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第7章数理统计的基本概念数理统计基本概念分布的估计统计量分位点几个定理数理统计的任务

以概率论为理论基础,从统计资料所反映的局部特征来推断事物的整体特征。数理统计的应用很广泛，如天气预报、质量控制等§7.1数理统计数理统计的研究方法是归纳法，同概率论相反。概率论中通常已知随机变量的概率分布，然后对其性质及相互关系进行研究。数理统计研究的是：一个随机变量所服从的分布是未知的，或者知其分布而不知其中所含的参数，需要确定这个随机变量的分布或参数。

概率论与数理统计的区别：例如，通过检查某厂家一批产品中的１００个产品，从而设法估计这批产品的合格率。例如，调查某城市1000名住户收支情况，从而了解这城市居民收支分布。§7.2基本概念对某一问题研究对象的全体称为母体或总体。总体组成总体的每一个研究对象称为个体。个体有限总体是指其总体中的成员只有有限个。无限总体是指其总体中的成员有无限多个。

在一个总体中，抽取n个个体ξ1,ξ2,…,ξn，这n个个体总称为总体的样本或子样，n称为样本容量。样本简单随机样本如果一个样本具有如下特性：

1)代表性。样本中的每一个分量ξi(i=1，2，…，n）与总体有相同的分布。

2)独立性。n个样本ξ1,ξ2,…,ξn是相互独立的。则称为简单随机样本，简称样本。样本分布对于总体ξ的样本ξ1,ξ2,…,ξn

若ξ的分布函数为F(x)，那么样本的联合分布函数为若ξ的分布密度为φ（x），那么样本的联合分布密度为例1

设总体ξ～N(μ,σ2)，求样本(ξ1,ξ2,…,ξn)的联合分布密度。总体ξ～N(μ,σ2)，则ξ有分布密度:解于是(ξ1,ξ2,…,ξn)的联合分布密度为在数理统计中，总体的分布往往是未知的，需要通过样本找到一个分布来近似代替总体分布。例

某炼钢厂生产的钢由于各种因素的影响，各炉钢的含硅量可以看作是一个随机变量，现记录了120炉钢的含硅量百分数，求出这个样本的频数分布与频率分布。§7.3分布的估计频率分布频率分布直方图

步骤如下:(1)决定组距与组数选取起点与终点。起点a选得比最小值略小些，终点b选得比最大值略大些，确定组距:d=(b－a)/m

将［a，b］进行等分，即在［a，b］内插入m－1个分点:把［a，b］分成m个组（即小区间）。 通常在试验数据较多（即样本容量n较大）时，可分成10～20组，数据在100以内可分成5～12组。这里的起点、终点、组距、组数可视具体情况来定。（2）数出频数，列出分组频率分布数出样本值x1，x2，…，xn

落在每个组的数目，计算每个组的频数与频率。（3）绘出频率分布直方图以样本值为横轴，以（频率÷组距）为纵轴，在横轴上标出各分组的点，以各组的组距为底，画出高度等于（频率÷组距）的小矩形。整个图形称为频率分布直方图，简称为直方图。当n相当大时，第k组频率fk可近似表示ξ取值落入内的概率，即因此，直方图的轮廓线可作为随机变量ξ分布密度函数曲线的一种近似曲线。频率分布密度曲线设x1,x2,…,xn是总体ξ的一个样本观察值，将它们按大小排列为，令样本分布函数称Fn(x)为样本分布函数(或经验分布函数)。可以证明当n→∞时，Fn(x)按概率收敛于Fξ(x)，即对于任意给定的正数ε，有§7.4统计量统计量设ξ1,ξ2,…,ξn是总体ξ的一个样本，若g(ξ1,ξ2,…,ξn)是连续函数，且其中不包含任何未知参数，称样本函数g(ξ1,ξ2,…,ξn)为统计量。例设ξ1,ξ2,…,ξn为母体ξ的子样，ξ～N(a,σ2)，若a为已知，σ2未知，则不是统计量，因为它含有未知参数σ。其中常用统计量样本均值样本方差设ξ1,ξ2,…,ξn是从总体ξ中抽取的一个样本样本标准差(或样本均方差)样本k阶(原点)矩样本k阶中心矩当k=1时，M1就是样本均值。记为显然定理1

设ξ1,ξ2,…,ξn是取自总体ξ的一个样本，Eξ=μ，Dξ=σ2

，则证明：1)抽样分布统计量的分布称为抽样分布设ξ1,ξ2,…,ξn相互独立，且都服从N(0,1)分布，则称随机变量其中定理2t分布设ξ～N(0,1)，η~χ2(n)，且它们相互独立,

则称随机变量服从自由度为n的t分布,记为t(n)。即T~t(n)随机变量T的概率密度为t分布的密度曲线：1、n＝1时，t分布成为Cauchy分布。Cauchy分布不存在任何阶矩。结论：如T~t(n)，密度函数为f(x)。则2)当n>45时,t分布与N(0,1)接近。3)当n>2时，E(T)=0,

定理3：1)f(x)是偶函数。F分布服从第一自由度为n1、第二自由度为n2的F分布。记为F～F(n1,n2)。如F～F(n1,n2)，则其密度函数为

下图描绘了F(10,50)，F(10,10)，F(10,4)的密度曲线。定理4：2)若X～t(n)，则X2～F(1,n)§7.5分位点对给定的α(0<α<1)，若存在数xα,使得

P(ξ>xα)=α成立，则称xα为此概率分布的α上侧分位点，或上α分位数、临界值。定义相应地，若有P(ξ<xα)=α成立，则称xα为下侧分位点。本书仅讨论上侧分位点，下侧分位点类似。1、标准正态分布的上侧分位点成立的uα是标准正态分布的上侧分位点(或上α分位数)。对给定的α(0<α<1)，使例1

求(1)u0.025，(2)u0.975解

(1)α=0.025,1－α=0.975，查正态分布表得uα=1.96,即u0.025=1.96；

(2)u0.975＝－u0.025＝－1.962、χ2分布的上侧分位点对于给定α(0<α<1)，使例2解例3解3、t分布的上侧分位点对于给定的α(0<α<1)，使成立的tα(n)是t分布的上侧分位点(或上α分位数)。其中的f(x)是t(n)的概率密度函数。例4解例5解4、F分布的上侧分位点对于给定的α(0<α<1)，使证明：例6解§7.6几个定理单个正态总体的情况定理5定理6定理7证明：两个正态总体的情况定理8

在上述两个正态总体的条件下，有定理9证明：(1)（2）习题73，6，13，147-16作业评讲证明：