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山东省济南市高级中学2021年高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知全集,集合，则

(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：【知识点】补集及其运算．A1A

解析：根据补集的定义，?UA是由所有属于集合U但不属于A的元素构成的集合，由已知，有且仅有0，4符合元素的条件．?UA={0，4}，故选A．【思路点拨】根据补集的定义直接求解：?UA是由所有属于集合U但不属于A的元素构成的集合．2.某学校安排甲、乙、丙、丁四位同学参加数学、物理、化学竞赛，要求每位同学仅报一科，每科至少有一位同学参加，且甲、乙不能参加同一学科，则不同的安排方法有（）A．36种B．30种C．24种D．6种参考答案：B考点：计数原理的应用．专题：排列组合．分析：先不考虑学生甲，乙不能同时参加同一学科竞赛，从4人中选出两个人作为一个元素，同其他两个元素在三个位置上排列，其中有不符合条件的，即甲乙两人在同一位置，去掉即可．解答：解：从4人中选出两个人作为一个元素有C42种方法，同其他两个元素在三个位置上排列C42A33=36，其中有不符合条件的，即学生甲，乙同时参加同一学科竞赛有A33种结果，∴不同的参赛方案共有36﹣6=30，故。築点评：对于复杂一点的排列计数问题，有时要先整体再部分，有时排列组合和分步计数原理，分类计数原理一起出现，有时分类以后，每类方法并不都是一步完成的，必须在分类后又分步，综合利用两个原理解决，即类中有步，步中有类．3.设映射是集合到集合的映射。若对于实数，在中不存在对应的元素，则实数的取值范围是A.

B.Ｃ.D.参考答案：B4.已知集合，则A．

B．

C．

D．参考答案：.试题分析：由题意知，，所以，故应选.考点：1、集合间的基本关系；5.一个几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：D6.已知函数f（x）是定义在[a﹣1，2a]上的偶函数，且当x＞0时，f（x）单调递增，则关于x的不等式f（x﹣1）＞f（a）的解集为（）A． B．C． D．随a的值而变化参考答案：C【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】具有奇偶性的函数定义域关于原点对称可求得a值，由偶函数性质知，f（x﹣1）＞f（a）可化为f（|x﹣1|）＞f（），根据f（x）的单调性可得|x﹣1|＞，再考虑到定义域即可解出不等式．【解答】解：因为f（x）是定义在[a﹣1，2a]上的偶函数，所以（a﹣1）+2a=0，解得a=．则f（x）定义域为[﹣，]．由偶函数性质知，f（x﹣1）＞f（a）可化为f（|x﹣1|）＞f（），又x＞0时，f（x）单调递增，所以|x﹣1|＞①，又﹣≤x﹣1②，联立①②解得x＜或＜x≤，故不等式f（x﹣1）＞f（a）的解集为[，）∪（，]．故选C．7.在中，内角的对边分别为,若的面积为,且,则等于（

）A.

B.

C.

D.参考答案：【知识点】正弦定理余弦定理C8C由余弦定理，联立，得，，即，结合，得或（舍），从而，，故选C.【思路点拨】联立和，得，从而可求.8.已知集合A={x|x＜a}，B={x|1≤x＜2}，且A∪（?UB）=R，则实数a的取值范围是(

)A．a≤1 B．a＜1 C．a≥2 D．a＞2参考答案：C【考点】并集及其运算．【专题】集合．【分析】根据全集R以及B求出B的补集，由A与B补集的并集为R，确定出a的范围即可．解：∵B={x|1≤x＜2}，∴?RB={x|x＜1或x≥2}，∵A={x|x＜a}，A∪（?RB）=R，∴a的范围为a≥2，故。篊．【点评】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．9.已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为A.

B.

C.

D.参考答案：A10.若,则方程有实数根的概率为(

)..

.

.

