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2021-2022高考数学模拟试卷请考生注意:1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上,请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2.答题前,认真阅读答题纸上的《注意事项》,按规定答题。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.使得的展开式中含有常数项的最小的n为()A. B. C. D.2.如下的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图,若输入的a,b分别为176,320,则输出的a为()A.16 B.18 C.20 D.153.以,为直径的圆的方程是A. B.C. D.4.函数()的图像可以是()A. B.C. D.5.已知函数若函数在上零点最多,则实数的取值范围是()A. B. C. D.6.函数(),当时,的值域为,则的范围为()A. B. C. D.7.将函数的图象沿轴向左平移个单位长度后,得到函数的图象,则“”是“是偶函数”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件8.已知数列是公比为的等比数列,且,,成等差数列,则公比的值为(

)A. B. C.或 D.或9.已知函数,则的值等于()A.2018 B.1009 C.1010 D.202010.2019年10月1日,中华人民共和国成立70周年,举国同庆.将2,0,1,9,10这5个数字按照任意次序排成一行,拼成一个6位数,则产生的不同的6位数的个数为A.96 B.84 C.120 D.36011.已知抛物线的焦点为,过焦点的直线与抛物线分别交于、两点,与轴的正半轴交于点,与准线交于点,且,则()A. B.2 C. D.312.集合中含有的元素个数为()A.4 B.6 C.8 D.12二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知,,且,则最小值为__________.14.给出下列等式:,,,…请从中归纳出第个等式:______.15.根据如图所示的伪代码,若输出的的值为,则输入的的值为_______.16.已知数列满足,且恒成立,则的值为____________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)设的内角、、的对边长分别为、、.设为的面积,满足.(1)求;(2)若,求的最大值.18.(12分)某企业生产一种产品,从流水线上随机抽取件产品,统计其质量指标值并绘制频率分布直方图(如图1):规定产品的质量指标值在的为劣质品,在的为优等品,在的为特优品,销售时劣质品每件亏损元,优等品每件盈利元,特优品每件盈利元,以这件产品的质量指标值位于各区间的频率代替产品的质量指标值位于该区间的概率.(1)求每件产品的平均销售利润;(2)该企业主管部门为了解企业年营销费用(单位:万元)对年销售量(单位:万件)的影响,对该企业近年的年营销费用和年销售量,数据做了初步处理,得到的散点图(如图2)及一些统计量的值.表中,,,.根据散点图判断,可以作为年销售量(万件)关于年营销费用(万元)的回归方程.①求关于的回归方程;②用所求的回归方程估计该企业每年应投入多少营销费,才能使得该企业的年收益的预报值达到最大?(收益销售利润营销费用,。└:对于一组数据,,,,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为,.19.(12分)已知函数.(1)求证:当时,;(2)若对任意存在和使成立,求实数的最小值.20.(12分)已知函数f(x)=xlnx,g(x)=,(1)求f(x)的最小值;(2)对任意,都有恒成立,求实数a的取值范围;(3)证明:对一切,都有成立.21.(12分)已知函数.(1)设,若存在两个极值点,,且,求证:;(2)设,在不单调,且恒成立,求的取值范围.(为自然对数的底数).22.(10分)在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.(1)求B;(2)若的面积为,周长为8,求b.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.B【解析】二项式展开式的通项公式为,若展开式中有常数项,则,解得,当r取2时,n的最小值为5,故选B【考点定位】本题考查二项式定理的应用.2.A【解析】

根据题意可知最后计算的结果为的最大公约数.【详解】输入的a,b分别为,,根据流程图可知最后计算的结果为的最大公约数,按流程图计算,,,,,,,易得176和320的最大公约数为16,故选:A.【点睛】本题考查的是利用更相减损术求两个数的最大公约数,难度较易.3.A【解析】

设圆的标准方程,利用待定系数法一一求出,从而求出圆的方程.【详解】设圆的标准方程为,由题意得圆心为,的中点,根据中点坐标公式可得,,又,所以圆的标准方程为:,化简整理得,所以本题答案为A.【点睛】本题考查待定系数法求圆的方程,解题的关键是假设圆的标准方程,建立方程组,属于基础题.4.B【解析】

根据,可排除,然后采用导数,判断原函数的单调性,可得结果.【详解】由题可知:,所以当时,,又,令,则令,则所以函数在单调递减在单调递增,故。築【点睛】本题考查函数的图像,可从以下指标进行观察:(1)定义域;(2)奇偶性;(3)特殊值;(4)单调性;(5)值域,属基础题.5.D【解析】

