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微专题1：三角函数中的取值范围研究在三角函数图象中，对整个图象的性质影响巨大，因此，对的取值范围的考察就是高考的热门考点之一，这部分考题呈现出综合性较强，对学生的逻辑推理，直观想象素养要求较高，比如2016年一卷12题，2019年一卷11题，三卷12题等，所以，对的取值范围的系统研究，找到解题的通性通法对提高学生的整体数学素养有巨大的帮助.1.已知单调性求.例1.已知，函数在上单调递减，求的取值范围.分析：（1）最大的增，减区间占半周期可求的范围；（2）是最大减区间的子区间.2.已知最值求.例2．函数，当上恰好取得5个最大值，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】C3.已知对称轴求.例3.已知函数的图象在上有且仅有两条对称轴，求的取值范围.变式：图象在上有且仅有两条对称轴，求的取值范围.4.已知零点求.例4．已知其中,若函数在区间内没有零点,则的取值范围是()A． B．C． D．【答案】D5.求综合问题例5．（2019全国3卷）设函数=sin（）(＞0)，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论：①在（）有且仅有3个极大值点②在（）有且仅有2个极小值点③在（）单调递增④的取值范围是[)其中所有正确结论的编号是A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④【答案】D【详解】当时，，∵f（x）在有且仅有5个零点，∴，∴，故④正确，由，知时，令时取得极大值，①正确；极小值点不确定，可能是2个也可能是3个，②不正确；因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案，当时，，若f（x）在单调递增，则，即，∵，故③正确．故选D练习．已知函数，、、，且都有，满足的实数有且只有个，给出下述四个结论：①满足题目条件的实数有且只有个；②满足题目条件的实数有且只有个；③在上单调递增；④的取值范围是．其中所有正确结论的编号是（）A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④【答案】D练习题1．函数的图象在上恰有两个最大值点，则的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】C2．若函数在上的值域为，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】A3．已知函数，若函数在区间上为单调递减函数，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B4．设函数在上单调递减，则下述三个结论：①在上的最大值为，最小值为；②在上有且仅有4个零点；③关于轴对称；其中所有正确结论的编号是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】A微专题2.三角函数图象综合问题图象综合问题着重考察队三角函数图象的感知理解能力，除了掌握必备的图象与性质之外，还需准确的发掘题干中的隐含条件，进而完成题目，在近两年的全国卷中考察频繁.例1.（2021全国甲卷）已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数为________．【详解】由图可知，即，所以；由五点法可得，即；所以.因为，；所以由可得或；因为，所以，结合图形可知，最小正整数应该满足，即，解得，令，可得，可得的最小正整数为2.例2．已知函数，，且在区间上的最大值为.若对任意的，都有成立，则实数的最大值是（）A． B． C． D．【详解】，所以周期，因为，且在区间上的最大值为，所以是函数图象的一条对称轴，且，即有，.而，∴，解得.故.因为任意的，都有成立，所以在上，.令，若，即，则，成立；若，即，此时，所以，而，∴，即，解得.即.故满足题意的实数的范围为，即实数的最大值是.故选A.例3．（2020全国1卷）设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为B．C． D．练习题1．已知点是函数的图像上的一个最高点，点、是函数图像上相邻两个对称中心，且三角形的周长的最小值为.若，使得，则函数的解析式为A． B．C． D．【答案】A2．已知函数，点，分别为图像在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点，为坐标原点，若为锐角三角形，则的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】B3．函数在一个周期内的图象如图所示，M、N分别是图象的最高点和最低点，O为坐标原点，且，则的值分别是（）A． B． C． D．【答案】A4．已知函数的图象经过点，在区间上为单调函数，且的图象向左平移个单位后与原来的图象重合，当，且时，，则（）A． B． C． D．【答案】B微专题3.