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2021-2022学年广东省东莞市大岭山镇中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在复平面内，复数对应的点位于（

）A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限参考答案：D2.定义在R上的函数，如果存在函数(k,b为常数），使得对一切实数x都成立，则称为函数的一个承托函数．现有如下命题：①对给定的函数，其承托函数可能不存在，也可能有无数个．②函数为函数的一个承托函数．③定义域和值域都是R的函数不存在承托函数．其中正确命题的序号是：

(

)A．①B．②C．①③D．②③参考答案：A略3.某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为(

)A．4 B． C． D．8参考答案：B考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由三视图知几何体为四棱锥与三棱锥的组合体，画出其直观图，由三视图可得SC⊥平面ABCD，AB⊥平面BCSE，SC=4，BE=2．四边形ABCD为边长为2的正方形，把数据代入棱锥的体积公式计算可得答案．解答：解：由三视图知几何体为四棱锥与三棱锥的组合体，其直观图如图：其中SC⊥平面ABCD，AB⊥平面BCSE，又SC=4，BE=2．四边形ABCD为边长为2的正方形，∴几何体的体积V=V四棱锥+V三棱锥A﹣BSE=×22×4+××2×2×2=+=．故选B．点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键4.设A、B是两个非空集合，定义A×B={x|x∈A∪B且x?A∩B}，已知A={x|y=}，B={y|y=2x，x＞0}，则A×B=（）A．[0，1]∪（2，+∞） B．[0，1）∪（2，+∞） C．[0，1] D．[0，2]参考答案：A【考点】函数的定义域及其求法；交、并、补集的混合运算；函数的值域．【专题】新定义．【分析】根据根式有意义的条件，分别求出结合A和B，然后根据新定义A×B={x|x∈A∪B且x?A∩B}，进行求解．【解答】解：∵集合A、B是非空集合，定义A×B={x|x∈A∪B且x?A∩B}，A={x|y=}={x|0≤x≤2}B={y|y=2x，x＞0}={y|y＞1}∴A∪B=[0，+∞），A∩B=（1，2]因此A×B=[0，1]∪（2，+∞）．故选A．【点评】此题主要考查新定义、根式有意义的条件和集合交、并、补集的混合运算，新定义的题型是常见的题型，同学们要注意多练习这样的题．5.将函数的图象向右平移θ（θ＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则θ的最小值是（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】三角函数中的恒等变换应用；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】y=cosx+sinx=2cos（x﹣），故将函数平移后得到y=2cos（x﹣﹣θ），由于平移后的新函数是偶函数，得cos（﹣x﹣﹣θ）=cos（x﹣﹣θ），即cos（x++θ）=cos（x﹣﹣θ）恒成立，于是x++θ=x﹣﹣θ+2kπ，解出θ=kπ﹣．【解答】解：∵y=cosx+sinx=2cos（x﹣），∴将函数平移后得到的函数为y=2cos（x﹣﹣θ），∵y=2cos（x﹣﹣θ）的图象关于y轴对称，∴cos（﹣x﹣﹣θ）=cos（x﹣﹣θ），即cos（x++θ）=cos（x﹣﹣θ）恒成立．∴x++θ=x﹣﹣θ+2kπ，解得θ=kπ﹣．∵θ＞0，∴当k=1时，θ取最小值．故。篋．6.南宋数学家秦九韶早在《数书九章》中就独立创造了已知三角形三边求其面积的公式：“以小斜幂并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减之，以四约之，为实，一为从隅，开方得积.”（即：，），并举例“问沙田一段，有三斜（边），其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，欲知为田几何？”则该三角形田面积为（

）A．82平方里

B．83平方里

C．84平方里

D．85平方里参考答案：C由题意可得：代入：则该三角形田面积为84平方里故选C7.设函数f（x）是R上的奇函数，f（x+π）=﹣f（x），当0≤x≤时，f（x）=cosx﹣1，则﹣2π≤x≤2π时，f（x）的图象与x轴所围成图形的面积为（）A．4π﹣8 B．2π﹣4 C．π﹣2 D．3π﹣6参考答案：A【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】根据函数的奇偶性得到函数的周期是2π，分别求出函数的解析式，利用积分的应用即可得到结论【解答】解：由f（x+π）=﹣f（x）得f（x+2π）=f（x），即函数的周期是2π，若﹣≤x≤0，则0≤﹣x≤，即f（﹣x）=cos（﹣x）﹣1=cosx﹣1，∵f（x）是R上的奇函数，∴f（﹣x）=cosx﹣1=﹣f（x），即f（x）=1﹣cosx，﹣≤x≤0，∵函数的周期是2π，∴当＜x≤2π时，﹣＜x﹣2π≤0，即f（x）=f（x﹣2π）=1﹣cos（x﹣2π）=1﹣cosx，当＜x≤π时，﹣＜x﹣π≤0，即f（x）=﹣f（x﹣π）=cos（x﹣π）﹣1=﹣cosx﹣1，当π＜x≤时，0≤x﹣π≤，即f（x）=﹣f（x﹣π）=﹣cos（x﹣π）+1=cosx+1，综上：f（x）=，则由积分的公式和性质可知当﹣2π≤x≤2π时，f（x）的图象与x轴所围成图形的面积S=2=4=8=8||=8（x﹣sinx）|=4π﹣8．故选A．8.已知向量满足与的夹角为，，则的最大值为（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：【答案解析】D解析：解：设，以OA所在的直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系的夹角为，则即表示以为圆心，1为半径的圆，表示点A，C的距离，即圆上的点与A的距离，因为圆心到B的距离为，所以的最大值为，所以D正确.【思路点拨】根据向量的数量积的两种形式的转化，我们看到方程所表达的几何意义，利用几何意义求出最大值.9.设、是不同的直线，、、是不同的平面，有以下四个命题：①若

