变体开始,每增加一个平面结点,用两根不共线的杆将该结点连接在基础上,依次增加结点和杆子,将组成静定平面桁架。多余简单桁架几何瞬变二、静定桁架组成规则1、平面桁架的组成规则(2)复合桁架法(二刚片规则、三刚片规则)将几个简单桁架用最小必需的约束(3个)连接起来,使各部分之间不会发生相对移动或瞬时可动,得到一个复合桁架。二刚片规则三刚片规则静定桁架二、静定桁架组成规则1、空间桁架的组成规则(1)逐次连接结点法从某一基础或几何不变体开始,每增加一个空间结点,用三根不全共面的杆将该结点连接在基础上,依次增加结点和杆子,将组成静定空间桁架。简单桁架二、静定桁架组成规则1、空间桁架的组成规则(2)复合桁架法将几个简单桁架用最小必需的约束(6个)连接起来,使各部分之间不会发生相对移动或瞬时可动,得到一个复杂桁架。静定桁架用6根不全共轴(含无穷远处即平行)的杆将一个空间几何不变体固定于基础上。三、静定桁架的内力计算桁架的内力分解未知杆轴力假设以拉为正支反力的方向可任意假设三、静定桁架的内力计算1、结点法(nodalanalysismethod)

以一个结点的隔离体为研究对象,用共点力系的平衡方程求解各杆轴力的方法。平面共点力系选结点时,作用在结点上的未知力不能超过2个。空间共点力系选结点时,作用在结点上的未知力不能超过3个。例1

求图示静定桁架的内力解:1、作几何特性分析

该桁架为无多余约束的几何不变体,故为静定的。2、内力求解

从未知力不超过2个的结点开始,利用结点法依次求出杆轴力。13、求支座反力4、绘制力图5、:诵:四诹ψ刺欠衤阏迤胶,以检查内力是否正确。也可以以表格的形式给出内力结果。杆轴力1-21-42-32-42-54-5例2求图示静定桁架的内力解:1、作几何特性分析

该桁架为无多余约束的几何不变体,故为静定的。2、内力求解

由结点5、4、3、2、1,利用结点法依次求出各杆轴力和支座反力。例2求图示静定桁架的内力3、绘制内力图4、:000注意到,在外力作用下,桁架中并不是全部的杆件都参予承力,常常存在一些轴力为零的杆件,轴力为零的杆件叫做“零力杆”。“零力杆”在桁架中不承力,仅保持桁架的几何形状。零力杆的判断

在计算桁架内力之前,如能事先找出零力杆,可以简化计算,减少计算工作量。N2=0N1=01、不共线的两杆,交于无载荷作用的结点,则此二杆均为零力杆。N=0零力杆的判断N=02、一杆与共线的两杆交于无载荷作用的结点,则此杆为零力杆。推论:不共线的两杆交于一点,且外载荷沿其中一杆轴线作用,则另一根杆为零力杆。单杆P例题:试判断图示桁架中的零力杆试判断图示桁架中的零力杆桁架的传力路径

在传递外载荷过程中,承受力的杆件组成的路径称之为该外载荷的传力路径,也称为传力路线。

传力路线是结构设计和分析中十分重要的概念,设计一个结构,归根结蒂就是要为给定的载荷设计一条传力路线。传力路线愈短、愈直接,结构效率就愈高。比较下图(a)与图(b),两图中的结构的元件数量相同,但后一种传力路线此前一种长,显然没有前一种合理,结构设计中应该力求避免。

试绘出图示桁架的传力路径例题此例说明静定结构的一个性质结论:当平衡力系作用在静定结构的某一几何不变部分上时,只有该几何不变部分受力,其余部分不受力。0001、判断零力杆2、求支反力2.求桁架内力的截面法

截取桁架的某一局部作为隔离体,由平面任意力系的平衡方程即可求得未知的轴力。对于平面桁架,由于平面任意力系的独立平衡方程数为3,因此所截断的未知力的杆件数一般不宜超过3根。例题:试用截面法求图示桁架4-5、4-11、10-11

