数值方法第七章_第1页
数值方法第七章_第2页
数值方法第七章_第3页
数值方法第七章_第4页
数值方法第七章_第5页
已阅读5页,还剩18页未读, 继续免费阅读

下载本文档

kok电子竞技权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领

kok电子竞技:文档简介

考虑一阶常微分方程的初值问题/*Initial-ValueProblem*/:其中f(x,y)为x,y的已知函数,y0为给定的初始值第六章常微分方程数值解/*NumericalMethodsforOrdinaryDifferentialEquations*/例如:其解析解为:只有一些特殊类型的微分方程问题能够得到用解析表达式表示的函数解,而大量的微分方程问题很难得到其解析解。这是微积分的发明者之一Leibniz在1686年曾经让当时数学界人士求解的一阶微分方程式,吸引了许多数学家的注意,大约经过150年的探索到1838年,刘维尔(Liouville)在理论上证明了这个微分方程不能用初等积分法求解,得借助于数值方法

只能依赖于数值方法去获得微分方程的数值解。

数值方法的基本思想是:在解的存在区间上取n+1个节点

这里hi可以不相等,但一般取成相等的,这时在这些节点上采用离散化方法,(通常用数值积分、微分、泰勒展开等)将上述初值问题化成关于离散变量的相应问题。把这个相应问题的解yn作为y(xn)的近似值。这样求得的yn就是上述初值问题在节点xn上的数值解。一般说来,不同的离散化导致不同的方法。,i=0,1,…,n-1称为由xi到xi+1的步长。步进式:根据已知的或已求出的节点上的函数值计算当前节点上的函数值,一步一步向前推进。因此只需建立由已知的或已求出的节点上的函数值求当前节点函数值的递推公式即可。§1欧拉方法

/*Euler’sMethod*/

欧拉公式:x0x1向前差商近似导数记为亦称为欧拉折线法

/*Euler’spolygonalarcmethod*/

也称欧拉折线法.用这条折线近似地代替曲线由Euler法所得的折线明显偏离了积分曲线,可见此方法非常粗糙。例用欧拉法求初值问题当h=0.02时在区间[0,0.1]上的数值解。解:把代入欧拉法计算公式,得具体计算结果nxnyny(xn)n=y(xn)-

yn001.00001.0000010.020.98200.98250.000520.040.96500.96600.000530.060.94890.95030.001440.080.93360.93540.001850.100.91920.9230.0021表中y(xn),是初迟值问粪题的搅真解在xn上的哗值。为近斯似值yn的误矛差。从表橡中可葡以看征出,埋随着n的增所大,狠误差广也在胆增大璃,所竭以说劲,欧降拉法掀计算滥简便始,对甩一些齐问题文有较宜大的叨使用凡价值隔,但榆是,感它的皂误差戴较大俘,所胁得的填数值进解精偏确度吩不高回。定义在假设yi=y(xi),即第i步计算是精确的前提下,考虑的截断误差Ri=y(xi+1)

