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2022年河南省驻马店市正阳县实验中学高二数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.圆形铜钱中间有一个边长为4毫米的正方形小孔，已知铜钱的直径为16毫米，现向该铜钱上随机地投入一粒米（米的大小忽略不计），那么该粒米落入小孔内的概率为（

）A. B. C. D.参考答案：A【分析】算出正方形小孔的面积和铜钱的面积，利用几何概型的概率公式可得所求的概率.【详解】设为“该粒米落入小孔内”，因为正方形小孔的面积为平方毫米，铜钱的面积为平方毫米，故，故选A.【点睛】几何概型的概率计算关键在于测度的选。舛韧ǔＪ窍叨蔚某ざ、平面区域的面积、几何体的体积等．2.在△ABC中，A=60°，C=45°，c=20，则边a的长为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】正弦定理．【分析】依题意，由正弦定理=即可求得边a的长．【解答】解：∵在△ABC中，A=60°，C=45°，c=20，∴由正弦定理=得：=，∴a=20×=20×=10，故选A．3.函数f(x)=(x+1)(x2-x+1)的导数是（

）

A．x2-x+1

B．(x+1)(2x-1)

C．3x2

D．3x2+1参考答案：C略4.函数的定义域为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D5.已知复数(i为虚数单位)，则（

）（A）3 （B）2 （C）

（D）参考答案：D因为，所以=，故选D.

6.满足条件|z－i|＝|3－4i|的复数z在复平面上对应点的轨迹是()A．一条直线

B．两条直线

C．圆

D．椭圆参考答案：C7.已知函数在区间上是增函数，则实数a的取值范围为（

）A.[－2,+∞) B.(－2,+∞) C.(－∞,－4] D.(－∞,－4)参考答案：C【分析】先将函数解析式化为，用换元法，令，根据复合函数单调性，以及二次函数性质，即可得出结果.【详解】因为，令，则，因为，所以，因为在区间上显然是增函数；因此，若函数在区间上是增函数，只需在上单调递增，故，解得.故选C

8.已知二面角为锐角，点到平面的距离，到棱的距离，则二面角的大小为A．

B．C．

D．参考答案：C9.方程表示双曲线的必要不充分条件是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C略10.在三角形ABC中，如果，那么等于A．

B．

C．

D．（改编题）参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11..P为抛物线上任意一点，P在轴上的射影为Q，点M（4，5），则PQ与PM长度之和的最小值为

．参考答案：略12.图1，2，3，4分别包含1，5，13和25个互不重叠的单位正方形，按同样的方式构造图形，则第个图包含______个互不重叠的单位正方形。参考答案：略13.由直线,曲线以及轴所围成的封闭图形的面积为________.参考答案：略14.若复数z满足，则=．参考答案：【考点】A5：复数代数形式的乘除运算；A8：复数求模．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求值．【解答】解：∵==，∴．故答案为：．15.在平面直角坐标系xOy中，双曲线中心在原点，焦点在x轴上，一条渐近线方程为2x—y=0，则双曲线的离心率为

▲

参考答案：16.复数所对应的点在第

象限.参考答案：三略17.若

参考答案：510三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=ex﹣ax2，e=2.71828…，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=（e﹣2）x+b．（1）求a，b的值；（2）设x≥0，求证：f（x）＞x2+4x﹣14．参考答案：【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】综合题；转化思想；演绎法；导数的综合应用．【分析】（1）求导数，得切线方程，利用曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=（e﹣2）x+b，即可求a，b的值；（2）由（1）可得f（x）=ex﹣x2，证明f（x）＞x2+4x﹣14，只要证明ex﹣2x2﹣4x+14＞0，构造函数，确定函数的单调性，即可证明结论．【解答】解：（1）函数的导数f′（x）=ex﹣2ax，f′（1）=e﹣2a，f（1）=e﹣a，∴y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣（e﹣a）=（e﹣2a）（x﹣1），由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=（e﹣2）x+b曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=（e﹣2）x+b，得，∴a=b=1；（2）证明：由（1）可得f（x）=ex﹣x2，要证f（x）＞x2+4x﹣14，只要证明ex﹣2x2﹣4x+14＞0．设g（x）=ex﹣2x2﹣4x+14，g′（x）=ex﹣4x﹣4，设h（x）=ex﹣4x﹣4，则h′（x）=ex﹣4，∴h（x）在（0，2ln2）上单调递减，（2ln2，+∞）上单调递增，设曲线y=h（x）与x轴的交点为（m，0）∵h（0）=﹣3＜0，h（2）=e2﹣12＜0，h（3）=e3﹣16＞0，∴2＜m＜3，em=4m+4，∵x∈（0，m），g′（x）＜0，x∈（m，+∞），g′（x）＞0，∴g（x）≥g（m）=18﹣2m2，∵2＜m＜3，∴g（x）≥2（9﹣m2）＞0，即f（x）＞x2+4x﹣14．【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查构造法的运用，属于中档题．19.某工厂生产某种产品，每月的成本C（单位：万元）与月产量x（单位：吨）满足函数关系式C=2+x，每月的销售额Q（单位：万元）与月产量x满足关系式，已知当月产量为2吨时，月利润为2.5万元．(其中：利润=销售额-成本)（1）求k的值；（2）当月产量为多少吨时，每月的利润可以达到最大，并求出最大值.参考答案：（1）因为当月产量为2吨时，月利润为2.5万元，带入得k=9

-------6分（2）设利润为y(万元)当时，

当且仅当x=5时取等号.

当时，

又因为4>3,所以当月产量为5吨时，月利润最大为4万元20.已知函数f(x)=x2e－x．（Ⅰ）求f(x)的极小值和极大值；（Ⅱ）当曲线y=f(x)的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上截距的取值范围．参考答案：（Ⅰ）的定义域为，

①

┄┄┄┄2分当或时，；当时，所以在，单调递减，在单调递增．┄┄┄┄4分故当时，取得极小值，极小值为；当时，取得极大值，极大值为．

┄┄┄┄6分（Ⅱ）设切点为，则的方程为所以在轴上的截距为┄┄┄┄10分由已知和①得．令，则当时，的取值范围为；当时，的取值范围是．

┄┄┄┄13分所以当时，的取值范围是．综上，在轴上截距的取值范围．

┄┄┄┄15分21.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1+a3=10，S4=24．（1）求数列{an}的通项公式；（2）令Tn=，求证：Tn＜．参考答案：【考点】数列的求和；等差数列的前n项和．【分析】（1）由已知条件利用等差数列通项公式和前n项和公式列方程组，求出首项和公差，由此能求出an=2n+1．（2）由Sn===n（n+2），利用裂项求和法能证明Tn＜．【解答】（1）解：设等差数列{an}的公差为d，∵a1+a3=10，S4=24，∴，解得a1=3，d=2，∴an=3+2（n﹣1）=2n+1．（2）证明：由（1）得Sn===n（n+2），∴==…==…．…22.如图，四棱锥P－ABCD，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝AD＝CD＝2，PA＝2，,E，F分别是,PC,PD的中点．(1)证明：EF∥平面PAB；（2）证明：PD平面ABEF;(3)求直线ME与平面ABEF所成角的正弦值．参考答案：(1)(2)略(3)