三杆的内力。解:1、作几何特性分析

该桁架为无多余约束的几何不变体,故为静定的。例题:试用截面法求图示桁架4-5、4-11、10-11

三杆的内力。2、求支座反力R7=70KNR1=200KN例题:试用截面法求图示桁架4-5、4-11、10-11

三杆的内力。3、用A-A截面将4-5、4-11、10-11三杆切断,并取右边部分作为隔离体。R7=70KNR1=200KNAA例题:试用截面法求图示桁架4-5、4-11、10-11

三杆的内力。由ΣM11=0,N4,5×6=R7×8,N4,5=93.33KN由ΣM4=0,N10,11×6+R7×12,N10,11=-140KN由竖向平衡方程,N4,11=84.1295KN通过合理地选取截面及合理地选取力矩中心,可方便地求出桁架中指定杆件的内力。例题:试用截面法求图示桁架C杆的内力ΣMB=0:Nc×a=F×aNc=-F3.混合法求解桁架内力用结点法求解桁架内力时,要求从未知力不能超过2个的结点处开始。但对某些桁架,有时每个结点上的未知力都可能超过2个,这时,单独用结点法求解比较困难。需要同时应用结点法和截面法才能确定杆件内力,这种方法称为混合法(combinedmethod)。思路:先针对特定的2个未知内力,通过截面法建立其平衡方程,求解出这2个内力,然后可采用结点法求解出其余的内力。解:1、作几何特性分析

三个刚片Δ123、Δ345和杆6-7用三个不共线的铰相连,组成无多余约束的几何不变体,外部用一个铰和一根不通过该铰的杆连接于基。矢描旒芪捕ǖ。例题求图示静定桁架的内力例题求图示静定桁架的内力2、计算内力

注意到每一个结点上的未知内力均超过2个,因此用结点法无法依次求解。采用混合法求解。①求支座反力,如图示。PP例题求图示静定桁架的内力PP②取Δ123为隔离体,建立关于N26和N17的方程。由ΣM3=0,(A)例题求图示静定桁架的内力PP③再取杆6-7为隔离体,建立关于N26和N17的另一个方程。(B)例题求图示静定桁架的内力PP④联立求解(A)和(B),求出N26和N17。⑤再用结点法求出其余各杆的轴力。飞行器结构力学基础

——电子教学教案西北工业大学航空学院航空结构工程系第三章静定结构的内力与变形计算InternalForcesandDeformationsofStaticallyDeterminateStructures第二讲静定刚架和混合结构的内力计算3-3

静定刚架的内力计算

一、计算模型组成元件可以是直杆,也可以是曲杆;元件之间用刚性接头或铰连接;外力可以以任意形式作用在刚架的任意部位(任意位置、任意方向;集中力、分布力、力矩、扭矩)。刚架:frame所谓刚性接头是指:被连接的元件之间在刚性接头处不发生相对位移,即元件之间的夹角不变。被连接的元件在刚接点处,即不能发生相对移动,也不能绕刚接点发生相对转动。因此,刚接即可以传递力,也可以传递力矩。刚性接头的力学特征:保持角度不变刚性接头是无多余约束的装置。有一个自由度,不能承弯。

平面刚性接头:相当于起3个约束;空间刚性接头:相当于起6个约束。无多余约束,可以承弯。刚性接头刚架的分类:按照维数,分为平面刚架和空间刚架。1.平面(二维)刚架(planeframe)

——组成刚架的所有元件及其外载荷均在同一平面内。2.空间(三维)刚架(spaceframe)

——组成刚架的元件或载荷不都在同一平面内。载荷与结构元件不在一个平面内。载荷、结构元件均不在一个平面内。刚架的内力平面梁:在梁的任意一个横截面上,均承受3个内力:轴力、剪力、弯矩。xyz空间梁zy平面梁x空间梁:在梁的任意一个横截面上,均承受6个内力:1个轴力、2个剪力、2个弯矩、1个扭矩。二、静定刚架组成规则1、平面刚架的组成规则(1)逐次连接杆子法:简单刚架

