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2022-2023学年山西省晋中市介休第十中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.要得到函数y=sin2x的图象，只要将函数y=sin（2x﹣）的图象（）A．向左平移单位 B．向右平移单位C．向左平移单位 D．向右平移单位参考答案：C【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据函数y=Asin（ωx+?）的图象变换规律得出结论．【解答】解：将函数y=sin（2x﹣）的图象向左平移个单位，可得函数y=sin[2（x+）﹣]=sin2x的图象，故选C．2.在中，角A，B，C所对边分别为a,b,c，且，面积，则等于(

)

A.

B.5

C.

D.25参考答案：B3.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略4.在四面体ABCD中，AB⊥AD，AB=AD=BC=CD=1，且平面ABD⊥平面BCD，M为AB中点，则线段CM的长为（）A． B．C．D．参考答案：C【考点】平面与平面垂直的判定．【分析】如图所示，取BD的中点O，连接OA，OC，利用等腰三角形的性质可得OA⊥BD，OC⊥BD．又平面ABD⊥平面BCD，可得OA⊥平面BCD，OA⊥OC．建立空间直角坐标系．又AB⊥AD，可得DB=，取OB中点N，连结MN、CN，∴MN∥OA，MN⊥平面BCD．∴．【解答】解：如图所示，取BD的中点O，连接OA，OC，∵AB=AD=BC=CD=1，∴OA⊥BD，OC⊥BD．又平面ABD⊥平面BCD，∴OA⊥平面BCD，OA⊥OC．又AB⊥AD，∴DB=．取OB中点N，连结MN、CN，∴MN∥OA，MN⊥平面BCD．∵MN2=ON2+OC2，∴．故。篊，【点评】本题考查了空间线面位置关系、向量夹角公式、等腰三角形的性质，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．5.已知定义域为的奇函数，当时，满足，则（

）A． B． C．－2 D．0参考答案：B定义域为的奇函数，可得，当时，满足，可得时，，则，，，，，，，，，故选B．6.已知双曲线的两条渐近线均和圆相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线离心率为（

）A. B. C. D.参考答案：A【分析】根据已知可得关于a,b的方程组，解得、的值，再求出双曲线的离心率.【详解】圆的圆心，半径双曲线的右焦点坐标为，即，，①双曲线的一条渐近线方程为，到渐近线的距离等于半径，即②由①②解得：，，所以该双曲线的离心率为.故。海镜憔Α勘咎庵饕疾榱嗽驳囊话惴匠，直线与圆的位置关系及其应用，双曲线的标准方程及其求法，双曲线的几何性质及其运用，两曲线的综合运用7.《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何.刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体（网络纸中粗线部分为其三视图，设网络纸上每个小正方形的边长为1丈），那么该刍甍的体积为（）A．4立方丈

B．5立方丈

C.6立方丈

D．12立方丈参考答案：B8.若函数的导函数在区间上的图象关于直线对称，则函数在区间上的图象可能是（

）A．①②

B．③④

C．①③

D．②④参考答案：B9.函数y=sin（2x+φ），的部分图象如图，则φ的值为（）A．或 B． C． D．参考答案：B【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】计算题；三角函数的图像与性质．【分析】由已知中函数的图象，通过坐标（，0）代入解析式，结合φ求出φ值，得到答案．【解答】解：由已知中函数y=sin（2x+φ）（φ）的图象过（，0）点代入解析式，结合五点法作图，sin（+φ）=0，+φ=π+2kπ，k∈Z，∵φ，∴k=0，∴φ=，故。築．【点评】本题考查的知识点是由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，特殊点是解答本题的关键．10.已知，若函数在上单调递增，则对于任意,，且，使恒成立的函数可以是 （

） A． B．

C． D．参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知单位向量满足，则夹角的余弦值为

．参考答案：依题意，，故，即，则.12.一个口袋中装有2个白球和3个红球，每次从袋中摸出两个球，若摸出的两个球颜色相同为中奖，否则为不中奖，则中奖的概率为

．参考答案：13.函数的周期T=

▲

参考答案：；14.若（m10）对一切x≥4恒成立，则实数m的取值范围是

▲

参考答案：

略15.函数f（x）=x+（x＞1）的最小值为

参考答案：3略16.一个不透明的袋中装有大小形状完全相同的黑球10个、白球6个(共16个)，经过充分混合后，现从中任意摸出3个球，则至少得到１个白球的概率是

(用数值作答)．

参考答案：17.已知x与y之间的一组数据：x0123ym35.57已求得关于y与x的线性回归方程=2.1x+0.85，则m的值为．参考答案：0.5【考点】回归分析．【分析】首先求出这组数据的横标和纵标的平均数，写出这组数据的样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程求出m的值．【解答】解：∵==，==，∴这组数据的样本中心点是（，），∵关于y与x的线性回归方程=2.1x+0.85，∴=2.1×+0.85，解得m=0.5，∴m的值为0.5．故答案为：0.5．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分12分）已知函数（Ⅰ）求证函数在上单调递增；（Ⅱ）函数有三个零点，求的值；参考答案：解：（1）

