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数学期望和方差第一页，共九十四页，编辑于2023年，星期三

随机变量的平均取值——

数学期望随机变量取值平均偏离平均值的情况——

方差描述两个随机变量之间的某种关系的数——

协方差与相关系数本章内容第二页，共九十四页，编辑于2023年，星期三引例:测量50个圆柱形零件直径(见下表)

则这50个零件的平均直径为尺寸（cm）89101112数量（个）8715101050§4.1数学期望第三页，共九十四页，编辑于2023年，星期三换个角度看,从这50个零件中任取一个,它的尺寸为随机变量X,则X

的概率分布为XP

89101112则这50个零件的平均直径为称之为这5个数字的加权平均,数学期望的概念源于此.第四页，共九十四页，编辑于2023年，星期三数学期望的定义定义1.1

设离散型随机变量X的概率分布为若无穷级数绝对收敛，则称其和为随机变量

X

的数学期望或均值，记作E(X).第五页，共九十四页，编辑于2023年，星期三常见离散型随机变量的数学期望0－1分布

这时P(X=1)=p,P(X=0)=1-p.

故

E(X)=0×P(X=0)+1×P(X=1)=p.第六页，共九十四页，编辑于2023年，星期三(2)二项分布X的取值为0,1,…,n.且

P(X=k)=Cnk

pk

(1-p)n-k,k=0,1,…,n.第七页，共九十四页，编辑于2023年，星期三(3)泊松分布X的可能取值为0,1,2,…，且第八页，共九十四页，编辑于2023年，星期三(4)几何分布X的可能取值为1,2,…,且P(X=k)=qk-1p,k=1,2,….p+q=1.第九页，共九十四页，编辑于2023年，星期三注:在第三个等号中利用了等式这可以由等式两边同时对x求导数得到.第十页，共九十四页，编辑于2023年，星期三例1 对产品进行抽样，只要发现废品就认为这批产品不合格，并结束抽样。若抽样到第n件仍未发现废品则认为这批产品合格.假设产品数量很大，抽查到废品的概率是p，试求平均需抽查的件数.第十一页，共九十四页，编辑于2023年，星期三解：设X为停止检查时，抽样的件数，则X的可能取值为1,2,…,n，且第十二页，共九十四页，编辑于2023年，星期三第十三页，共九十四页，编辑于2023年，星期三定义1.2

设X为连续型随机变量,其密度函数为f(x)，若积分绝对收敛，则称此积分为随机变量X

的数学期望或均值，记作E(X).注意：随机变量的数学期望的本质就是加权平均数，它是一个数，不再是随机变量。第十四页，共九十四页，编辑于2023年，星期三常见连续型分布的数学期望

(5)指数分布E()随机变量X的密度为：第十五页，共九十四页，编辑于2023年，星期三第十六页，共九十四页，编辑于2023年，星期三设X的数学期望有限,概率密度f(x)关于定理1证明 g(x)是奇函数.第十七页，共九十四页，编辑于2023年，星期三推论第十八页，共九十四页，编辑于2023年，星期三例2设X的概率密度为：求E(X).解:注:由于f(x)是偶函数，由定理1.1也知E(X)=0.第十九页，共九十四页，编辑于2023年，星期三注意：不是所有的随机变量都有数学期望.例如：Cauchy分布的密度函数为但发散.它的数学期望不存在.注：虽然f(x)是偶函数，但不能用定理1.1.第二十页，共九十四页，编辑于2023年，星期三

设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不是X的数学期望，而是X的某个函数的数学期望，比如说g(X)的数学期望.那么应该如何计算呢？更一般的，已知随机向量(X1,X2…,Xn)的联合分布，

Y=

g(X1,X2…,Xn)是(X1,X2…,Xn)的函数,需要计算Y的数学期望，应该如何计算呢？我们下面就来处理这个问题.§4.2数学期望的性质第二十一页，共九十四页，编辑于2023年，星期三A.随机向量函数的数学期望

设X=(X1,…,Xn)为离散型随机向量，概率分布为Z=g(X1,…,Xn),若级数绝对收敛，则第二十二页，共九十四页，编辑于2023年，星期三随机向量函数的数学期望（续）

设X=(X1,…,Xn)为连续型随机向量，联合密度函数为

Z=g(X1,…,Xn),若积分绝对收敛，则第二十三页，共九十四页，编辑于2023年，星期三例3 设离散型随机向量X的概率分布如下表所示，求Z=X2的期望.X0

?11

E(Z)=g(0)0.5+g(-1)0.25+g(1)0.25解:=0.5注:这里的

第二十四页，共九十四页，编辑于2023年，星期三例4

设二维离散型随机向量(X,Y)的概率分布如下表所示,求:Z=X2+Y的期望.E(Z)=g(1,1)0.125+g(1,2)0.25+g(2,1)0.5+g(2,2)0.125解:=4.25注:这里的第二十五页，共九十四页，编辑于2023年，星期三例5