从某一基础或几何不变体开始,每增加一个平面杆件,用一个刚性接头将该杆件连接在基础上,这样依次用刚性接头连接杆子,将组成静定的简单刚架。二、静定刚架组成规则1、平面刚架的组成规则(2)逐次连接刚架法:复合刚架

将2个或更多简单刚架用最小必需的约束(3个)连接起来,使各部分之间不会发生相对移动或瞬时可动,得到一个复合刚架。二刚片规则三刚片规则静定刚架二、静定刚架组成规则1、平面刚架的组成规则(2)逐次连接刚架法:复合刚架几何不变系统几何瞬变系统二、静定刚架组成规则1、平面刚架的组成规则(3)封闭刚架将A处切断

逐次连接杆子法时,如果形成了封闭刚架,则在封闭处就引入了多余约束,组成了具有多余约束的静不定刚架。可知:平面刚架每封闭一次,增加3个多余约束。如何确定这3个未知力?仅静力平衡方程够吗?二、静定刚架组成规则分析图示平面刚架的几何组成特性f=3f=633333f=93二、静定刚架组成规则分析图示平面刚架的几何组成特性3333f=12f=9Why?比较这两个结构的区别三、静定刚架的内力计算刚架内力符号规定轴力N以元件段受拉为正,受压为负。剪力Q以元件段顺时针转动为正,逆时针转动受压为负。弯矩M没有正负号规定,在弯矩图上将弯矩画在受压一侧。刚架的内力计算,就是求出刚架中任意剖面上的内力,并以内力图的形式表达出来。刚架的内力计算,通常采用截面法。例1求图示刚架的内力,并绘制内力图。已知

P1=P2=500kg。解:1、作几何特性分析逐次连接杆子法,组成无内部多余约束的简单刚架,再用3个外部约束将其固定在基础上,符合两刚片规则,该刚架为无多余约束的几何不变体,故为静定的。2、求内力(1)先求支反力H1

解出:例1求图示刚架的内力2、求内力(2)求截面内力对1-2段:任取一剖面I-I,截取分离体:建立静力平衡方程:例1求图示刚架的内力2、求内力(2)求截面内力对4-3段:任取一剖面II-II,截取分离体:建立静力平衡方程:例1求图示刚架的内力2、求内力(2)求截面内力对2-3段:以5点为分界点,分左右两段来计算。在左段上任取一截面III-III,截取分离体:建立静力平衡方程:例1求图示刚架的内力2、求内力(2)求截面内力再在右段上任取一截面IV-IV,截取分离体:建立静力平衡方程:例1求图示刚架的内力3、绘制内力图绘制内力图时,应注意以下几点:1、图形要按一定比例尺寸绘制;2、在力图的各个折点、结构的拐点、极值点、突变点处,应注明内力值;3、标明力图的单位(如果有单位的话)。弯矩图上的折点说明了什么?剪力图上的突变点说明了什么?轴力图上的突变点说明了什么?在只有两杆汇交且无外力偶作用的刚结点处,两杆杆端弯矩必大小相等,且同侧受压。例2绘制图示刚架的内力图。

(说明:题中如无特别指明,仅绘制弯矩图。)解:1、作几何特性分析

1-2-5、5-3-4为两个简单刚架,并和基础一起形成三个平面刚片,利用三刚片规则可知,该刚架为无多余约束的几何不变体,故为静定的。例2绘制图示刚架的内力图。

(说明:题中如无特别指明,仅绘制弯矩图。)2、求支座反力解出:如何求出H1和H4?取一半结构(例如左半部分)分析,由于5点是一个链铰,不传递弯矩,故利用5点的力矩平衡方程,可得:例2绘制图示刚架的内力图。

