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第十一章动量定理§11–1质点系的动量或此式为质心的位矢表达通式质点系的动量还可以用质心的速度与总质量的乘积来度量.§11-2质点系的动量定理

设有一质点系{mi}(i=1、2、3、…)对整个质点系,动量定理可写成:微分号与求和号交换后:此五式均是动量定理的不同形式亦称质心运动定理对于一封闭的质量系统,(1)式可写成将动量用总质量与质心的速度的乘积表示,则(1)式可写成:

几点说明:1.前面的公式(1)(2)(3)(4)(5)的力学意义是等价的,适用于 不同的力学系统.其中(3)(4)两式也称为质心运动定理.前面五个公式是动量定理的导数形式,在本课程中最常用.还有相应的微分形式和积分形式.(见书上P246~247)动量定理是矢量定理,

在具体用到相应的公式时一般用的是其投影形式.最常用的是直角坐标系下的投影.(见书上P247)§11-3质点系动量守恒,质心运动守恒.

如果一质点系统的外力系的主矢等于零,(不可说外力系为零) 则系统的动量保持为一常矢量.

或系统的质心的速度为一常矢.

如果一质点系统的外力系的主矢在某一方向上的投影为零,

则系统的动量在此方向上的投影保持为一常量.

或系统的质心的速度在此方向上的投影不变. ▲:在什么情况下用动量定理?(1)求刚体尤其刚体系统或质点系统的约束反力及线加速度问题.(2)守恒条件下的速度、位移和运动轨迹问题.

O1ωm1gm2gO2φ例一.(书上例11–1)

电动机的外壳固定在水平基础上,定子的质量为m1,转子的质量为m2.设定子的质心位于转轴的中心O1,而转子的质心O2由于制造的误差到O1的距离为e.已知转子以匀角速度ω转动,求基础的支座反力.

解:取系统分析其受力与运动如图示,建立O1-xy坐标系(与静系固连).▲:(1)本题求出的Fx和Fy只是地脚螺栓和地面对基础底座作用力的等 效力.(2)即使有未知的约束力偶,本题不可能求得.动量定理的式子里不会 出现力偶或力矩.anxyFxFy用质心运动定理求解:

建立坐标系O1-xy如图示由质心坐标公式:xyFxO1FyωO2φm1gm2gan例二.重为P1的物块A沿倾角为α重量为W的斜面下滑,通过滑轮及绳 索带 动重为P2的物块B运动.略去各处摩擦,不计滑轮和绳索的重量 求:物块运动时,台阶和地面对斜面的约束反力.a2a1P1WP2a2a1P1WP2xy例三.(书上习16-7P256)

均质杆AB=L,直立于光滑的水平面上.求它从铅直位置无初速地倒下时,端点A的运动轨迹.OCαABxy例四.静止于水中的小船上,一个人自船头走到船尾.设人的质量为m2,船的质量为m1,船长为L,水的阻力不计.求船的位移.解:由题意,系统的质心在x方向守恒.因初始静止,故质心的水平坐标值始终为一常数.▲:(1)坐标系的位置与船的位移无 关,故可任选.(2)s的方向可选择与x轴方向 一致,其结果无负号.表明s 的实际方向向右.xxybaL

设船向左的位移为s,于是有:补例:一质量为210kg的小船静止地靠在岸边附近.船头站立一人,质量70kg.此人目测自 己离岸边的距离为0.8m,于是便采取了如下的方法上岸:先将身体的重心前倾 0.4m,然后迈腿前跨0.4m.结果他却踏入水中.假如他目测的距离是正确的.船在 水中的阻力忽略不计.

求他跨入水中时,脚离岸边的距离.解:人船系统质心守恒xy答:此人跨人水中,脚离岸边有0.1m.例六.(习11-10)

质量为m的滑块A可以水平光滑槽中运动,具有刚性系数为k的弹簧一端与滑块A相连,另一端固定.杆AB的长度为L,其质量忽略不计.其一端与滑块铰接,另一端固接一质量为m1的小球.小球在铅垂平面内可绕A点运动.设在力偶M

的作用下角速度ω是常数.求滑块A的运动微分方程.AkφMB=t解:取系统分析.选弹簧原长时与A点重合的点为坐标原点,

当滑块的A点运动到距坐标原点为x时,系统的受力及运动分析如图所示. ▲:此题的特点在于系统的水平力可用坐标表示而系统中有一个物体的运动情况已知,故可能用动量定理描述另一个物体的运动.xFωABφm1gFNLxFωABφm1gFNLy★定常流动的,不可压缩流体上的动反力问题.我们可以想象:一段管中的流体如果进口速度与出口速度不相等,(即使进出口的速率相等但是管道是弯曲的,则二者的速度仍不等.)表明这一段流体内产生了加速度.有加速度必有力作用在流体上.这力就是管壁作用在流体上的动反力.

如果流体是不可压缩的且定常流动的,我们便可通过动量定理得到相应的计算公式: 取一段液体分析,如图所示:AA′B′BDD′C′CAA′B′BDD′C′C例题:(书上习11-14)

已知:水的体积流量为qvm?/s,密度为ρkg/m?;水冲击叶片的速度为v1m/s,方向沿水平向左;水流出叶片的速度为v2m/s,且与水平线成θ角.

求:水柱对涡轮固定叶片的水平作用力.作业:思考题11–1(b)(c)(d)(f)习题11–211–4 11-811–1111-13补充习题.均质杆OA=2l,重P,绕过O端的水平轴在竖直面内转动.设转动到 与水平成角时其角速度与角加速度分别为

与.

求:此时OA杆在O端的约束反力.OAC解:取杆分析其运动和受力.

将O点的未知力沿质心运动的切向和法向分解.

OAC由质心运动定理法向投影:由质心运动定理切向投影:

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