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第四章随机变量及其分布第一节随机变量及分布函数■重点A随机变量的概念分布函数的概念在前面的学习中我们用字母A、B、C∴表示事件,并视之为样本空间Ω的子集;本章,将用随机变量表示事件,以便于采用高等数学的方法描述、进而研究随机现象。若能将样本空间数量化即用数字来表示试验的结果将会带来很大的方便更便于用数学方法和工具来研究随机现象。有些随机试验的结果本来就可以用数量来表示例如(1)在掷骰子试验中结果用1,2,34,5,6来表示;(2)抽样中出现的废品数■有些随机试验的结果不是用数量来表示,但可数量化例如:掷硬币试验,其结果是用汉字“正面”和“反面”来表示可规定:用1表示“正面”,用0表示“反面”试验结果的数量化例设箱中有10个球,其中有2个红球,8个白球;从中任意抽取2个,观察抽球结果。取球结果为:两个白球两个红球;-红一白如果用X表示抽得的红球数,则X的取值为0,1,2。此时,两只红球”=“X取到值2”,可记为{X=2}一红一白”={X=1两只白球”={X=0}特点:试验结果数量化了,试验结果与数建立了1一个对应关系随机变量的定义■随机变量设随机试验的样本空间为9,如果对于每个样本点a∈,均有唯一的实数X(o)与之对应,称X=X(a)为样本空间9上的随机变量。例如:掷硬币试验其结果是用汉字“正面”和“反面”来表示的可规定:用1表示“正面”,用0表示“反面”m1=“正面“反面”则X(an)=1X(a2)2=0为简便起见,今后我们将事件A={叫X(o)=a}记为{X=a}关于随机变量的研究,是概率论的中心内容。前面我们所学的随机事件是从静态的观点来研究随机现象,而随机变量则是一种动态的观点。可以看出,随机事件这个概念是包容在随机变量这个更广的概念之内。如数学中常量与变量的区分那样,变量概念是高等数学有别于初等数学的基础概念。同样,概率论能从一些孤立事件的概念发展为一个更高的理论体系,其基础概念就是随机变量。随机变量的实倒例某灯泡厂所产的一批灯泡中灯泡的寿命X。X的可能取值为[,+∞)某电话总机在一分钟内收到的呼叫次数Y.Y的可能取值为0,1,2,3,…,M>在[⑩,1]区间上随机取点,该点的坐标XX的可能取值为[0,1]上的全体实数。随机变量根据其取值方式的不同,通常分为两类:离散型随机变量与连续型随机变量。后面将分别进行讲述。随机事件通常都可以用X的不同取值来表示如在掷骰子试验中,用X表示出现的点数,则“出现2点”可表示为:{X=2}“出现偶数点”可表示为:{X=2{X=4}{X=6}出现的点数大于2小于6可表示为:{3≤X5}对于有关求随机变量的问题,通常要解决两点:1、在一道题目当中随机变量可能取些什么值?2、随机变量取这些值以及随机变量属于数轴上任一集合S(即{X∈S})或区间的概率是多少?若解决了这两个问题(即对任S,P(X∈S)都知道),就说确定了随机变量X的概率分布