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6.3.2

二项式系数的性质1．了解二项式系数的性质并能简单应用．2．掌握“赋值法”并会灵活应用．你从上面的表示形式可以直观地看出什么规律？

通过前面的学习，我们知道：(a＋b)n的展开式的二项式系数，当

n取正整数时可以表示成如下形式：(a＋b)11

1

(a＋b)21

2

1

(a＋b)31

3

3

1

(a＋b)41

4

6

4

1

(a＋b)51

5

10

10

5

1

(a＋b)61

6

15

20

15

6

1

1615201561(a+b)1(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)2(a+b)61112113311464115101051二项式系数的性质1．对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．实际上，由

，所以2．增减性与最大值二项式系数先增后减，当

n

为偶数时，中间的一项

取得最大值；当

n

为奇数时，中间的两项

与

相等，且同时取得最大值．3．各二项式系数的和已知令

，得这就是说，

的展开式的各二项式系数的和等于.二项式系数性质的应用例1.(1)已知

的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n＝(

)A．11

B．10

C．9

D．8(2)在

的二项展开式中与第3项二项式系数相同的项是(

)A．第8项B．第7项C．第9项 D．第10项CD1．二项式系数最大的项的求法求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质对

中的

n进行讨论：(1)当

n为偶数时，中间一项的二项式系数最大；(2)当

n为奇数时，中间两项的二项式系数最大．2．展开式中系数最大的项的求法求展开式中系数最大的项与求二项式系数最大的项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析．如求

(a，b∈R)的展开式中系数最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为A0，A1，A2，…，An，且第

项最大，应用

解出

k，即得出系数最大的项．1.(1)在

的二项展开式中，若只有x5的系数最大，则

n等于(

)A．8 B．9C．10 D．11(2)已知

的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中系数最大的项.C求二项展开的系数和例2.若

，求(1)；(2)；(3)；(4).二项展开式中系数和的求法(1)对形如

，

的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令

即可；对

的式子求其展开式各项系数之和，只需令

即可；(2)一般地，若

，则

f(x)展开式中：各项系数之和为

f(1)；奇数项系数之和为

；偶数项系数之和为.(3)赋值法是解决二项展开式中项的系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同的值.一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系.令

可得常数项；令

可得所有项系数之和；令

可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差.2.设

．(1)求

的值；(2)求

的值；(3)求

的值．

解：(1)令

，得

，令

，得

，所以

(2)由(1)①令

，得

②

①－②得

，所以.(3)因为

，所以k为奇数时，

，k为偶数时，

，故. 整除、求余数问题例3.(1)用二项式定理证明

能被100整除；(2)求

除以7的余数.解：(1)因为所以

能被100整除.(2)因为所以

被7除余数为4.整除性问题或求余数问题的处理方法(1)解决这类问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式；(2)用二项式定理处理这类问题，通常把被除数的底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面(或者是前面)的几项就可以了．

3.求

除以9的余数.解：因为显然上式括号内的数是正整数，故

除以9的余数为7.