设随机变量X服从二项分布B(n,p),

Y=eaX,求E(Y).解:第二十六页，共九十四页，编辑于2023年，星期三例6

设X~

U[0,],Y=sinX,求E(Y).解:X的概率密度为所以第二十七页，共九十四页，编辑于2023年，星期三例7解：(1)设整机寿命为N,

五个独立元件,寿命分别为都服从参数为的指数分布，若将它们(1)串联；(2)并联成整机，求整机寿命的均值.

第二十八页，共九十四页，编辑于2023年，星期三即

N~E(5),

(2)设整机寿命为M,第二十九页，共九十四页，编辑于2023年，星期三

可见，并联组成整机的平均寿命比串联组成整机的平均寿命长11倍之多.注：128页的4.20与此例为同一模型。第三十页，共九十四页，编辑于2023年，星期三B.数学期望的性质

E(C)=C

E(aX)=aE(X)

E(X+Y)=E(X)+E(Y)

当X,Y相互独立时，E(XY)=E(X)E(Y).第三十一页，共九十四页，编辑于2023年，星期三注：性质4的逆命题不成立，即若E(XY)=E(X)E(Y)，X,Y不一定相互独立.第三十二页，共九十四页，编辑于2023年，星期三反例XYpij-101-1010p?jpi?第三十三页，共九十四页，编辑于2023年，星期三XY

P-101但第三十四页，共九十四页，编辑于2023年，星期三

若X≥0，且EX存在，则EX≥0.推论:

若X≤Y，则EX≤EY.证明：设

X为连续型，密度函数为f(x),则由X≥0得：所以证明：由已知Y-X≥0，则E(Y-X)≥0.而E(Y-X)=E(Y)-E(X),所以，E(X)≤E(Y).第三十五页，共九十四页，编辑于2023年，星期三例1性质2和3性质4 设X～N(10,4)，Y～U[1,5]，且X与Y相互独立，求E(3X＋2XY－Y＋5).解：由已知，有E(X)＝10,E(Y)＝3.第三十六页，共九十四页，编辑于2023年，星期三例2 二项分布B(n,p),设单次实验成功的概率是p，问n次独立重复试验中，期望几次成功？解:引入则

X＝是n次试验中的成功次数.因此，这里，X～B(n,p).第三十七页，共九十四页，编辑于2023年，星期三例3

将4个可区分的球随机地放入4个盒子中，每盒容纳的球数无限，求空着的盒子数的数学期望.解一:设

X为空着的盒子数,则X的概率分布为XP0123第三十八页，共九十四页，编辑于2023年，星期三解二:再引入Xi,i=

1,2,3,4.Xi

P10第三十九页，共九十四页，编辑于2023年，星期三例4

将n个球放入M个盒子中,设每个球落入各个盒子是等可能的,求有球的盒子数X的期望.解:引入随机变量:则X=X1+X2+…+XM,于是E(X)=E(X1)+E(X2)+…+E(XM).每个随机变量Xi都服从两点分布,i=1,2,…,M.第四十页，共九十四页，编辑于2023年，星期三 因为每个球落入每个盒子是等可能的均为1/M，所以，对第i个盒子,没有一个球落入这个盒子内的概率为(1-1/M).

故，n个球都不落入这个盒子内的概率为(1-1/M)n，即第四十一页，共九十四页，编辑于2023年，星期三注：129页4.27以此题为模型.第四十二页，共九十四页，编辑于2023年，星期三§4.2随机变量的方差

前面我们介绍了随机变量的数学期望,它体现了随机变量取值的平均,是随机变量的一个重要的数字特征.

但是在一些场合，仅仅知道随机变量取值的平均是不够的.第四十三页，共九十四页，编辑于2023年，星期三例如，甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，其落点距目标的位置如图：你认为哪门炮射击效果好一些呢?甲炮射击结果乙炮射击结果乙炮因为乙炮的弹着点较集中在中心附近，所以乙炮的射击效果好.