将函数的零点个数问题转化为函数与直线的交点的个数问题,画出函数的图象,易知直线过定点,故与在时的图象必有两个交点,故只需与在时的图象有两个交点,再与切线问题相结合,即可求解.【详解】由图知与有个公共点即可,即,当设切点,则,.故。篋.【点睛】本题考查了函数的零点个数的问题,曲线的切线问题,注意运用转化思想和数形结合思想,属于较难的压轴题.6.B【解析】

首先由,可得的范围,结合函数的值域和正弦函数的图像,可求的关于实数的不等式,解不等式即可求得范围.【详解】因为,所以,若值域为,所以只需,∴.故。築【点睛】本题主要考查三角函数的值域,熟悉正弦函数的单调性和特殊角的三角函数值是解题的关键,侧重考查数学抽象和数学运算的核心素养.7.A【解析】

求出函数的解析式,由函数为偶函数得出的表达式,然后利用充分条件和必要条件的定义判断即可.【详解】将函数的图象沿轴向左平移个单位长度,得到的图象对应函数的解析式为,若函数为偶函数,则,解得,当时,.因此,“”是“是偶函数”的充分不必要条件.故。篈.【点睛】本题考查充分不必要条件的判断,同时也考查了利用图象变换求三角函数解析式以及利用三角函数的奇偶性求参数,考查运算求解能力与推理能力,属于中等题.8.D【解析】

由成等差数列得,利用等比数列的通项公式展开即可得到公比q的方程.【详解】由题意,∴2aq2=aq+a,∴2q2=q+1,∴q=1或q=故。篋.【点睛】本题考查等差等比数列的综合,利用等差数列的性质建立方程求q是解题的关键,对于等比数列的通项公式也要熟练.9.C【解析】

首先,根据二倍角公式和辅助角公式化简函数解析式,根据所求函数的周期性,得到其周期为4,然后借助于三角函数的周期性确定其值即可.【详解】解:.,,的周期为,,,,,..故。篊【点睛】本题重点考查了三角函数的图象与性质、三角恒等变换等知识,掌握辅助角公式化简函数解析式是解题的关键,属于中档题.10.B【解析】

2,0,1,9,10按照任意次序排成一行,得所有不以0开头的排列数共个,其中含有2个10的排列数共个,所以产生的不同的6位数的个数为.故选B.11.B【解析】

过点作准线的垂线,垂足为,与轴交于点,由和抛物线的定义可求得,利用抛物线的性质可构造方程求得,进而求得结果.【详解】过点作准线的垂线,垂足为,与轴交于点,由抛物线解析式知:,准线方程为.,,,,由抛物线定义知:,,,.由抛物线性质得:,解得:,.故。.【点睛】本题考查抛物线定义与几何性质的应用,关键是熟练掌握抛物线的定义和焦半径所满足的等式.12.B【解析】解:因为集合中的元素表示的是被12整除的正整数,那么可得为1,2,3,4,6,,12故选B二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】

首先整理所给的代数式,然后结合均值不等式的结论即可求得其最小值.【详解】,结合可知原式,且,当且仅当时等号成立.即最小值为.【点睛】在应用基本不等式求最值时,要把握不等式成立的三个条件,就是“一正——各项均为正;二定——积或和为定值;三相等——等号能否取得”,若忽略了某个条件,就会出现错误.14.【解析】

通过已知的三个等式,找出规律,归纳出第个等式即可.【详解】解:因为:,,,等式的右边系数是2,且角是等比数列,公比为,则角满足:第个等式中的角,所以;故答案为:.【点睛】本题主要考查归纳推理,注意已知表达式的特征是解题的关键,属于中档题.15.【解析】

算法的功能是求的值,根据输出的值,分别求出当时和当时的值即可得解.【详解】解:由程序语句知:算法的功能是求的值,当时,,可得:,或(舍去);当时,,可得:(舍去).综上的值为:.故答案为:.【点睛】本题考查了选择结构的程序语句,根据语句判断算法的功能是解题的关键,属于基础题.16.【解析】

易得,所以是等差数列,再利用等差数列的通项公式计算即可.【详解】由已知,,因,所以,所以数列是以为首项,3为公差的等差数列,故,所以.故答案为:【点睛】本题考查由递推数列求数列中的某项,考查学生等价转化的能力,是一道容易题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1);(2).【解析】

(1)根据条件形式选择,然后利用余弦定理和正弦定理化简,即可求出;(2)由(1)求出角,利用正弦定理和消元思想,可分别用角的三角函数值表示出,即可得到,再利用三角恒等变换,化简为,即可求出最大值.【详解】(1)∵,即,∴变形得:,整理得:,又,∴;(2)∵,∴,由正弦定理知,,∴,当且仅当时取最大值.故的最大值为.【点睛】本题主要考查正弦定理,余弦定理,三角形面积公式的应用,以及利用三角恒等变换求函数的最值,意在考查学生的转化能力和数学运算能力,属于基础题18.(1)元.(2)①②万元【解析】