.参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数f(x)=ax+的值域为_________.参考答案：令则且，所以，所以原函数等价为，函数的对称轴为，函数开口向上。因为，所以函数在上函数单调递增，所以，即，所以函数的值域为。12.在中，若，则．参考答案：313.已知双曲线的一条渐近线和圆相切，则该双曲线的离心率为

参考答案：略14.若，则下列不等式对一切满足条件的恒成立的是

．（写出所有正确命题的编号）．①；

②；

③；④；

⑤参考答案：①③⑤15.某几何体的三视图如图所示（单位cm)则3个这样的几何体的体积之和为_________参考答案：16.对于定义在D上的函数f（x），若存在距离为d的两条直线y=kx+m1和y=kx+m2，使得对任意x∈D都有kx+m1≤f（x）≤kx+m2恒成立，则称函数f（x）（x∈D）有一个宽度为d的通道．给出下列函数：①f（x）=；②f（x）=sinx；③f（x）=；④f（x）=其中在区间[1，+∞）上通道宽度可以为1的函数有（写出所有正确的序号）．参考答案：①③④【考点】函数恒成立问题．【分析】对4个函数逐个分析其值域或者图象的特征，即可得出结论．【解答】解：函数①，在区间[1，+∞）上的值域为（0，1]，满足0≤f（x）≤1，∴该函数在区间[1，+∞）上通道宽度可以为1；函数②，在区间[1，+∞）上的值域为[﹣1，1]，满足﹣1≤f（x）≤1，∴该函数在区间[1，+∞）上通道宽度可以为2；函数③，在区间[1，+∞）上的图象是双曲线x2﹣y2=1在第一象限的部分，其渐近线为y=x，满足x﹣1≤f（x）≤x，∴该函数在区间[1，+∞）上通道宽度可以为1；函数④，在区间[1，+∞）上的值域为[0，]，满足0≤f（x）≤1，∴该函数在区间[1，+∞）上通道宽度可以为1．故满足题意的有①③④．故答案为①③④．17.已知函数存在反函数，若函数的图象经过点，则的值是

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知点、,()是曲线C上的两点，点、关于轴对称，直线、分别交轴于点和点，（Ⅰ）用、、、分别表示和;（Ⅱ）某同学发现，当曲线C的方程为：时，是一个定值与点、、的位置无关；请你试探究当曲线C的方程为：时，的值是否也与点M、N、P的位置无关；（Ⅲ）类比（Ⅱ）的探究过程，当曲线C的方程为时，探究与经加、减、乘、除的某一种运算后为定值的一个正确结论.(只要求写出你的探究结论，无须证明).参考答案：解：（Ⅰ）依题意N(k,－l)，且∵klmn≠0及MP、NP与轴有交点知：……2分M、P、N为不同点，直线PM的方程为，……3分则，同理可得

ks5u…6分（Ⅱ）∵M,P在椭圆C：上,,(定值).∴的值是与点M、N、P位置无关

.……………11分（Ⅲ）一个探究结论是：．

………14分提示：依题意,,.∵M,P在抛物线C：y2=2px(p>0)上,∴n2=2pm,l2=2pk..∴为定值.19.（13分）如图所示，设F是抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点，过点F作斜率分别为k1、k2的两条直线l1、l2，且k1?k2=﹣1，l1与E相交于点A、B，l2与E相交于点C，D．已知△AFO外接圆的圆心到抛物线的准线的距离为3（O为坐标原点）．（1）求抛物线E的方程；（2）若?+?=64，求直线l1、l2的方程．参考答案：（1）由题意，F（0，），△AFO外接圆的圆心在线段OF的垂直平分线y=上，∴+=3，∴p=4．∴抛物线E的方程是x2=8y；（2）设直线l1的方程y=k1x+2，代入抛物线方程，得y2﹣（8k12+4）y+4=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=8k12+4，y1y2=4设C（x3，y3），D（x4，y4），同理可得y3+y4=+4，y3y4=4∴?+?=32+16（k12+）≥64，当且仅当k12=，即k1=±1时取等号，∴直线l1、l2的方程为y=x+2或y=﹣x+2．20.（本小题满分13分）已知各项均为正数的数列中，，为数列的前项和．（Ⅰ）若数列，都是等差数列，求数列的通项公式；（Ⅱ）若，试比较与的大。慰即鸢：命题意图：本题综合考察等差数列的通项公式、裂项求和，中等题．（Ⅰ）数列，都是等差数列，设数列的公差为，则