中心中心第四十四页，共九十四页，编辑于2023年，星期三

为此需要引进另一个数字特征,用它来度量随机变量取值在其中心附近的离散程度.这个数字特征就是我们下面要介绍的方差第四十五页，共九十四页，编辑于2023年，星期三A.方差的概念设随机变量X的数学期望为E(X),若E(X-E(X))2存在,则称它为X的方差（此时，也称X的方差存在)，记为Var(X)或D(X),即定义称Var(X)的算术平方根为X的标准差或均方差，记为(X).Var(X)=E(X-E(X))2第四十六页，共九十四页，编辑于2023年，星期三若X的取值比较分散，则方差较大.刻划了随机变量的取值相对于其数学期望的离散程度.若X的取值比较集中，则方差较。籚ar(X)=E[X-E(X)]2

方差第四十七页，共九十四页，编辑于2023年，星期三注意：1)Var(X)0，即方差是一个非负实数.2）当X服从某分布时，我们也称某分布的方差为Var(X).方差是刻划随机变量取值的分散程度的一个特征.第四十八页，共九十四页，编辑于2023年，星期三方差的计算公式(1)若X为离散型，概率分布为(2)若X为连续型，概率密度为f(x),则则第四十九页，共九十四页，编辑于2023年，星期三计算方差常用的公式证明:第五十页，共九十四页，编辑于2023年，星期三常见随机变量的方差

(1)参数为p的0－1分布

概率分布为：前面已经计算过：E(X)=p，又所以第五十一页，共九十四页，编辑于2023年，星期三

(2)二项分布B(n,p)

概率分布为：

已计算过：E(X)=np，又

所以第五十二页，共九十四页，编辑于2023年，星期三

(3)泊松分布P(λ)

概率分布为：

已计算过：E(X)=λ，又

所以第五十三页，共九十四页，编辑于2023年，星期三

(4)区间[a,b]上的均匀分布U[a,b]

概率密度为：

已计算过：E(X)=(a+b)/2，又

所以第五十四页，共九十四页，编辑于2023年，星期三

(5)指数分布E(λ)

概率密度为：

已计算过：E(X)=1/λ，又

所以第五十五页，共九十四页，编辑于2023年，星期三(6)正态分布N(,2)

概率密度为：

已计算过：E(X)=

，所以第五十六页，共九十四页，编辑于2023年，星期三B.方差的性质性质1 若X=C，C为常数，则

Var(X)=0.性质2

若b为常数,随机变量X的方差存在，则bX的方差存在,且Var(bX)=b2Var(X)Var(aX+b)=a2Var(X)结合性质1与性质2就有第五十七页，共九十四页，编辑于2023年，星期三性质3 若随机变量X1,X2,…,Xn的方差都存在，则X1+X2+...+Xn的方差存在，且第五十八页，共九十四页，编辑于2023年，星期三性质4若随机变量X1,X2,…,Xn相互独立，则n＝2时就有Var(XY)=Var(X)+Var(Y)2E(X-EX)(Y-EY)若X,Y独立，Var(XY)=Var(X)+Var(Y)第五十九页，共九十四页，编辑于2023年，星期三性质5 对任意常数C,Var(X)

E(X–C)2,等号成立当且仅当C=E(X).第六十页，共九十四页，编辑于2023年，星期三性质6注:以后若无特殊说明,都认为随机变量的方差大于0.Var(X)=0P(X=E(X))=1称X以概率1等于常数E(X).第六十一页，共九十四页，编辑于2023年，星期三例1 设X~B(n,p)，求Var(X).解：

引入随机变量故则由于相互独立，且第六十二页，共九十四页，编辑于2023年，星期三例2 （标准化随机变量） 设随机变量

X

的期望E(X)、方差D(X)都存在,且D(X)0,则称为X的标准化随机变量.显然，第六十三页，共九十四页，编辑于2023年，星期三例3则:

设X1,X2,…,Xn相互独立，有共同的期望和方差，证明:第六十四页，共九十四页，编辑于2023年，星期三例4

已知随机变量X1,X2,…,Xn相互独立，且每个Xi的期望都是0，方差都是1，令Y=X1+X2+…+Xn.求E(Y2).解：由已知，则有因此，第六十五页，共九十四页，编辑于2023年，星期三例5

设随机变量X和Y相互独立，且X～N(1,2),Y～N(0,1),

试求Z=2X-Y+3的期望和方差.

由已知，有E(X)=1,D(X)=2,E(Y)=0,D(Y)=1,

且X和Y独立.因此，解:第六十六页，共九十四页，编辑于2023年，星期三D(Z)=4D(X)+D(Y)=8+1=9.E(Z)=2E(X)－E(Y)+3=2+3=5,注：由此可知Z～N（5,9）.第六十七页，共九十四页，编辑于2023年，星期三一般地，第六十八页，共九十四页，编辑于2023年，星期三C.两个不等式

定理3.2(马尔可夫(Markov)不等式)对随机变量X和任意的

0，有第六十九页，共九十四页，编辑于2023年，星期三证明:设为连续型,密度函数为f(x),则第七十页，共九十四页，编辑于2023年，星期三上式常称为切比雪夫（Chebyshev）不等式

在马尔可夫不等式中取α=2,X为X-EX得是概率论中的一个基本不等式.

