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浙江大学CAD&CG国l二维变l三维变l场景坐标系和模型变换l视点坐标系和取景变换l投影坐标系和投影变换l屏幕坐标系和设备变换

CAD&CG国 l二维变l三维变l场景坐标系和模型变换l视点坐标系和取景变换l投影坐标系和投影变换l屏幕坐标系和设备变换

CAD&CG国 l在二维图形中：通过二维变换和裁剪，将定义l

CAD&CG国 齐次坐标表 二维图形中常

CAD&CG国 用一个n+1维向量表示一个n (4,6,2)、 齐次坐标与普通坐标之间是一一对应关 齐次坐标表示

=1Y

CAD&CG国 齐次坐标表 二维图形中常

CAD&CG国 二维点P(x,y)移动(tx,ty)后，得到点P'(x', 1

y采用齐次坐标(x,y)?(x',y',

tx t y 1 1

CAD&CG国 将点P(x,y)绕坐标原点按逆时针旋转角 sinq

1 qX

CAD&CG国 将点P(x,y)绕点C(cx,cy)按逆时针旋转角 qO

X

CAD&CG国 将点P(x,y)绕点C(cx,cy)按逆时针旋转角

sinq

cxcxcosqcy

csinqc

q

X x

x cy cy 0100 0100

0 0

CAD&CG国 放缩的变换公Y

x xy y

sy

1 1

CAD&CG国 齐次坐标表 二维图形中常

CAD&CG国 剪切变换 沿X-轴方向的剪Y

0 0 1 1 X变换过程中,y坐标保持不变,而x坐标值发生线性变化平行于X轴的线段变换后仍平行于X轴，平行于Y轴的线段变后错切成与Y轴成固定角a

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Y

1 0 1 (x,-

关于X轴的对称变

0

0

1 0 1

1 1 关于坐标原点的对称

关于Y轴的对称

CAD&CG国 Y

X 0

0

0

1 1

1 0 1 关于直线y=x的对称

关于直线y=-x的对称YYOX

CAD&CG国 平移、旋转和放缩矩阵通常记为T、R和 二维变换 二维变换是否具有交换性

CAD&CG国 二维变换不具先旋转，再(非等比例)放 先(非等比例)放缩，再旋

CAD&CG国 二维变换不具先平移，再旋 先旋转，再平

CAD&CG国 上述变换的组合可以得到特殊的二维变 刚变

CAD&CG国 上述变换的组合可以得到特殊的二维变 仿射变换(affine Ar Ar

b

1

CAD&CG国 共线性 保持直线上距离的比率(Ratiosofalonga

/

CAD&CG国 时，即T(x,y)、R((x,y))和S(x,y)，变换

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CAD&CG国 场景造型 放置虚拟照相 面剔除)

CAD&CG国 投影(照相、摄影 二维显

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CAD&CG国 几何场景建立于世界坐标系 场景中的具体物 模型变换

CAD&CG国 构造性实体几何-Bradleyfightingvehicle:atreeofsome8600solids(courtesyofArmyResearchLaboratory.Theimageisadirectray-tracingoftheCSGtree.)

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tx

y 1

tz1

CAD&CG国 后，得到点P'(x',y',z')

1

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0

z

1

1

1

1

CAD&CG国 设旋转轴ON为过原点的任一Z对于坐标轴的方向余弦分别 Zn1cosa n2cos a、b、g

n3OX

qP?Y 将旋转后的物体做逆变换A-

CAD&CG国 假设在Z轴上取单位矢量绕轴旋转轴旋转其与ON轴重合。

0n

0

2=

n

cos

03 01

=[sinq1n1=cosa=sinq1cos

n2=cosb=sinq1sin 将物体沿变换后的Z轴，即ON轴旋转做上述1.的逆变换：绕Z轴旋转-2角，绕Y轴旋转-1

CAD&CG国 绕Y轴旋转角-

绕Z轴旋转角-

绕Z轴旋转角

T＝

0 0

sin sin

sin

0 绕Z轴旋转角 绕Y轴旋转角 n2(1n2)cos )n3

n1n2(1 )n3 n1n3(1 )n2 n2(1n2) nn(1 )n 0 2 (1 )n

(1 )n n2(1n2)cos CAD&CG国 面的变换(课后练习) 刚体变换 仿射变换：保持共线、共面性、平行 剪切变换：沿X、Y、Z方向的剪切？(课

CAD&CG国 三维模型变换(课后阅读 A.Barr,Globalandlocaldeformationsofsolidprimitives,

CAD&CG国 Deformationsareimportantandhighlyintuitiveoperationswhicheasethecontrolandrenderingoflargefamiliesofthreedimensionalgeometricshapes.-AlanBarr…

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CAD&CG国 视点坐标

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CAD&CG国 l坐标原点C=(Cx,Cy,Cz)：相机的位置l单位向量N=(Nx,Ny,Nz)：镜头的朝向l与N不平行的向量UP：VNN

UV

CAD&CG国 四个矢量C、U、V、N 由世界坐标系到视点坐标系的取景变换

Uz 0 Cx 0

C

y

Ny

0

Cz

1

1 1(u,v,n)为视点坐标系中的

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CAD&CG国 投影变换：三维二l投影变换是在视点坐标系CUVN l平行投影：物体的相对度量保持不变(例如两

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CAD&CG国 投影点：通常取视点坐标系中(0,0,0) 的平面n=d。假设在视点坐标系中的点up

vp

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N

W

N

d

1/

CAD&CG国 沿N轴、投影平面在n=0的平行投upuvpvnp0

CAD&CG国 S 正投 斜投

CAD&CG国 CAD&CG国家重 l在进行投影变换时，只有位于视域四棱锥l平行投影的视域四棱锥是类似的，不过它的形

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CAD&CG国 在投影平面上，有一个矩形区域称为视

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