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北京市东城区北京第二十二中学2024年高三数学第一学期期末调研试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.台球是一项国际上广泛流行的高雅室内体育运动,也叫桌球(中国粤港澳地区的叫法)、撞球(中国台湾地区的叫法)控制撞球点、球的旋转等控制母球走位是击球的一项重要技术,一次台球技术表演节目中,在台球桌上,画出如图正方形ABCD,在点E,F处各放一个目标球,表演者先将母球放在点A处,通过击打母球,使其依次撞击点E,F处的目标球,最后停在点C处,若AE=50cm.EF=40cm.FC=30cm,∠AEF=∠CFE=60°,则该正方形的边长为()A.50cm B.40cm C.50cm D.20cm2.已知等差数列的前项和为,若,则等差数列公差()A.2 B. C.3 D.43.已知椭圆的左、右焦点分别为,,上顶点为点,延长交椭圆于点,若为等腰三角形,则椭圆的离心率A. B.C. D.4.已知是虚数单位,则()A. B. C. D.5.已知等差数列{an},则“a2>a1”是“数列{an}为单调递增数列”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.已知为虚数单位,若复数,,则A. B.C. D.7.下列不等式正确的是()A. B.C. D.8.已知数列满足:,则()A.16 B.25 C.28 D.339.如图,中,点D在BC上,,将沿AD旋转得到三棱锥,分别记,与平面ADC所成角为,,则,的大小关系是()A. B.C.,两种情况都存在 D.存在某一位置使得10.已知命题p:“”是“”的充要条件;,,则()A.为真命题 B.为真命题C.为真命题 D.为假命题11.已知,则()A.5 B. C.13 D.12.已知双曲线C的两条渐近线的夹角为60°,则双曲线C的方程不可能为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.平面区域的外接圆的方程是____________.14.已知点是抛物线的准线上一点,F为抛物线的焦点,P为抛物线上的点,且,若双曲线C中心在原点,F是它的一个焦点,且过P点,当m取最小值时,双曲线C的离心率为______.15.函数满足,当时,,若函数在上有1515个零点,则实数的范围为___________.16.设、、、、是表面积为的球的球面上五点,四边形为正方形,则四棱锥体积的最大值为__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)4月23日是“世界读书日”,某中学开展了一系列的读书教育活动.学校为了解高三学生课外阅读情况,采用分层抽样的方法从高三某班甲、乙、丙、丁四个读书小组(每名学生只能参加一个读书小组)学生抽取12名学生参加问卷调查.各组人数统计如下:小组甲乙丙丁人数12969(1)从参加问卷调查的12名学生中随机抽取2人,求这2人来自同一个小组的概率;(2)从已抽取的甲、丙两个小组的学生中随机抽取2人,用表示抽得甲组学生的人数,求随机变量的分布列和数学期望.18.(12分)已知函数.(1)当时,求不等式的解集;(2)若的图象与轴围成的三角形面积大于6,求的取值范围.19.(12分)记为数列的前项和,N.(1)求;(2)令,证明数列是等比数列,并求其前项和.20.(12分)已知是递增的等比数列,,且、、成等差数列.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)设,,求数列的前项和.21.(12分)在平面直角坐标系中,曲线C的参数方程为(为参数).以原点为极点,x轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系.(1)求曲线C的极坐标方程;(2)直线(t为参数)与曲线C交于A,B两点,求最大时,直线l的直角坐标方程.22.(10分)已知函数.(1)当a=2时,求不等式的解集;(2)设函数.当时,,求的取值范围.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】
过点做正方形边的垂线,如图,设,利用直线三角形中的边角关系,将用表示出来,根据,列方程求出,进而可得正方形的边长.【题目详解】过点做正方形边的垂线,如图,设,则,,则,因为,则,整理化简得,又,得,.即该正方形的边长为.故。篋.【题目点拨】本题考查直角三角形中的边角关系,关键是要构造直角三角形,是中档题.2、C【解题分析】
根据等差数列的求和公式即可得出.【题目详解】∵a1=12,S5=90,∴5×12+d=90,解得d=1.故选C.【题目点拨】本题主要考查了等差数列的求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.3、B【解题分析】