…………2分

由于，故当时，，所以，………4分

故函数在上单调递增．

…………5分

（2）令，得到…………6分

的变化情况表如下：

0一0+极小值

…………8分因为函数

有三个零点，所以有三个根，

有因为当时，，

所以，故

…………12分略19.随着国民生活水平的提高，利用长假旅游的人越来越多.某公司统计了2012到2016年五年间本公司职员每年春节期间外出旅游的家庭数，具体统计数据如下表所示：

年份（x）20122013201420152016家庭数（y）610162226

（Ⅰ）从这5年中随机抽取两年，求外出旅游的家庭数至少有1年多于20个的概率；（Ⅱ）利用所给数据，求出春节期间外出旅游的家庭数与年份之间的回归直线方程，判断它们之间是正相关还是负相关；并根据所求出的直线方程估计该公司2019年春节期间外出旅游的家庭数.参考公式：，参考答案：（Ⅰ）从这5年中任意抽取两年，所有的事件有：，，，，，，，，，共10种，至少有1年多于20人的事件有：，，，，，，共7种，则至少有1年多于20人的概率为.（Ⅱ）由已知数据得，，；；所以，所以是正相关，回归直线的方程为则第2019年的估计值为20.如图，直线l是湖岸线，O是l上一点，弧是以O为圆心的半圆形栈桥，C为湖岸线l上一观景亭，现规划在湖中建一小岛D，同时沿线段CD和DP（点P在半圆形栈桥上且不与点A，B重合）建栈桥，考虑到美观需要，设计方案为DP=DC，∠CDP=60°且圆弧栈桥BP在∠CDP的内部，已知BC=2OB=2（km），设湖岸BC与直线栈桥CD，DP是圆弧栈桥BP围成的区域（图中阴影部分）的面积为S（km2），∠BOP=θ（1）求S关于θ的函数关系式；（2）试判断S是否存在最大值，若存在，求出对应的cosθ的值，若不存在，说明理由．参考答案：【考点】HN：在实际问题中建立三角函数模型．【分析】（1）根据余弦定理和和三角形的面积公式，即可表示函数关系式，（2）存在，存在，S′=（3cosθ+3sinθ﹣1），根据两角和差的余弦公式即可求出．【解答】解：（1）在△COP中，CP2=CO2+OP2﹣2OC?OPcosθ=10﹣6cosθ，从而△CDP得面积S△CDP=CP2=（5﹣3cosθ），又因为△COP得面积S△COP=OC?OP=sinθ，所以S=S△CDP+S△COP﹣S扇形OBP=（3sinθ﹣3cosθ﹣θ）+，0＜θ＜θ0＜π，cosθ0=，当DP所在的直线与半圆相切时，设θ取的最大值为θ0，此时在△COP中，OP=1，OC=3，∠CPO=30°，CP==6sinθ0，cosθ0=，（2）存在，S′=（3cosθ+3sinθ﹣1），令S′=0，得sin（θ+）=，当0＜θ＜θ0＜π，S′＞0，所以当θ=θ0时，S取得最大值，此时cos（θ0+）=﹣，∴cosθ0=cos[（θ0+）﹣]=cos（θ0+）cos+sin（θ0+）sin=21.已知函数,其中常数

.（Ⅰ）当时，求的极大值；（Ⅱ）试讨论在区间上的单调性;（3）当时,曲线上总存在相异两点,,使曲线在点处的切线互相平行,求的取值范围.参考答案：(1)当时,,当或时,;当时,,在和上单调递减,在上单调递增,故极大值=(2)当时,在上单调递减,在上单调递增.当时,在上单调递减当时,在上单调递减,在上单调递增.(3)由题意,可得()既对恒成立另则在上单调递增，故，从而的取值范围是。略22.选修4—1：几何证明选讲．如图：AD是ΔABC的角平分线，以AD为弦的圆与BC相切于D点，与AB、AC交于E、F.求证：AE·CF=BE·AF参考答案：略