第七十一页，共九十四页，编辑于2023年，星期三例6

已知某种股票每股价格X的平均值为1元，标准差为0.1元，求a，使股价超过1+a元或低于1-a元的概率小于10%。解：由切比雪夫不等式令第七十二页，共九十四页，编辑于2023年，星期三定理3.3

(内积不等式或Cauchy-Schwarz不等式)设EX2

<∞，EY2

<∞则有第七十三页，共九十四页，编辑于2023年，星期三证明:注意到对任意的t,有所以g(t)作为t的二次多项式,其判别式≤0,即第七十四页，共九十四页，编辑于2023年，星期三§4.4协方差和相关系数问题

对于二维随机变量(X,Y):已知联合分布边缘分布第七十五页，共九十四页，编辑于2023年，星期三

这说明对于二维随机变量，除了每个随机变量各自的概率特性以外，相互之间可能还有某种联系. 问题是用一个什么样的数去反映这种联系.

数反映了随机变量X,Y之间的某种关系.第七十六页，共九十四页，编辑于2023年，星期三A.协方差和相关系数定义称为X,Y的协方差.记为可以证明协方差矩阵为半正定矩阵.为（X,Y）的协方差矩阵.称第七十七页，共九十四页，编辑于2023年，星期三若Var(X)>0,Var(Y)>0,称为X,Y的相关系数，记为事实上，若称X,Y不相关.无量纲的量第七十八页，共九十四页，编辑于2023年，星期三利用函数的期望或方差计算协方差

若(X,Y)为离散型，

若(X,Y)为连续型，

第七十九页，共九十四页，编辑于2023年，星期三例1求Cov(X,Y),XY10pqXP

10pqY

P

已知X,Y的联合分布为XYpij1010p0

0q0<p<1p+q=1解:10pqXY

P第八十页，共九十四页，编辑于2023年，星期三第八十一页，共九十四页，编辑于2023年，星期三例2.设(X,Y)~N(1,12,2,22,),求

XY解:第八十二页，共九十四页，编辑于2023年，星期三定理：若(X,Y)~N(1,12,2,22,),则X,Y相互独立X,Y不相关因此，第八十三页，共九十四页，编辑于2023年，星期三协方差和相关系数的性质

协方差的性质

第八十四页，共九十四页，编辑于2023年，星期三

当且仅当时，等式成立—Cauchy-Schwarz不等式第八十五页，共九十四页，编辑于2023年，星期三相关系数的性质

Cauchy-Schwarz不等式的等号成立即Y与X有线性关系的概率等于1，这种线性关系为第八十六页，共九十四页，编辑于2023年，星期三

X,Y不相关注：X与Y不相关仅仅是不线性相关，可以非线性相关.第八十七页，共九十四页，编辑于2023年，星期三

X,Y相互独立X,Y不相关若X,Y服从二维正态分布，X,Y相互独立X,Y不相关第八十八页，共九十四页，编辑于2023年，星期三例：最小二乘法的思想 若X,Y是两个随机变量，用X的线性函数去逼近Y所产生的均方误差为当取使得均方误差最小.若则线性逼近无意义.第八十九页，共九十四页，编辑于2023年，星期三第九十页，共九十四页，编辑于2023年，星期三例3

设(X,Y)~N(1,4;1,4;0.5),

Z=X+Y,

求

XZ解:第九十一页，共九十四页，编辑于2023年，星期三例4

设XN(0,4),YP(2),XY=1/2,求E(X+Y)2.解:E(X+Y)2=[E(X+Y)]2+Var(X+Y)=[EX+EY)]2+Var(X)+Var(Y)+2cov(X,Y)由题设知:EX=0,Var(X)=4,EY=2,Var(Y)=2,XY=1/2,而第九十二页，共九十四页，编辑于2023年，星期三注意到把条件代入即得

E(X+Y)2=第九十三页，共九十四页，编辑于2023年，星期三矩

设二维随机变量(X,Y),k,l为非负整数。

mk

=E(Xk)称为X的k阶原点矩，

k

=E(X-E(X))k称为X的k阶中心矩，

mkl=E(XkYl)称为X和Y的(k,l)阶混合原点矩，

kl=E[(X-E(X))k(Y-E(Y))l]称为X和Y的(k,l)阶混合中心矩.显然数学期望为1阶原点矩,方差为2阶中心矩,而协方差为(1,1)阶混合中心矩.第九十四页，共九十四页，编辑于2023年，星期三