(说明:题中如无特别指明,仅绘制弯矩图。)3、求弯矩yx例2绘制图示刚架的内力图。

(说明:题中如无特别指明,仅绘制弯矩图。)4、绘制弯矩图例3绘制图示开口园框的弯矩、剪力和轴力图。解:1、作几何特性分析开口园框为静定的,受自平衡载荷作用。结构及外力左右对称,故可取一半结构来分析。2、求内力例3绘制图示开口园框的弯矩、剪力和轴力图。3、绘制内力图四、静定混合杆系的内力计算混合杆系是由桁架和刚架共同组成,其内力计算方法与前面介绍的桁架和刚架的内力计算方法完全一样。属于桁架的部分,其元件内力只有轴力,而属于刚架的部分,其元件内力包括轴力、剪力、弯矩等。例4图示为飞机单柱式起落架简化得到的计算模型,试求内力并作内力图。图中单位为mm。解:1、作几何特性分析支柱1-2-3用一个铰和一根不通过这个铰的杆连接于基。没旌辖峁刮捕ǖ。此例中,显然,元件1-2-3为梁,承受轴力、剪力和弯矩,而元件2-4为链杆,只承受轴力。2、求内力例4计算飞机单柱式起落架内力并作内力图。利用元件1-2-3的平衡条件:例4计算飞机单柱式起落架内力并作内力图。求支柱内力:对于1-2段上任意剖面:例4计算飞机单柱式起落架内力并作内力图。求支柱内力:对于2-3段上任意剖面:例4计算飞机单柱式起落架内力并作内力图。3、绘制内力图其余力图略。解:1、作几何特性分析开口园框为静定的,受自平衡载荷作用。结构及外力左右对称,故可取一半结构来分析。例5绘制某机身开口园框弯矩图。已知外力2P,蒙皮给框的支反力为。2、求截面弯矩由于外力是分布的,需要采用积分的方法,求。对于任意角度为

剖面,截取分离体,图示。2、求截面弯矩任意角度为的截面弯矩为:3、绘制弯矩图为了确定M的极值点的位置,可利用导数:五、静定结构的主要特性基本特性:满足全部平衡条件的解,必是静定结构内力的唯一解。五、静定结构的主要特性由基本特性可以派生出以下几个特性:(1)静定结构无初内力:支座微小位移、温度改变、元件的制造误差不产生反力和内力。(3)在结构某几何不变部分上载荷做等效变换时,载荷变化部分之外的反力和内力不变。(4)结构某几何不变部分,在保持与结构其他部分连接方式不变的前提下,用另一方式组成的不变体代替,其它部分的受力情况不变。(2)当平衡力系作用在静定结构的某一几何不变部分上时,只有该几何不变部分受力,其它部分不受力。五、静定结构的主要特性由基本特性可以派生出以下几个特性:(5)任意力系作用在固定的静定结构上时,组成力系的各分力只由能够提供支反力的各几何不变部分来承担,其它部分的内力均为零。飞行器结构力学基础

——电子教学教案西北工业大学航空学院航空结构工程系第三章静定结构的内力与变形计算InternalForcesandDeformationsofStaticallyDeterminateStructures第三讲静定结构的位移计算一、结构位移计算概述

结构在外界因素(诸如载荷、温度改变、支座移动、制造误差等)作用下几何形状发生的变化,称为结构变形。1、结构的变形

结构变形可通过不同的结构位移形式来表征,并通过计算位移值来定量描述。2、结构位移的形式线位移,角位移,相对线位移,相对角位移等统称为结构位移线位移:参考点沿某一方向上的变形量。角位移:参考截面或元件的转动变形量,转角、扭转角等。相对线位移:两个参考点沿某一方向上的相对变形量。相对角位移:两个参考面或元件间的相对转动变形量。