yi+1称为局部截断误差/*localtruncationerror*/。定义若某算法的局部截断误差为O(hp+1),则称该算法有p阶精度。欧拉誓法的竭局部界截断她误差柜:欧拉违法具咱有1阶精装度。Ri的主项/*最l饱ea闭di情ng铺t坟er胶m抵*/衡量繁求解况公式贺好坏糟的一唇个主粘要标密准是病求解驼公式马的精喘度,因此卡引入茎局部娱截断探误差斧和阶弓数的抢概念令。Eu屡le仿r’岗s粉Me马th情od欧拉吧公式惨的改策进:隐式刃欧拉章法/*凶i粪mp浙li右ci屿t伐Eu像le设r全me估th却od殖*席/向后差商近似导数x0x1))(,()(1101xyxfhyxy+)1,...,0(),(111-=+=+++niyxfhyyiiii§狗E岩ul齿er鼓’s戴M浩et客ho测d由于羞未知这数yi+1同时责出现锁在等斜式的寄两边街,不洁能直画接得凭到,胖故称卵为隐式/*奶i古mp赵li血ci像t叮*/欧拉抱公式息,而前仰者称搅为显式/*各e雀xp葛li倘ci祝t广*/欧拉叛公式递。一般垃先用虎显式脂计算投一个娃初值愈,再迭代求解榴。隐式欧拉锯法的税局部遮截断偏误差完:即隐式平欧拉飞公式们具有1阶精倡度。Hey!Isn’ttheleadingtermofthelocaltruncationerrorofEuler’smethod?Seemsthatwecanmakeagooduseofit…§竿E嫁ul残er族’s祖M液et着ho烘d梯形脂公式/*辉t钩ra继pe耻zo惊id杠f哪or湖mu毯la纳*战/—显、没隐式左两种这算法知的平均注:局部糕截断骄误差即梯竿形公救式具富有2阶精俭度,熔比欧慰拉方绕法有葱了进喜步。但注肤意到循该公昌式是隐式公式闲,计算预时不贞得不辨用到中迭代慈法,钳其迭佩代收孕敛性纠与欧笔拉公岭式相昂似。例在区泼间[0循,挡1.淡5]上,取h=腾0.起1,求解旷。本题的精确解为,可用来检验近似解的精难确程味度。秃计算歇结果桨如下蚊表:xn欧拉台法yn迭代搅一次梯形移公式yn准确借解01110.锤11.储11.跑09圆59晒091.仇09狗54拳450.铺21.稀19店18馋181.退18填40现961.蝴18酸32草160.满31.拐27并74扁381.嗓26妹02占011.含26喘49忌110.丈41.米35抢82眼131.挤34旺33诞601.年34催16瘦410.榆51.担43胜51拨331.把41键61皱021.抗41晨42询140.买61.春50蜘89龙661.剖48好29冶561.韵48乱32隙400.爽71.喜58订03西381.寇55走25那151.赛54帮91指930.浇81.英64颠97糕831.轿61阴64基761.爽61始24静520.侨91.芦71父77颜791.铜67延81欢681.孔67联33梦201.拔01.柱78晶47肾701.求73词78黄691.塑73允20毒511.吧11.继85宝11垃81.冲79钞58舞221.爷78草88雄541.冤21.麦91边74税641.莲85跌22忌421.阁84季39判091.笑31.语98嚼40洪461.异90伪73机231.拿89傻73宽671.羞42.麻05迁14挺041.侵96仙12尊531.旨94次93领591.丢52.纠12勾00均522.蜜01挥42静072.客00闭00歪00中点持欧拉悉公式/*筝m猾id尊po徒in鼻t且fo稠rm泥ul豪a育*/中心差商近似导数x0x2x1假设,则可以导出即中点公式具有2阶精度。需要2个初因值y0和y1来启估动递神推过程忍,这外样的界算法懂称为双步影法/*肃d止ou在bl丸e-巨st货epme怜th匹od焦*没/,而前砌面的陷三种阁算法朴都是单步鄙法/*菌s愤in爱gl鞠e-伸st近ep蛋m绝et独ho睡d择*/。方法§耽E哀ul档er分’s全M浇et拿ho市d显式欧拉隐式欧拉梯形公式中点公式简单精度内低稳定茶性最故好精度震低,计算妇量大精度醉提高计算旷量大精度列提高,显式多一个蒸初值,可能制影响村精度Ca术n’锤t除yo减u扩gi剑ve存m拐e参a硬fo钉rm陕ul口awi剖th受a见ll注t我he咐a谨dv歉an括ta验ge绣s椅ye宣t波wi去th栏ou限t骗an管yof品t叶he萌d侧iskok电子竞技ad宴va宾nt狐ag桂es冈?Do验y释ou篮t凯hi烂nk绵i甩t逗po债ss烫ib色le委?We椅ll慎,扰ca客ll尽m虹e旺gr疾ee可dy湾…OK寻,亦le沫t’市s费ma臣ke鱼i验t市po盖ss员ib鉴le主.改进缘瑞欧拉挽法/*击m岗od言if酱ie孕d虾Eu荐le商r’祖s周me渴th强od丽*定/Step1:先用显式欧拉公式作预测,算出),(1iiiiyxfhyy+=+Step2:再将代入隐式梯形公式的右边作校正,得到1+iy)],(),([2111+++++=iiiiiiyxfyxfhyy注:此法斤亦称次为预测-校正估法/*抓p猾re锣di汽ct蔑or倚-c猪or贸re钉ct闷or闻m特et医ho凳d蚁*/。可以恭证明铲该算将法具胆有2阶精培度,随同时蹈可以绒看到岁它是反个单步递推存格式纤,比饰隐式塑公式绳的迭截代求轧解过敞程简单。后含面将坚看到桌,它截的稳定忠性高于显翼式欧尚拉法董。§温Eu阶le重r’完s府Me毯th察od§2龙格-库塔缝法/*Ru论ng拢e-欺Ku眉tt猪aMe贪th捎od似*肚/建立高精度的单步递推格式。单步递推法的基本思想是从(xi,yi)点出发,以某一斜率沿直线达到(xi+1

,yi+1

)点。欧拉法及其各种变形所能达到的最高精度为2阶。

考察改进的欧拉法,可以将其改写为:斜率一定稠取K1K2的平均方值吗?步长调一定剥是一歌个h吗?§2Ru怨ng极e-阁Ku牌tt尚aMe膝th葱od首先希望能确定系数1、2、p,使得到的算法格式有2阶精度,即在的前提假设下,使得

St窄ep尘1:将K2在(xi,yi)点作Ta饭yl酬or展开将改进欧拉法推广为:),(),(][12122111phKyphxfKyxfKKKhyyiiiiii++==++=+llStep2:将K2代入第1式,得到§2Ru艘ng克e-掩Ku算tt即aMe警th鉴odSt死ep每3:将yi+1与y(xi+1)在xi点的泰勒展开咐作比挎较要求,则必须有:这里伶有迈个未简知数丈,陡个方着程。32存在无穷国多个律解。所塞有满熟足上锅式的柔格式到统称面为2阶龙黑格-库塔唱格式。注意到,就是改进的欧拉法。Q:为获行得更姓高的歉精度鸭,应赌该如习何进伪一步万推广蝴?其中i(i=夕1,赢…陡,m),i(i=产2,社…之,m)和ij(i=堆2,祸…金,m;j=某1,扫…张,i1)均为价待定算系数老,确够定这恳些系丧数的部步骤泻与前袄面相剃似。§2Ru绒ng环e-启Ku营tt勤aMe万th直od)...,(......),(),(),(]...[1122112321313312122122111--++++++=+++=++==++++=mmmmmmimiiiiiimmiihKhKhKyhxfKhKhKyhxfKhKyhxfKyxfKKKKhyybbbabbaballl最常龟用为杠四级4阶经典索龙格-库塔批法/*Cl技as木si慈ca汗l拴Ru约ng禾e-鸣Ku汪tt焦a迎Me急th俭od*/:

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

评论

0/150

提交评论