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福建省漳州市诏安县私立北苑中学2022-2023学年高一数学文联考试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.函数的最小正周期为()A. B. C.π D.2π参考答案:C【考点】三角函数的周期性及其求法.【专题】计算题.【分析】利用二倍角公式化简函数,然后利用诱导公式进一步化简,直接求出函数的最小正周期.【解答】解:函数=cos(2x+)=﹣sin2x,所以函数的最小正周期是:T=故选C【点评】本题是基础题,考查三角函数最小正周期的求法,三角函数的化简,公式的灵活运应,是本题的关键.2.把正方形ABCD沿对角线AC折起,当以A、B、C、D四点为顶点的三棱锥体积最大时,直线BD和平面ABC所成的角的大小为() A.90° B.60° C.45° D.30°参考答案:C【考点】空间中直线与平面之间的位置关系. 【专题】计算题. 【分析】欲使得三棱锥体积最大,因为三棱锥底面积一定,只须三棱锥的高最大即可,即当平面BAC⊥平面DAC时,三棱锥体积最大,计算可得答案. 【解答】解:如图,当平面BAC⊥平面DAC时,三棱锥体积最大 取AC的中点E,则BE⊥平面DAC, 故直线BD和平面ABC所成的角为∠DBE cos∠DBE=, ∴∠DBE=45°. 故选C. 【点评】本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力,属于基础题. 3.函数的部分图象如右图,则、可以取的一组值是(
)A.
B.C.
D.参考答案:C略4.函数f(x)=2的图象大致是()A. B. C. D.参考答案:B【考点】函数的图象.【专题】作图题;函数思想;数形结合法;函数的性质及应用.【分析】根据指数函数和对数的函数的图象和性质即可判断.【解答】解:因为t=log3x的函数为增函数,且函数值的变化越来越慢,即图象的变化越来越趋向于平缓,又因为y=2t为增函数,其图象的变化是函数值的变化越来越慢,故。築.【点评】本题考查了指数函数和对数的函数的图象和性质,属于基础题.5.幂函数f(x)=(m2﹣4m+4)x在(0,+∞)为增函数,则m的值为()A.1或3 B.1 C.3 D.2参考答案:B【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域.【分析】根据幂函数的定义与性质,得出关于m的不等式组,求出m的取值范围即可.【解答】解:幂函数f(x)=(m2﹣4m+4)x在(0,+∞)为增函数,∴,解得,所以m的值为1.故。築.6.某住宅小区六月份1日至5日每天用水量变化情况如图所示.那么这5天平均每天的用水量是()A、30吨 B、31吨
C、32吨 D、33吨参考答案:C,所以这5天平均每天的用水量是32吨。7.如图,在△ABC中,M是BC的中点,AM=3,BC=10,则(
)A.34
B.28
C.-16
D.-22参考答案:C8.ABCD为正方形,P为平面ABCD外一点,PD⊥AD,PD=AD=2,二面角P-AD-C=60°,则P到AB的距离是A.2 B. C.2 D.参考答案:D略9.小明在玩投石子游戏,第一次走1米放2颗石子,第二次走2米放4颗石子…第次走米放2n颗石子,当小明一共走了36米时,他投放石子的总数是(
)A.36
B.72
C.510
D.512参考答案:B10.设数列1,,,,的前项和为,则等于A.
B.
C.