计算结构的位移是结构设计中的一项非常重要的内容,一方面为研究结构的刚度提供数据,另一方面为静不定结构的内力计算奠定基础。实质:分析结构几何关系的变化。3、计算结构位移的目的二、回顾:外力功和变形能2.1应变能和余应变能对于图(a)的杆件为完全弹性体,其横截面积为A,长度为L。在载荷P作用下杆件的轴向力N由零逐渐增加到最终值P,杆件的变形也由零逐渐增加到Δ。力与变形之间的关系按图(b)曲线变化。这时外力所作的功W等于

按照能量守恒原理,外载荷所作的功就以能量的形式贮存于杆件中。弹性体变形后具有的作功能力,称为变形能或应变能,用U表示应变能。

二、回顾:外力功和变形能2.1应变能和余应变能对于完全弹性体,显然应变能就等于外力所作的功,即图示杆件的应变能为式中称为应变能密度(单位体积的应变能)。图(b)中曲线下面的那部分面积就代表了外力所作的功W或应变能U的大小。二、回顾:外力功和变形能2.1应变能和余应变能图(b)曲线上面的那部分面积所代表的功量记为W*或U*,并称W*为外力余功,称U*为余应变能。对完全弹性体来说,

图示杆件的外力余功W*和余应变能U*为式中称为余应变能密度(单位体积的余应变能)。二、回顾:外力功和变形能2.1应变能和余应变能外力余功W*或余应变能U*并无任何物理意义,纯粹是为了使用上的方便而定义的一个数学量而已。但可以证明,余应变能同样服从工程结构中的能量守恒原理,因而,通过它所建立的一种能量方法同样可用于实际结构分析。在线弹性情况下,载荷-位移曲线退化为直线,应变能U与余应变能U*相等,从而应变能和余应变能可以互换。二、回顾:外力功和变形能2.1应变能和余应变能将应变能U

和余应变能U*

分别对Δ

和P微分,可得到分别表示应变能对位移的一阶导数等于外力,而余应变能对外力的一阶导数等于位移,可适用于线弹性或非线弹性情况。

在线弹性情况下,著名的卡氏第二定理,只适用于线弹性情况。二、回顾:外力功和变形能2.2线弹性结构元件的应变能和余应变能的表达式等轴力杆等弯矩梁等扭转杆三、广义力与广义位移

在结构力学中,经常用到各种不同类型的力和与这些力相对应的位移。如图所示的三种线弹性元件上,分别作用有集中力、弯矩、扭矩,对应于这些力的位移分别为线位移、弯曲转角和扭转角。外力所作的功分别为:拉伸弯曲扭转三、广义力与广义位移

上述三种作用力及对应的三种变形均不相同,但它们有共同点,就是都能使物体发生变形,从而对物体作了功,所作之实功均等于系数“1/2”乘“力”乘“位移”。若把这三种不同型式的“力”均称为广义力,与此广义力相对应的位移称为广义位移的话,则广义力所作的功可表达为(广义力)(广义位移)

广义力与广义位移的定义:一般而论,任何一个力或一组相互有关且又彼此独立的力系,如果可以用一个代数量来表示它,则称它为一个广义力,与此广义力相对应的位移称为广义位移。广义力与相应的广义位移乘积的一半等于该广义力所作的功。三、广义力与广义位移如果杆件同时承受有集中力、弯矩、扭矩作用,则广义外力与广义位移分别为于是,广义力所作的功等于一般地:(非线性)(线性)三、广义力与广义位移一些典型结构元件的广义力和广义位移:等轴力杆:等弯曲杆:等扭转杆:等剪力杆:四、弹性体的虚功原理1、概述弹性体在外力作用下处于平衡,存在两个力学状态平衡的力状态协调的位移状态特别注意:这两个状态属同一个体系,是同一个力学问题的两种表现形式,相互关联,不可分割。平衡关系、协调关系、物理关系力学问题的3个基本关系(广义力)(广义位移)