设,则,,因为,所以.若,则,所以,所以,不符合题意,所以,则,所以,所以,,设,则,在中,易得,所以,解得(负值舍去),所以椭圆的离心率.故选B.4、B【解题分析】
根据复数的乘法运算法则,直接计算,即可得出结果.【题目详解】.故选B【题目点拨】本题主要考查复数的乘法,熟记运算法则即可,属于基础题型.5、C【解题分析】试题分析:根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可.解:在等差数列{an}中,若a2>a1,则d>0,即数列{an}为单调递增数列,若数列{an}为单调递增数列,则a2>a1,成立,即“a2>a1”是“数列{an}为单调递增数列”充分必要条件,故选C.考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断.6、B【解题分析】
由可得,所以,故选B.7、D【解题分析】
根据,利用排除法,即可求解.【题目详解】由,可排除A、B、C选项,又由,所以.故选D.【题目点拨】本题主要考查了三角函数的图象与性质,以及对数的比较大小问题,其中解答熟记三角函数与对数函数的性质是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.8、C【解题分析】
依次递推求出得解.【题目详解】n=1时,,n=2时,,n=3时,,n=4时,,n=5时,.故。篊【题目点拨】本题主要考查递推公式的应用,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9、A【解题分析】
根据题意作出垂线段,表示出所要求得、角,分别表示出其正弦值进行比较大。佣卸铣鼋堑拇笮。纯傻么鸢福咎饽肯杲狻坑商饪傻霉阕鹘挥诘,过作的垂线,垂足为,则易得,.设,则有,,,可得,.,,;,;,,,.综上可得,.故。海咎饽康悴Α勘咎饪疾榭占渲毕哂肫矫嫠傻慕堑拇笮」叵,考查三角函数的图象和性质,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10、B【解题分析】
由的单调性,可判断p是真命题;分类讨论打开绝对值,可得q是假命题,依次分析即得解【题目详解】由函数是R上的增函数,知命题p是真命题.对于命题q,当,即时,;当,即时,,由,得,无解,因此命题q是假命题.所以为假命题,A错误;为真命题,B正确;为假命题,C错误;为真命题,D错误.故。築【题目点拨】本题考查了命题的逻辑连接词,考查了学生逻辑推理,分类讨论,数学运算的能力,属于中档题.11、C【解题分析】
先化简复数,再求,最后求即可.【题目详解】解:,,故。篊【题目点拨】考查复数的运算,是基础题.12、C【解题分析】
判断出已知条件中双曲线的渐近线方程,求得四个选项中双曲线的渐近线方程,由此确定选项.【题目详解】两条渐近线的夹角转化为双曲渐近线与轴的夹角时要分为两种情况.依题意,双曲渐近线与轴的夹角为30°或60°,双曲线的渐近线方程为或.A选项渐近线为,B选项渐近线为,C选项渐近线为,D选项渐近线为.所以双曲线的方程不可能为.故。篊【题目点拨】本小题主要考查双曲线的渐近线方程,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解题分析】
作出平面区域,可知平面区域为三角形,求出三角形的三个顶点坐标,设三角形的外接圆方程为,将三角形三个顶点坐标代入圆的一般方程,求出、、的值,即可得出所求圆的方程.【题目详解】作出不等式组所表示的平面区域如下图所示:由图可知,平面区域为,联立,解得,则点,同理可得点、,设的外接圆方程为,由题意可得,解得,,,因此,所求圆的方程为.故答案为:.【题目点拨】本题考查三角形外接圆方程的求解,同时也考查了一元二次不等式组所表示的平面区域的求作,考查数形结合思想以及运算求解能力,属于中等题.14、【解题分析】
由点坐标可确定抛物线方程,由此得到坐标和准线方程;过作准线的垂线,垂足为,根据抛物线定义可得,可知当直线与抛物线相切时,取得最小值;利用抛物线切线的求解方法可求得点坐标,根据双曲线定义得到实轴长,结合焦距可求得所求的离心率.【题目详解】是抛物线准线上的一点抛物线方程为,准线方程为过作准线的垂线,垂足为,则设直线的倾斜角为,则当取得最小值时,最。耸敝毕哂肱孜锵呦嗲猩柚毕叩姆匠涛,代入得:,解得:或双曲线的实轴长为,焦距为双曲线的离心率故答案为:【题目点拨】本题考查双曲线离心率的求解问题,涉及到抛物线定义和标准方程的应用、双曲线定义的应用;关键是能够确定当取得最小值时,直线与抛物线相切,进而根据抛物线切线方程的求解方法求得点坐标.15、【解题分析】
