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设周期为2l的周期函数f(x)满足收敛定理条件,则它的傅里叶展开式为(在f(x)的连续点处)其中定理.现在是1页\一共有20页\编辑于星期二证明:令,则令则所以且它满足收敛定理条件,将它展成傅里叶级数:(在F(z)的连续点处)变成是以2为周期的周期函数,现在是2页\一共有20页\编辑于星期二其中令(在f(x)的连续点处)证毕现在是3页\一共有20页\编辑于星期二说明:其中(在f(x)的连续点处)如果f(x)为偶函数,则有(在f(x)的连续点处)其中注:无论哪种情况,在f(x)的间断点x处,傅里叶级数收敛于如果f(x)为奇函数,则有现在是4页\一共有20页\编辑于星期二例1.交流电压经半波整流后负压消失,试求半波整流函数的解:这个半波整流函数,它在傅里叶级数.上的表达式为的周期是现在是5页\一共有20页\编辑于星期二现在是6页\一共有20页\编辑于星期二n>1

时现在是7页\一共有20页\编辑于星期二由于半波整流函数f(t)直流部分说明:交流部分由收收敛定理可得2k次谐波的振幅为

k越大振幅越小,因此在实际应用中展开式取前几项就足以逼近f(x)了.上述级数可分解为直流部分与交流部分的和.现在是8页\一共有20页\编辑于星期二例2.

把展开成(1)正弦级数;(2)余弦级数.解:(1)将f(x)作奇周期延拓,则有在x=2k处级数收敛于何值?现在是9页\一共有20页\编辑于星期二(2)将作偶周期延拓,则有现在是10页\一共有20页\编辑于星期二说明:此式对也成立,由此还可导出据此有现在是11页\一共有20页\编辑于星期二当函数定义在任意有限区间上时,方法1令即在上展成傅里叶级数周期延拓将在代入展开式上的傅里叶级数其傅里叶展开方法:现在是12页\一共有20页\编辑于星期二方法2令在上展成正弦或余弦级数奇或偶式周期延拓将代入展开式在即上的正弦或余弦级数现在是13页\一共有20页\编辑于星期二例3.将函数展成傅里叶级数.解:令设将F(z)延拓成周期为10的周期函数,理条件.由于F(z)是奇函数,故则它满足收敛定现在是14页\一共有20页\编辑于星期二利用欧拉公式二、傅里叶级数的复数形式设f(x)是周期为2l的周期函数,则现在是15页\一共有20页\编辑于星期二注意到同理现在是16页\一共有20页\编辑于星期二傅里叶级数的复数形式:因此得现在是17页\一共有20页\编辑于星期二式的傅里叶级数.例4.把宽为,高为h,周期为T的矩形波展成复数形解:在一个周期它的复数形式的傅里叶系数为内矩形波的函数表达式为现在是18页\一共有20页\编辑于星期二现在是19页\一共有20页\编辑于星期二为正弦级数.内容小结1.周期为2l的函数的傅里叶级数展开公式(x

间断点)其中当f(x)为奇函数时,(偶)(余弦)2.在任意有限区间上函数的傅里叶展开法变换延拓3.傅里叶级数的复数形式利用欧拉公式导出现在是20页\一共有20页\编辑于星期二

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