(1)每件产品的销售利润为,由已知可得的取值,由频率分布直方图可得劣质品、优等品、特优品的概率,从而可得的概率分布列,依期望公式计算出期望即为平均销售利润;(2)①对取自然对数,得,令,,,则,这就是线性回归方程,由所给公式数据计算出系数,得线性回归方程,从而可求得;②求出收益,可设换元后用导数求出最大值.【详解】解:(1)设每件产品的销售利润为,则的可能取值为,,.由频率分布直方图可得产品为劣质品、优等品、特优品的概率分别为、、.所以;;.所以的分布列为所以(元).即每件产品的平均销售利润为元.(2)①由,得,令,,,则,由表中数据可得,则,所以,即,因为。,故所求的回归方程为.②设年收益为万元,则令,则,,当时,,当时,,所以当,即时,有最大值.即该企业每年应该投入万元营销费,能使得该企业的年收益的预报值达到最大,最大收益为万元.【点睛】本题考查频率分布直方图,考查随机变量概率分布列与期望,考查求线性回归直线方程,及回归方程的应用.在求指数型回归方程时,可通过取对数的方法转化为求线性回归直线方程,然后再求出指数型回归方程.19.(1)见解析;(2)【解析】

(1)不等式等价于,设,利用导数可证恒成立,从而原不等式成立.(2)由题设条件可得在上有两个不同零点,且,利用导数讨论的单调性后可得其最小值,结合前述的集合的包含关系可得的取值范围.【详解】(1)设,则,当时,由,所以在上是减函数,所以,故.因为,所以,所以当时,.(2)由(1)当时,;任意,存在和使成立,所以在上有两个不同零点,且,(1)当时,在上为减函数,不合题意;(2)当时,,由题意知在上不单调,所以,即,当时,,时,,所以在上递减,在上递增,所以,解得,因为,所以成立,下面证明存在,使得,。戎っ,即证,令,则在时恒成立,所以成立,因为,所以时命题成立.因为,所以.故实数的最小值为.【点睛】本题考查导数在不等式恒成立、等式能成立中的应用,前者注意将欲证不等式合理变形,转化为容易证明的新不等式,后者需根据等式能成立的特点确定出函数应该具有的性质,再利用导数研究该性质,本题属于难题.20.(1)(2)((3)见证明【解析】

(1)先求函数导数,再求导函数零点,列表分析导函数符号变化规律确定函数单调性,最后根据函数单调性确定最小值取法;(2)先分离不等式,转化为对应函数最值问题,利用导数求对应函数最值即得结果;(3)构造两个函数,再利用两函数最值关系进行证明.【详解】(1)当时,单调递减,当时,单调递增,所以函数f(x)的最小值为f()=;(2)因为所以问题等价于在上恒成立,记则,因为,令函数f(x)在(0,1)上单调递减;函数f(x)在(1,+)上单调递增;即,即实数a的取值范围为(.(3)问题等价于证明由(1)知道,令函数在(0,1)上单调递增;函数在(1,+)上单调递减;所以{,因此,因为两个等号不能同时取得,所以即对一切,都有成立.【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题,在可能的情况下把参数分离出来,使不等式一端是含有参数的不等式,另一端是一个区间上具体的函数,这样就把问题转化为一端是函数,另一端是参数的不等式,便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的,如果分离参数后,得出的函数解析式较为复杂,性质很难研究,就不要使用分离参数法.21.(1)证明见解析;(2).【解析】

(1)先求出,又由可判断出在上单调递减,故,令,记,利用导数求出的最小值即可;(2)由在上不单调转化为在上有解,可得,令,分类讨论求的最大值,再求解即可.【详解】(1)已知,,由可得,又由,知在上单调递减,令,记,则在上单调递增;,在上单调递增;,(2),,在上不单调,在上有正有负,在上有解,,,恒成立,记,则,记,,在上单调增,在上单调减.于是知(i)当即时,恒成立,在上单调增,,,.(ii)当时,,故不满足题意.综上所述,【点睛】本题主要考查了导数的综合应用,考查了分类讨论,转化与化归的思想,考查了学生的运算求解能力.22.(1);(2)【解析】

(1)通过正弦定理和内角和定理化简,再通过二倍角公式即可求出;(2)通过三角形面积公式和三角形的周长为8,求出b的表达式后即可求出b的值.【详解】(1)由三角形内角和定理及诱导公式,得,结合正弦定理,得,由及二倍角公式,得,即,故;(2)由题设,得,从而,由余弦定理,得,即,又,所以,解得.【点睛】本题综合考查了正余弦定理,倍角公式,三角形面积公式,属于基础题.

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