得，

∴

…………………5分（Ⅱ）由于①当时，②由①-②得：又

∴

，………10分又∴∴

……………13分21.某中学高一期中考试结束后，从高一kok电子竞技1000名学生中任意抽取50名学生，将这50名学生的某一科的考试成绩（满分150分）作为样本进行统计，并作出样本成绩的频率分布直方图（如图）．（1）由于工作疏忽，将成绩[130，140）的数据丢失，求此区间的人数及频率分布直方图的中位数；（结果保留两位小数）（2）若规定考试分数不小于120分为优秀，现从样本的优秀学生中任意选出3名学生，参加学习经验交流会．设X表示参加学习经验交流会的学生分数不小于130分的学生人数，求X的分布列及期望；（3）视样本频率为概率．由于特殊原因，有一个学生不能到学校参加考试，根据以往考试成绩，一般这名学生的成绩应在平均分左右．试根据以上数据，说明他若参加考试，可能得多少分？（每组数据以区问的中点值为代表）参考答案：（1）8,117.14；（2）见解析；（3）115.4【分析】（1）先求出这50名学生成绩在各区间的频率及人数，由此能求出，的频率为0.16，人数为8，从而能求出中位数．（2）考试分数不小于120分的优秀学生有23人，表示参加教学交流会的不小于130分的学生人数的取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和．（3）利用频率分布直方图能求出平均分．【详解】（1）这50名学生成绩在各区间的频率及人数如下：[60，70）的频率为0.02，人数为1，[70，80）的频率为0.04，人数为2，[80，90）的频率为0.02，人数为1，[90，100）的频率为0.14，人数为7，[100，110）的频率为0.18，人数为9，[110，120）的频率为0.14，人数为7，[120，130）的频率为0.2，人数为10，[140，150）的频率为0.1，人数为5，∴[130，140）的频率为0.16，人数为8，∵中位数把频率分布直方图分成左右面积相等，设中位数为m，[60，110）的频率和为：0.02+0.04+0.02+0.14+0.18＝0.4，[110，120）的频率为0.14，∴（m﹣110）×0.14＝0.5﹣0.4＝0.1，解得m＝≈117.14．所以频率分布直方图的中位数为117.14．（2）考试分数不小于120分的优秀学生有23人，X表示参加教学交流会的不小于130分的学生人数的取值为0，1，2，3，P（X＝0）＝，P（X＝1）＝，P（X＝2）＝，P（X＝3），∴X的分布列为：0123

E（X）；（3）平均分W＝65×0.02+75×0.04+85×0.02+95×0.14+105×0.18+115×0.14+125×0.2+135×0.16+145×0.1＝115.4，∴该学生可能得分为115.4分．【点睛】本题考查频率、中位数、平均数、离散型随机变量概率分布列、数学期望的求法，考查频率分布直方图、古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．22.（本题满分13分）已知椭圆：的离心率为，右焦点到直线的距离为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过椭圆右焦点F2斜率为（）的直线与椭圆相交于两点，为椭圆的右顶点，直线分别交直线于点，线段的中点为，记直线的斜率为，求证：为定值．参考答案：（Ⅰ）由题意得，，……………2分所以，，所求椭圆方程为．

……4分（Ⅱ）设过点的直线方程为：，设点，点

…………………5分将直线方程代入椭圆整理得：…………………6分因为点在椭圆内，所以直线和椭圆都相交，恒成立，且

…………7分直线的方程为：，直线的方程为：令，得点，，所以点的坐标

…………………9分直线的斜率为………11分将代入上式得：所以为定值

…………………13分