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第16章结构的极限荷载§16-1概述§16-2极限弯矩、塑性铰和极限状态§16-3超静定梁的极限荷载§16-4比例加载时判定极限荷载的一般定理§16-5刚架的极限荷载§16-7小结§16-6用求解器求极限荷载(略)§16-1概述弹性设计方法以许用应力为依据确定截面的尺寸或进行强度验算的作法。缺点：没有考虑材料的塑性特性，不经济。2.塑性设计方法考虑材料的塑性变形，确定结构破坏时所能承担的荷载(极限荷载)，以此为依据得到容许荷载的方法。结构塑性分析中，为简化计算将材料简化为理想弹塑性材料，其应力应变关系如图示：OA段：线弹性阶段，应力-应变为线性关系AB段：塑性流动状态，一个应力对应不同的应变。以理想弹塑性材料的矩形截面梁处于纯弯曲状态为例：随M的增大，梁截面应力的变化如图所示：图(b)：弹性阶段，弯矩M为：屈服弯矩图(c)：弹塑性阶段，y0部分为弹性区，称为弹性核。图(d)：塑性流动阶段，y0→0。弯矩M为：极限弯矩§16-2极限弯矩、塑性铰和极限状态塑性铰：弯矩达到极限弯矩时的截面。塑性铰只能沿弯矩增大方向发生有限的相对转角—单向铰。图(a)为只有一个对称轴的截面图(b)为弹性阶段：应力直线分布，中性轴过截面形心；图(c)为弹塑性阶段：中性轴随弯矩的大小而变化；图(d)为塑性流动阶段：受拉区和受压区的应力均为常量。

A1(受拉区面积)=A2(受压区面积)，Mu为S1、S2为面积A1、A2对等面积轴的静矩梁在横向荷载作用下的弯曲问题—理想弹塑性材料加载初期：各截面的M＜Ms。继续加载，直到某个截面M=Ms，弹性阶段终结。此时的荷载—弹性极限荷载FPs。荷载＞FPs：梁中形成塑性区。加大荷载：在某截面处M=Mu，形成塑性铰。承载力无法增加—极限状态此时的荷载—极限荷载FPu。梁的极限荷载可根据塑性铰截面的弯矩=极限值的条件，利用平衡方程求出。例16-1设有矩形截面梁如图(a)，试求极限荷载FPu。解：由M图可知，塑性铰将在跨中截面形成，截面弯矩=Mu，如图(b)。由静力条件：得极限荷载：1.超静定梁的破坏过程和极限荷载的特点静定梁：只要一个截面出现塑性铰，梁就成为机构，丧失承载力以至破坏。超静定梁：具有多与约束，必须出现足够多的塑性铰，才能使其成为机构，丧失承载力以至破坏。以图(a)所示等截面梁为例说明。图(b)为弹性阶段(FP≤FPs)的M图，Ａ截面弯矩最大。§16-3超静定梁的极限荷载FP＞FPs后，塑性区在A附近形成并扩大，在A截面形成第一个塑性铰，M图如图(c)。FP继续增加，荷载增量引起的弯矩增量图相应于简支梁的弯矩图，如图(d)。第二个塑性铰出现在C截面，梁变为机构。由平衡条件得极限荷载利用虚功原理求FPu，图(e)为破坏机构的一种可能位移。外力作功为内力作功为由虚功方程得超静定结构极限荷载计算的特点（1）只需考虑最后的破坏机构；（2）只需考虑静力平衡条件；（3）不受温度变化和支座位移等的影响。例16-2试求图(a)所示变截面梁的极限荷载。解：设AB、BC段的极限弯矩为出现两个塑性铰时梁成为破坏机构。（1）当截面D、B出现塑性铰时如图(b)此时M图如图(c)，MA=3Mu若此破坏机构不能出现则此破坏机构实现的条件是由图(b)的可能位移列虚功方程得极限荷载（2）当截面D、A出现塑性铰时如图(a)截面D的弯矩达到极限值Mu截面A的弯矩达到极限值弯矩图如图(b)，截面B的弯矩若MB＞Mu，此破坏机构不能出现，此时即此破坏机构的实现条件是：由图(a)的可能位移列虚功方程得极限荷载3.讨论如果图(a)、图(b)所示的破坏机构都能实现。此时，A、B、D三个截面都出现塑性铰。可得极限荷载2.连续梁的极限荷载条件：梁在每一跨度内为等截面；荷载的作用方向相同，并按比例增加。结论：连续梁只可能在各跨独立形成破坏机构；如图(a)、(b)不可能由相邻几跨联合形成一个破坏机构。如图(c)连续梁极限荷载的计算方法：1）对每一单跨破坏机构分别求出相应的破坏荷载；2）取其最小值即为极限荷载。例16-3图(a)所示连续梁中，每跨为等截面梁。AB和BC跨的正极限弯矩为Mu，CD跨的正极限弯矩为2Mu；又各跨负极限弯矩为正极限弯矩的1.2倍。试求此连续梁的极限荷载qu。解：AB跨破坏时如图(b)得BC跨破坏时如图(c)得CD跨破坏时如图(d)得极限荷载作业:习题16-1,16-416-9,16-14比例加载：所有荷载变化时都彼此保持固定的比例，可用一个参数FP表示；荷载参数FP只是单调增大，不出现卸载现象。假设条件：材料是理想弹塑性的；截面的正极限弯矩与负极限弯矩的绝对值相等；忽略轴力和剪力对极限弯矩的影响。结构的极限受力状态应满足的条件：（1）平衡条件：结构的整体或任一局部都能维持平衡；（2）内力局限条件：任一截面弯矩绝对值都不超过其极限弯矩；（3）单向机构条件：结构成为机构能够沿荷载方向作单向运动。§16-4比例加载时判定极限荷载的一般定理结构处于极限状态时，应同时满足下面三个条件：1.单向机构条件；2.内力局限条件；3.平衡条件。可破坏荷载---同时满足单向机构条件和平衡条件的荷载。可接受荷载---同时满足内力局限条件和平衡条件的荷载。极限荷载既是可破坏荷载又是可接受荷载。1.基本定理：可破坏荷载恒不小于可接受荷载。比例加载时关于极限荷载的定理：证明：取任一可破坏荷载，给与其相应的破坏机构虚位移，列虚功方程取任一可接受荷载，在与上面相同虚位移上列虚功方程1.基本定理：可破坏荷载恒不小于可接受荷载。证明：取任一可破坏荷载，给与其相应的破坏机构虚位移，列虚功方程取任一可接受荷载，在与上面相同虚位移上列虚功方程2.唯一性定理：极限荷载是唯一的。证明：设同一结构有两个极限荷载和。若把看成可破坏荷载,看成可接受荷载。若把看成可破坏荷载，看成可接受荷载。故有3.上限定理（极小定理）：极限荷载是所有可破坏荷载中最小的。证明：由于极限荷载是可接受荷载，由基本定理4.下限定理（极大定理）：极限荷载是所有可接受荷载中最大的。证明：由于极限荷载是可破坏荷载，由基本定理2.唯一性定理：极限荷载是唯一的。证明：设同一结构有两个极限荷载和。若把看成可破坏荷载，成可接受荷载。若把看成可破坏荷载，看成可接受荷载。故有列出所有可能的破坏机构，用平衡条件求出这些破坏机构对应的可破坏荷载，其中最小者既是极限荷载。定理的应用：穷举法：每次任选一种破坏机构，由平衡条件求出相应的可破坏荷载，再检验是否满足内力局限性条件；若满足，该可破坏荷载既为极限荷载；若不满足，另选一个破坏机构继续运算。试算法：极小定理的应用唯一性定理的应用例：求图示等截面梁的极限荷载。极限弯矩为Mu