由已知,在上有3个根,分,,,四种情况讨论的单调性、最值即可得到答案.【题目详解】由已知,的周期为4,且至多在上有4个根,而含505个周期,所以在上有3个根,设,,易知在上单调递减,在,上单调递增,又,.若时,在上无根,在必有3个根,则,即,此时;若时,在上有1个根,注意到,此时在不可能有2个根,故不满足;若时,要使在有2个根,只需,解得;若时,在上单调递增,最多只有1个零点,不满足题意;综上,实数的范围为.故答案为:【题目点拨】本题考查利用导数研究函数的零点个数问题,涉及到函数的周期性、分类讨论函数的零点,是一道中档题.16、【解题分析】
根据球的表面积求得球的半径,设球心到四棱锥底面的距离为,求得四棱锥的表达式,利用基本不等式求得体积的最大值.【题目详解】由已知可得球的半径,设球心到四棱锥底面的距离为,棱锥的高为,底面边长为,的体积,当且仅当时等号成立.故答案为:【题目点拨】本小题主要考查球的表面积有关计算,考查球的内接四棱锥体积的最值的求法,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)见解析,【解题分析】
(1)采用分层抽样的方法甲组抽取4人,乙组抽取3人,丙组抽取2人,丁组抽取3人,从参加问卷调查的12名学生中随机抽取2人,基本事件总数为,这两人来自同一小组取法共有,由此可求出所求的概率;(2)从已抽取的甲、丙两个小组的学生中随机抽取2人,而甲、丙两个小组学生分别有4人和2人,所以抽取的两人中是甲组的学生的人数的可能取值为0,1,2,分别求出相应的概率,由此能求出随机变量的分布列和数学期望.【题目详解】(1)由题设易得,问卷调查从四个小组中抽取的人数分别为4,3,2,3(人),从参加问卷调查的12名学生中随机抽取两名的取法共有(种),抽取的两名学生来自同一小组的取法共有(种),所以,抽取的两名学生来自同一个小组的概率为(2)由(1)知,在参加问卷调查的12名学生中,来自甲、丙两小组的学生人数分别为4人、2人,所以,抽取的两人中是甲组的学生的人数的可能取值为0,1,2,因为所以随机变量的分布列为:012所求的期望为【题目点拨】此题考查概率的求法,考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法,考查分层抽样、古典概型、排列组合等知识,考查运算能力,属于中档题.18、(Ⅰ)(Ⅱ)(2,+∞)【解题分析】试题分析:(Ⅰ)由题意零点分段即可确定不等式的解集为;(Ⅱ)由题意可得面积函数为为,求解不等式可得实数a的取值范围为试题解析:(I)当时,化为,当时,不等式化为,无解;当时,不等式化为,解得;当时,不等式化为,解得.所以的解集为.(II)由题设可得,所以函数的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别为,,,的面积为.由题设得,故.所以a的取值范围为19、(1);(2)证明见详解,【解题分析】
(1)根据,可得,然后作差,可得结果.(2)根据(1)的结论,用取代,得到新的式子,然后作差,可得结果,最后根据等比数列的前项和公式,可得结果.【题目详解】(1)由①,则②②-①可得:所以(2)由(1)可知:③则④④-③可得:则,且令,则,所以数列是首项为,公比为的等比数列所以【题目点拨】本题主要考查递推公式以及之间的关系的应用,考验观察能力以及分析能力,属中档题.20、(Ⅰ);(Ⅱ).【解题分析】
(Ⅰ)设等比数列的公比为,根据题中条件求出的值,结合等比数列的通项公式可得出数列的通项公式;(Ⅱ)求得,然后利用裂项相消法可求得.【题目详解】(Ⅰ)设数列的公比为,由题意及,知.、、成等差数列成等差数列,,,即,解得或(舍去),.数列的通项公式为;(Ⅱ),.【题目点拨】本题考查等比数列通项的求解,同时也考查了裂项求和法,考查计算能力,属于基础题.21、(1);(2).【解题分析】
(1)利用消去参数,得到曲线的普通方程,再将,代入普通方程,即可求出结论;(2)由(1)得曲线表示圆,直线曲线C交于A,B两点,最大值为圆的直径,直线过圆心,即可求出直线的方程.【题目详解】(1)由曲线C的参数方程(为参数),可得曲线C的普通方程为,因为,所以曲线C的极坐标方程为,即.(2)因为直线(t为参数)表示的是过点的直线,曲线C的普通方程为,所以当最大时,直线l经过圆心.直线l的斜率为,方程为,所以直线l的直角坐标方程为.【题目点拨】本题考查参数方程与普通方程互化、直角坐标方程与极坐标方程互化、直线与曲线的位置关系,考查化归和转化思想,属于中档题.22、(1);(2).【解题分析】试题分析:(1)当时;(2)由等价于,解之得.试题解析:(1)当时,.解不等式,得.因此,的解集为.(2)当时,,当时等号成立,所以当时,等价于.①当时,①等价于,无解.当时,①等价于,解得.所以的取值范围是.考点:不等式选讲.
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