带绝对值的三角函数性质研究近两年全国卷在三角函数的考察方面呈现两个明显的特点，第一，多选项，第二，构造性，通过一些常见的构造方式，考察分类讨论，数形结合能力，比如2019年一卷的11题，将常见的正弦函数套上绝对值，这样的构造方式会由于绝对值的参与使得很多考生望而生怯，本文通过对几道常见的带绝对值的三角函数性质研究，力争探索出一些解题的通性通法，提高解题能力.例1．（2019全国卷一）关于函数有下述四个结论：①是偶函数②的最大值为2③在有4个零点④在区间单调递减其中所有正确结论的编号是（）A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③分析：去绝对值是关键步骤，这样就可以将其转化为熟悉的三角函数形态，这个时候就需要分析奇偶性与周期性从而将分析问题的区间尽可能的缩小到小范围内，这个时候，实际也完成了去绝对值的过程，因此，处理此类带绝对值的三角函数问题，分析奇偶性与周期性是两个必备的过程.解：的定义域为，因为，故为偶函数，结论①正确，再分析周期性，周期为.这样就可以去掉绝对值化成分段函数，当，当，故当时，故函数的最大值为2，结论②正确，根据图象可得，在有3个零点，故结论③错误，由图象可以看出，在区间单调递减，结论④正确.【答案】A因此，此类问题的解题顺序可以归纳为：第一，分析奇偶性，周期性，第二，去绝对值，写成分段函数，第三，画出草图，结合图象及对称性的定义判断，包括代入必要的特值.我们可以再通过下面一些练习进一步提升此类题目的解题能力.例2.已知函数，且函数的最小正周期为，则下列关于函数的说法，①；②点是的一个对称中心；③直线是函数的一条对称轴；④函数的单调递增区间是.其中正确的（）A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④【详解】因为函数的最小正周期为，所以，所以①正确；函数没有对称中心，且对称轴方程为，所以当时，对称轴方程为，故②不正确，③正确；令，解得，所以的单调递增区间是，故④正确.故。篋.练习题1．关于函数的下述四个结论中，正确的是（）A．是奇函数B．的最大值为C．在有个零点D．在区间单调递增【答案】D2．设函数，下述四个结论：①是偶函数；②的最小正周期为；③的最小值为0；④在上有3个零点其中所有正确结论的编号是（）A．①② B．①②③ C．①③④ D．②③④【答案】B3．已知函数，下列结论正确的是（）A．函数图像关于对称B．函数在上单调递增C．若，则D．函数的最小值为【答案】A4．已知函数，现有下述四个结论：①的最小正周期为；②曲线关于直线对称；③在上单调递增；④方程在上有4个不同的实根.其中所有正确结论的编号是（）A．②④ B．①③④ C．②③④ D．①②④【答案】D微专题4.三角不等式三角函数的凸凹性决定了三角不等式也是其应用的一个热点，高考试题当然不会吝啬对其的涉及和考察.例1.在中，证明：.证明：，显然，考虑在处的切线可得不等式：，这样就有，故，证毕.注：此不等式是三角形中一个常见的不等式，在高考试题中也能见到它的身影，比如.例2.（2018全国一卷）已知函数，求的最小值.解：最小正周期为，且为奇函数，考虑.由于，由奇偶性可知的最小值为.例3有了例2的结论，我们还可以用均值不等式证明：在中，证明：.这个不等式出现在2020年的全国二卷中.例4.已知函数.（1）讨论在区间的单调性；（2）证明：；（3）设n∈N*，证明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤.证明：仅证第二问.由于最小正周期为，且为奇函数，且，故，证毕.微专题5.三角实际应用例1.（2021全国甲卷）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差约为（）（）A．346 B．373 C．446 D．473【详解】过作，过作，故，由题，易知为等腰直角三角形，所以．所以．因为，所以在中，由正弦定理得：，而，所以所以．故。築．例2.（2020成都三诊）为迎接大运会的到来，学校决定在半径为，圆心角为的扇形空地的内部修建一平行四边形观赛场地，如图所示.则观赛场地的面积最大值为（）A． B．C． D．【详解】如图所示：．连接，设，作，，垂足分别为．根据平面几何知识可知，，，．∴，．故四边形的面积也为四边形的面积，即有，其中．所以当即时，．故。篋．微专题6.三角与导数综合（2019年天津）．设函数为的导函数.（1）求的单调区间；（2）当时，证明；（3）设为函数在区间内的零点，其中，证明.【详解】(1)由已知，有.当时，有，得，则单调递减;当时，有，得，则单调递增.所以，的单调递增区间为，的单调递减区间为.(2)记.依题意及(Ⅰ)有：，从而.当时，，故.因此，在区间上单调递减，进而.所以，当时，.(3)依题意，，即.记，则.且.由及(Ⅰ)得.由(2)知，当时，，所以在上为减函数，因此.又由(2)知，故：.所以.4．已知函数（其中为自然对数的底数）．（1）当时，求证：函数图象上任意一点处的切线斜率均大于；（2）若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围．解：（1）证明：时，,,设,则,令,解得：,故在区间递减，在递增，故的最小值是,即对任意恒成立，故函数图象上任意一点处的切线斜率均大于；（2）先证对任意,,,令,,令,解得：,故在区间递增，在递减，故,故,令,,,令,解得：,故在区间递减，在区间递增，故,故,递增，故,故,,,对于任意,恒成立，,故,当时，,即对于任意的，恒成立，综上：的取值范围是．