实功:研究弹性体力学问题的两种能量方法当协调的位移状态发生微小变化时,结构系统的能量有什么变化?当平衡的力状态发生微小变化时,结构系统的能量有什么变化?虚位移原理虚力原理统称为:虚功原理重要定义1虚位移——一种假想的、满足位移约束条件的、任意的、微小的连续位移。假象的:是指虚位移仅仅是想象中发生但实际并不一定发生的一种可能位移。满足位移约束的:是指虚位移应当满足变形体的变形协调条件和位移边界条件。任意的:是指虚位移与变形体是否受力无关。微小的:是指虚位移并不影响变形体的几何关系,即不影响力的平衡关系。因此,在发生虚位移的过程中,外力与内力均保持不变,即保持原有的平衡状态。虚位移的例子位移边界条件为:w为梁的真实挠度曲线。几种虚位移的形式:变形体的真实位移是否可作为虚位移呢?完全可以重要定义2虚功——实力在虚位移上所作的功,或广义力在与其无关的虚广义位移上所作的功。因为,在发生虚位移的过程中,外力和内力保持不变,因此,在虚功的表达式中无系数“1/2”。为了与实功W区别,记虚功为δW,虚位移δΔ,则虚功为虚功的例子真实外力虚位移虚功为:重要定义3虚力——一种假想的、满足平衡条件的任意力系。假象的:是指虚力仅仅是想象中一种可能力系。满足平衡条件的:是指虚力应当满足力的平衡方程(内部)和力的边界条件(外部)。任意的:是指虚力与变形体的变形无关。因此,在发生虚力的过程中,变形体的位移均保持不变,即保持原有的协调状态。虚力的例子真实受力和变形状态:虚力状态1:虽然力状态是平衡的,但力状态与实际变形无关系。不是真实的受力状态,而仅是满足平衡条件的力状态。虚力的例子真实受力和变形状态:虚力状态2:虚力状态3:变形体的真实受力状态是否可作为虚力呢?完全可以重要定义4余虚功——虚力在真实位移上所作的功,或虚广义力在与其无关的广义位移上所作的功。因为,在发生虚力的过程中,位移保持不变,在余虚功的表达式中也无系数“1/2”。为了与余功W*区别,记余虚功为δW*,虚力δP,则余虚功为余虚功的例子余虚功为:真实位移虚力2、虚功原理2.1质点的虚位移原理一质点在诸力作用下处于平衡的充分必要条件是:所有力在质点虚位移上所作的虚功总和为零。必要条件充分条件平衡方程:虚功方程:2、虚功原理2.2质点系的虚位移原理一质点系在诸力作用下处于平衡的充分必要条件是:对于任意的虚位移,作用于质点系的主动力所做虚功之和为零。必要条件充分条件平衡方程:虚功方程:2、虚功原理2.2刚体(或刚体系)的虚位移原理一刚体(系)处于平衡的充分必要条件是

:对于任何可能的虚位移(刚体虚位移),作用于刚体(系)的所有外力所做虚功之和为零。对于一刚体(系),去掉约束而代之以相应的反力,该反力便可看成外力。-FPΔP+FB

ΔB=0假设一种刚体虚位移,则有相当于∑MA=02、虚功原理2.4弹性系统的虚位移原理平衡的力状态协调的虚位移状态弹性系统在外力作用下处于平衡状态,对任意的虚位移,系统中所有外力在虚位移上所作的虚功总和等于所有内力在虚位移上所作的虚功总和。外力虚功内力虚功符号标记:Si、Vi

分别表示在真实外力作用下,弹性体内部第i个元件的内力和位移;δSi

表示第i个元件的虚内力;δVi

表示第i个元件的虚位移。2、虚功原理协调的位移状态平衡的虚力状态弹性系统在外力作用下处于变形协调状态,对任意的虚力状态,系统中所有虚外力在位移上所作的余虚功总和等于所有虚内力在位移上所作的虚余功总和。2.4弹性系统的虚力原理外力余虚功内力余虚功待分析平衡的力状态3、弹性系统虚功原理的应用