。FPl/3l/3FPl/3解：1.用穷举法求解共有三种可能的破坏机构FPl/3l/3Fpl/3例：求图示等截面梁的极限荷载。极限弯矩为Mu

。解：1.用穷举法求解共有三种可能的破坏机构：（1）A、B出现塑性铰（2）A、C出现塑性铰（3）B、C出现塑性铰例：求图示等截面梁的极限荷载。极限弯矩为Mu

。FPFP解：（1）选A、B出现塑性铰形成的破坏机构2.用试算法求解由作出的弯矩图可见，C截面不满足内力局限性条件。（2）选A、C出现塑性铰形成的破坏机构由作出的弯矩图可见，满足内力局限性条件。例16-4试求图(a)所示梁在均布荷载作用下的极限荷载qu。解：梁处于极限状态时，A端出现塑性铰，另一个塑性铰C有待确定。图(b)为一破坏机构，塑性铰C的坐标为x。相应的可破坏荷载为。由虚功方程得令得解由x2求得极限荷载例：求图示连续梁的极限荷载。各跨分别是等截面的,AB、BC跨的极限弯矩为Mu

，CD跨的极限弯矩为3Mu。解：先分别求出各跨独自破坏时的可破坏荷载.（1）AB跨破坏时0.8FPFPFPq=FP/aaaaaa2a0.8FPFPFPq=FP/a（2）BC跨破坏时0.8FPFPFPq=FP/a（3）CD跨破坏时有三种情况：例1：求图示连续梁的极限荷载。各跨分别是等截面的,AB、BC跨的极限弯矩为Mu

，CD跨的极限弯矩为3Mu。0.8FPFPFPq=FP/aaaaaa2a0.8FPFPFPq=FP/a解：先分别求出各跨独自破坏时的可破坏荷载.（1）AB跨破坏时（2）BC跨破坏时（3）CD跨破坏时有三种情况0.8FPFPFPq=FP/a0.8FPFPFPq=FP/a例：求图示连续梁的极限荷载。各跨分别是等截面的,AB、BC跨的极限弯矩为Mu