D.参考答案:D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若函数在区间上是增函数,则实数的取值范围是___________参考答案:12.已知f(x)是(﹣∞,0)∪(0,+∞)上偶函数,当x∈(0,+∞)时,f(x)是单调增函数,且f(1)=0,则f(x+1)<0的解集为
.参考答案:(﹣2,﹣1)∪(﹣1,0)【考点】奇偶性与单调性的综合.【专题】函数的性质及应用.【分析】由已知,不等式f(x+1)<0等价于f(|x+1|)<f(1),再利用函数f(x)在(0,+∞)上的单调性,可去掉函数符号“f”,从而不等式可解.【解答】解:由于f(1)=0,所以不等式f(x+1)<0可化为f(x+1)<f(1),又f(x)是(﹣∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数,所以f(x+1)<f(1)?f(|x+1|)<f(1),而当x∈(0,+∞)时,f(x)是单调增函数,所以0<|x+1|<1,解得﹣2<x<0,且x≠﹣1.即f(x+1)<0的解集为(﹣2,﹣1)∪(﹣1,0).故答案为:(﹣2,﹣1)∪(﹣1,0).【点评】本题主要考查抽象函数的单调性、奇偶性,偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反,而奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同.13.若sinα<0,且tanα>0,则α是第__________象限角.参考答案:三考点:象限角、轴线角.专题:计算题.分析:由于sinα<0,故α可能是第三或第四象限角;由于tanα>0,故α可能是第一或第三象限角;故当sinα<0且tanα>0时,α是第三象限角.解答: 解:由于sinα<0,故α可能是第三或第四象限角;由于tanα>0,故α可能是第一或第三象限角.由于sinα<0且tanα>0,故α是第三象限角,故答案为:三.点评:本题考查象限角的定义,三角函数在各个象限中的符号,得到sinα<0时,α是第三或第四象限角;tanα>0时,α是第一或第三象限角,是解题的关键14.已知函数
,若,则
。参考答案:15.不等式的解集为
。参考答案:略16.某班有学生55人,其中音乐爱好者35人,体育爱好者45人,还有4人既不爱好体育也不爱好音乐,则班级中既爱好体育又爱好音乐的学生有
▲
人.参考答案:29
17.已知f(x)是奇函数,x≥0时,f(x)=-2x2+4x,则当x<0时,f(x)=
。参考答案:三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.如图,在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=2AD=4,AA1=2,M是C1D1的中点.(1)在平面A1B1C1D1内,请作出过点M与BM垂直的直线l,并证明l⊥BM;(2)设(1)中所作直线l与BM确定平面为α,求直线BB1与平面α所成角的大。慰即鸢:【考点】直线与平面所成的角.【分析】(1)连接A1M,MB1,则直线A1M就是所求的l,证明A1M⊥平面B1BM,即可证明l⊥BM;(2)设N为BM的中点,连接B1N,则B1N⊥MB,B1N⊥平面A1BM,即B1N⊥平面α,∠NBB1就是BB1与平面α所成角,即可求直线BB1与平面α所成角的大。窘獯稹拷:(1)连接A1M,MB1,则直线A1M就是所求的l,证明如下:在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,BB1⊥平面A1B1C1D1,A1M?平面A1B1C1D1,∴BB1⊥A1M.在矩形A1B1C1D1中,A1B1=2A1D1=4,M是C1D1的中点.∴△A1D1M和△B1C1M都是等腰直角三角形,∴∠A1MD1=∠B1MC1=45°,故∠A1MB1=90°,即A1M⊥MB1,又BB1∩MB1=B1,A1M⊥平面B1BM,∴A1M⊥MB,即l⊥B1M…(2)连接A1B,由(1)A1M⊥平面B1BM,A1M?平面A1MB,∴平面A1BM⊥平面B1BM,平面A1BM∩平面B1BM=BM,在Rt△B1BM中,B1M=BB1=2,设N为BM的中点,连接B1N,则B1N⊥MB,∴B1N⊥平面A1BM,即B1N⊥平面α,∴∠NBB1就是BB1与平面α所成角,因为Rt△B1BM是等腰直角三角形,所以∠NBB1=45°.因此,BB1与平面α所成角的大小为45°…19.设是满足不等式≥的自然数的个数.(1)求的函数解析式;(2),求;(3)设,由(2)中及构成函数,,求的最小值与最大值.(本题满分14分)参考答案:解:(1)由原不等式得≥,
则≤0,
…………………(2分)
故≤0,得≤≤
…….(4分)
………..(6分)
(2)
….………(8分)
………(10分)(3)
…………(11分)
,
………(12分)
则时有最小值;时有最大值…………….(14分)略20.若求的取值范围。参考答案:解析:令,则21.(2015秋淮北期末)(B类题)已知函数f(x)=. (Ⅰ)求f{f(f(﹣1))}的值; (Ⅱ)画出函数f(x)的图象; (Ⅲ)指出函数f(x)的单调区间. 参考答案:【考点】函数的单调性及单调区间;函数的值;分段函数的应用. 【专题】数形结合;定义法;函数的性质及应用. 【分析】(Ⅰ)根据分段函数的表达式代入即可求f{f(f(﹣1))}的值; (Ⅱ)根据函数图象的坐标即可画出函数f(x)的图象; (Ⅲ)由图象可知函数f(x)的单调区间. 【解答】解:(Ⅰ)f(﹣1)=﹣(﹣1)﹣1=0,f(0)=1,f(1)=﹣1+2×1=1, 即f{f(f(﹣1))}=1. (Ⅱ)函数的图象如图: (3)由图象知递减区间:(﹣∞,0),(1,+∞),递增区间:(0,1). 【点评】本题主要考查分段函数的应用,比较基。 22.已知单调递增的等比数列{an}满足,且是的等差中项.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设,求满足不等式的最大正整数k的值.参考答案:解:(Ⅰ)依题意解得数列的通项公式是(Ⅱ)
=
的最大正整数
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