则

②若，，则③若，则

④若，则其中真命题的序号是（

）

A.①④

B.②③

C.②④

D.①③

参考答案：答案:D10.已知的最小值是() A．2

B．2

C．4

D．2参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知椭圆C的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且椭圆C上一点到两个焦点的距离之和为12，则椭圆C的方程为________________

参考答案：12.

函数的部分图象如左下图所示，则的值分别为

▲

.参考答案：2，13.用数学归纳法证明：（）时，从“”时，左边应增添的代数式为_______________.参考答案：2（2k+1）【知识点】数学归纳法M3首先写出当n=k时和n=k+1时等式左边的式子，

当n=k时，左边等于（k+1）（k+2）…（k+k）=（k+1）（k+2）…（2k），①

当n=k+1时，左边等于（k+2）（k+3）…（k+k）（2k+1）（2k+2），②

故从n=k到n=k+1的证明，左边需增添的代数式是由得到=2（2k+1），【思路点拨】分别写出n=k时左边的式子和n=k+1时左边的式子，用n=k+1时左边的式子，除以n=k时左边的式子，得到的代数式即为所求．14.函数y=sinxcosx的最小正周期T=

。参考答案：p15.直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数f(x)的图象恰好通过k个格点，则称函数f(x)为k阶格点函数.下列函数：①；②；③；④其中是一阶格点函数的有

.（填上所有满足题意的序号）.参考答案：①②④16.已知函数，则函数的最小正周期是

.参考答案：π函数的最小正周期

17.函数的定义域是___

___.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在底面是矩形的四棱锥中，平面是的中点（1）求证：平面平面；（2）求三棱锥的体积。参考答案：（1）略；（2）.

略19.已知函数，曲线在点处的切线方程为：.（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）设，求函数在上的最大值.参考答案：（Ⅰ）由切线方程知，当时，∴....................................................1分∵....................................................2分∴由切线方程知，.......................................3分∴..........................................................4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，.......................5分∴，.........................................6分?当时，当时，，故单调递减∴在上的最大值为.........................................7分

②当时∵，∴存在，使当时，，故单调递减当时，，故单调递增∴在上的最大值为或....................................9分又，∴当时，在上的最大值为当时，在上的最大值为......................10分?当时，当时，，故单调递增∴在上的最大值为..................................11分综上所述，当时，在上的最大值为当时，在上的最大值为.........................12分20.已知点P是椭圆C：+=1（a＞b＞0）上的点，椭圆短轴长为2，F1，F2是椭圆的两个焦点，|OP|=，?=（点O为坐标原点）．（Ⅰ）求椭圆C的方程及离心率；（Ⅱ）直线y=x与椭圆C在第一象限交于A点，若椭圆C上两点M、N使+=λ，λ∈（0，2）求△OMN面积的最大值．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）利用椭圆短轴长为2，求b．利用，|OP|=，?=，可求c，进而求出椭圆方程和离心率．（Ⅱ）将直线方程和椭圆方程联立，进行消元，转化为一元二次方程问题，然后利用根与系数之间的关系进行求解．【解答】解：（Ⅰ）设P（x0，y0），F1（﹣c，0），F2（c，0）由|OP|=，得，…由?=得，即…所以c=，又因为短轴长为2，所以b=1，所以离心率e=，…椭圆C的方程为：；…（Ⅱ）由得，设直线MN的方程为y=kx+m，联立方程组消去y得：（1+3k2）x2+6kmx+3m2﹣3=0…设M（x1，y1），N（x2，y2），则，…所以．

因为+=λ，λ∈（0，2），所以，，得，于是，…所以…又因为λ＞0，原点O到直线MN的距离为

所以=，当，即时等号成立，S△OMN的最大值为…21.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且满足．（1）求A的大。唬2）若，求△ABC的面积．参考答案：（1）∵，∴由正弦定理化简得：，…………2分∵，∴，…………3分∵，∴为钝角，…………4分则．…………6分（2）∵，，，∴由余弦定理得：，即，整理得：，…………8分计算得出：，…………10分则．…………12分（另解请酌情给分）22.已知函数，且的解集为.（1）求的值；（2）若，且，求证：.参考答案：