关于虚位移原理【例1】建立图示桁架1点的平衡方程。解:(1)设三根杆的内力分别为N1、N2、N3,在1点处与外载荷应满足平衡条件。N1N2N3(2)假设1处的水平位移为δu,垂直位移为δv。根据桁架的几何参数,可以得出各杆与结点1的位移相协调的变形,如表所示。

杆号杆长伸长量1-2杆:1-3杆:1-4杆:协调的虚位移状态【例1】建立图示桁架1点的平衡方程。解:(3)外力虚功、内力虚功分别为N1N2N3(4)根据虚位移原理,,有由于虚位移δu、δv为任意值,有1点的X向平衡方程1点的Y向平衡方程出导3、弹性系统虚功原理的应用待分析的平衡系统的力状态虚设的协调位移状态

关于虚位移原理实际受力状态的平衡方程实质:用几何法解静力平衡问题。待分析协调的位移状态

关于虚力原理【例2】图示桁架在外力作用下处于变形协调状态。已知杆子12、13、14的伸长量分别为ΔL12、ΔL13、ΔL14,求1点的水平位移u和垂直位移v。解:(1)内位移ΔL12、ΔL13

和ΔL14,与1点的水平位移u和垂直位移v应满足协调条件。(2)假设1点处的水平力为δPx,垂直力为δPy。根据虚力的定义,可以求与虚外力平衡的一种内力状态,如图所示。

满足平衡条件的虚力状态0【例2】解:(3)外力余虚功、内力余虚功分别为(4)根据虚位移原理,,有由于虚力δPx、δPy为任意值,有1点的X向几何方程1点的Y向几何方程出导3、弹性系统虚功原理的应用待分析的协调系统的位移状态虚设的平衡力状态

关于虚力原理实际变形状态的几何(协调)方程实质:用静力平衡法解几何问题。虚力原理对求解静不定结构内力具有重要的应用。五、单位载荷法-求位移的Mohr公式1、单位载荷法的一般表达式利用虚功原理(虚力原理),可以求出变形结构中任意一点由于变形而产生的位移。真实的位移状态平衡的虚力状态令

,则有虚功原理五、单位载荷法-求位移的Mohr公式1、单位载荷法的一般表达式式中:即为所求m点处的结构位移值;

表示外力作用下结构元件i的真实位移;

表示单位广义力作用下的结构内力。这就是单位载荷法(Dummy-UnitLoadMethod),它是Maxwell(1864)和Mohr(1874)提出的,故也称为Maxwell-MohrMethod。上式可写成:五、单位载荷法-求位移的Mohr公式1、单位载荷法的一般表达式如何求?

:外力作用下第i个结构元件的广义力;

:第i个结构元件的刚度系数桁架:刚架:等五、单位载荷法-求位移的Mohr公式1、单位载荷法的一般表达式根据不同类型元件的广义力与广义位移,可得到不同类型结构的位移计算公式。