，CD跨的极限弯矩为3Mu。0.8FPFPFPq=FP/aaaaaa2a0.8FPFPFPq=FP/a解：先分别求出各跨独自破坏时的可破坏荷载.（1）AB跨破坏时（2）BC跨破坏时（3）CD跨破坏时有三种情况0.8FPFPFPq=FP/a0.8FPFPFPq=FP/a作业:习题16-1,16-416-9,16-14基本假设：（1）当出现塑性铰时，塑性区退化为一个截面（塑性铰处的截面），其余部分仍为弹性区。（2）荷载按比例增加，且为结点荷载，塑性铰只出现在结点处。（3）每个杆件的极限弯矩为常数，各杆的极限弯矩可不同。（4）忽略轴力和剪力对极限弯矩的影响。增量变刚度法的基本思路：把非线性问题转化为分阶段的几个线性问题。§16-5刚架的极限荷载方法的特点：（1）把总的荷载分成几个荷载增量，进行分阶段计算—增量法；（2）对每个荷载增量按弹性方法计算，但不同阶段采用不同的刚度阵—变刚度法。以图(a)所示超静定梁为例说明。（1）弹性阶段：从零荷载开始到第一个塑性铰出现。FP=1作用下的弯矩图如图(b)。控制截面A和B的弯矩组成弯矩向量：与极限弯矩的比值为：最小比值发生在A点，其值为：最小比值用FP1来表示，当荷载增大到梁的弯矩M1为：M1图如图(c)。相应的弯矩向量M1为：当FP=FP1时，截面A出现第一个塑性铰，弹性阶段终结。（2）一个塑性铰阶段：从第一个塑性铰形成到第二个塑性铰出现截面A改为单向铰结点，结构修改为如图(a)。第二个塑性铰会出现在截面B。此时所施加的荷载增量为：荷载增量引起的弯矩增量为：ΔM2图如图(b)（3）极限状态：出现两个塑性铰后，结构成为单向机构。弯矩图如图(c)。极限荷载FPu为2.单元刚度矩阵的修正新的塑性铰出现时，在一些单元中，杆端应修改为铰支端。图(a)所示单元两端刚结，单元刚度阵已有。（1）在端出现塑性铰，如图(b)。单元刚度阵为：（2）在端出现塑性铰，如图(c)。（2）在和端同时出现塑性铰，如图(d)。3.计算步骤-求刚架极限荷载(比例加载，荷载用荷载参数FP表示)（1）刚架承受荷载FP=1。形成整体刚度阵K→求刚架的结点位移。由单元刚度阵→各单元杆端力，各控制截面弯矩向量（2）第一阶段终结时各控制截面的弯矩此时，第一个塑性铰出现在单元e1的端，第一阶段结束。（3）e1单元的单元刚度阵修改为，整体刚度阵修改为K2。（4）检验K2是否奇异，≠0，结构未达到极限状态。修改后的结构承受FP=1，由K2→求刚架的结点位移，由或→各单元杆端力。各控制截面弯矩向量为（5）第二阶段终结时各控制截面的弯矩增量荷载的累加值弯矩的累加值此时，第二个塑性铰出现在单元e2的端，第二阶段结束。（6）重复第(3)、(4)、(5)步的计算，直到第n阶段=0为止，结构成为机构，达到极限状态。极限荷载为：例16-6试用增量刚度法求图(a)所示刚架的极限荷载。解（1）第一阶段计算：图如图(b)。第一个塑性铰出现在结点D的柱端截面。第一阶段终结时的荷载为：M1图如图(c)所示。（2）第二阶段计算：截面D改为铰结点，并修改刚度阵。图如图(a)。E截面的比值最小。第二阶段终结时荷载弯矩的累加值如图(b)M2图如图(c)，第二个塑性铰在E截面出现。（3）第三阶段计算：截面E改为铰结点，并修改刚度阵。图如图(a)。A截面的比值最小。第三阶段终结时如图(b)荷载弯矩的累加值M3图如图(c)，第三个塑性铰在A截面出现。（4）第四阶段计算：截面A改为铰结点，并修改刚度阵。图如图(a)。C截面的比值最小。第四阶段终结时如图(b)荷载弯矩的累加值M4图如图(c)，第四个塑性铰在C截面出现。（5）极限状态截面D、E、A、C皆改为铰结点，并修改刚度阵。此时K阵为奇异阵→刚架变为机构→极限状态。

FP4即为极限荷载：§16-7小结1比例加载时，判定极限荷载的一般定理是计算极限荷载的理论依据，一共有4个，要了解他们的应用条件2刚架极限荷载的计算方法还有机构法、试算法、机构叠加法等方法。作业:习题16-13