平面或空间桁架

平面刚架截面形状系数。如:(1)对矩形截面k=6/5;(2)对圆形截面k=10/9。轴力弯矩剪力五、单位载荷法-求位移的Mohr公式2、用单位载荷法求结构位移的一般步骤求在外载荷作用下的结构真实内力;施加与所求位移相对应的单位广义力,并求在单位广义力作用下的结构内力;代入单位载荷法的一般表达式中,求广义位移;若,表示所求位移的方向与单位力方向相同;,表示所求位移的方向与单位力方向相反。着重指出:单位力的位置、类型和方位必须与所求位移相对应。施加单位广义力的原则:单位广义力×位移=所求位移值如何施加与所求位移对应的单位广义力求5点的竖向位移1求1点和6点的水平相对位移11如何施加与所求位移对应的单位广义力求1-5杆的转角求1点和6点在1、6连线上的相对位移11如何施加与所求位移对应的单位广义力求1-5杆、3-6杆的相对转角如何施加与所求位移对应的单位广义力求A点的竖向位移1求A截面的转角1如何施加与所求位移对应的单位广义力求A、B两点的竖向相对位移1求A、B两截面的相对转角111例1:求桁架4点的竖向位移Δ4V,设各杆EA均相同。解:1、几何特性分析该桁架为无多余约束的几何不变体,故为静定的。3、为求4点的竖向位移,在4点竖向方向上施加单位广义力,并求单位广义力作用下的结构内力,即求。4、由单位载荷法求Δ4V2、求桁架在外载荷作用下的内力,即求。例1:求桁架4点的竖向位移Δ4V,设各杆EA均相同。Δ4V>0,与单位力的方向一致。例2:求刚架A点的竖向位移ΔAV。设E、J、G、A均相同。解:1、几何特性分析该刚架为无多余约束的几何不变体,故为静定的。2、求刚架在外载荷作用下的内力,即求。例2:求刚架A点的竖向位移ΔAV。设E、J、G、A均相同。3、为求A点的竖向位移,在A点竖向方向上施加单位广义力,并求单位广义力作用下的结构内力,即求。例2:求刚架A点的竖向位移ΔAV。设E、J、G、A均相同。4、由单位载荷法求ΔAV。弯曲轴向剪切对于细长杆件,相比弯矩来说,轴力和剪力对变形的影响很小,可略去轴力项和剪力项的影响,只计及弯矩项。例3:求半径为R的半园环A点的位移ΔA。设抗弯刚度为EJ。解:1、几何特性分析该刚架为静定的。2、求刚架在外载荷作用下的内力,即求。外侧受压例3:求半径为R的半园环A点的位移ΔA。设抗弯刚度为EJ。3、为求A点的位移,在A点竖向和水平方向上分别施加单位广义力,并求单位广义力作用下的结构内力,即求。内侧受压外侧受压例3:求半径为R的半园环A点的位移ΔA。设抗弯刚度为EJ。4、由单位载荷法,分别求Δ

AV、ΔAH

。由此计算得到A点的位移ΔA为1、概述六、图乘法及其应用——积分的计算

在用单位载荷法计算结构位移时,经常遇到类似形式的积分。其中、都是积分变量的函数,并且或两者之一是线性变化的。在这种情形下,可以导出一种较为简便的计算方法,称为图形互乘法。2、图乘法的公式推导六、图乘法及其应用——积分的计算设在区间上定义两个函数和,其中是的线性函数,求积分的值。延长至o点,建立oy轴,有N1的图形对y轴的静矩图乘法是维利沙金(Vereshagin)于1925年提出的,值得一提的是,他当时为莫斯科铁路运输学院的学生。2、图乘法的公式推导六、图乘法及其应用——积分的计算一般地,为曲线图形的面积;为曲线图面积的形心对应于直线图形的高度。注意图乘法的应用条件:(1)等截面直杆,EA或EI等应为常数;(2)两个图中应有一个是直线;(3)应取自直线图中。3、讨论几种情况六、图乘法及其应用——积分的计算3、讨论几种情况六、图乘法及其应用——积分的计算例4:求刚架A点的竖向位移ΔAV。设EJ均相同。解:1、几何特性分析该刚架为无多余约束的几何不变体,故为静定的。2、求刚架在外载荷作用下的内力,即求。3、为求A点的竖向位移,在A点竖向方向上施加单位广义力,并求单位广义力作用下的结构内力,即求。例4:求刚架A点的竖向位移ΔAV。设EJ均相同。4、利用图乘法求ΔAV。例5:求x=?时,A点的垂直位移ΔAV等于零,设EJ均相同。解:1、几何特性分析该刚架为无多余约束的几何不变体,故为静定的。2、求。3、求。例5:求x=?时,A点的垂直位移ΔAV等于零,设EJ均相同。4、利用图乘法求ΔAV。因此,时,A点的垂直位移为零。

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