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331几何概型情境引入古典概型的特征(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;(2)每个基本事件出现的可能性相等古典概型的概率计算公式
351问题一:甲乙两人掷骰子,规定掷一次谁掷出6点朝上则谁胜,请问甲、乙赌徒获胜的概率谁大?问题二:一条长50米的电话线架于两电线杆之间,其中一个杆子上装有变压器。在暴风雨天气中,电话线遭到雷击的点是随机的。试求雷击点距离变压器不小于20米情况发生的概率。提出猜想,实验探究问:小纽扣落在红色区域内的概率是多少?问题三:如图,有一个由红绿蓝三色构成的彩色圆盘,向圆盘内随机抛掷一粒小纽扣(假设落在圆盘内)。提出猜想,实验探究记“小纽扣落在红色区域”为事件A,猜想:P(A)=提出猜想,实验探究实验结果:当试验次数不断增大时,纽扣落在红色区域的频率将逐渐趋于一个稳定值05,并在它附近摆动,由此可估计出小纽扣落在红色区域的概率为05。记“小纽扣落在红色区域”为事件A,猜想:P(A)=提出猜想,实验探究3几何概型的概率计算公式1几何概型的定义(1)试验中所有可能出现的基本事件有无限个无限性;(2)每个基本事件出现的可能性相等等可能性。如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度面积或体积成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型(geometricmodelsofprobability),简称为几何概型。2几何概型的特征探求新知例1下列概率问题是几何概型吗?所求概率分别是多少?⑴一个口袋内装有大小相同的5个球,其中3个白球,2个黑球,从中摸出一个球,求摸到白球的概率?⑵圆形箭靶的直径为1m,其中,靶心的直径只有12cm,任意向靶射箭假设落靶上),射中靶心的概率为多少?解:新知运用随堂练习1在区间(0,10)内的所有实数中随机取一个实数a,则这个实数a>7的概率为;2在500ml的水中有一个草履虫,现在从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察,则发现草履虫的概率为A05B04C0004D不能确定3在一个5000m2的海域里有面积达40m2的大陆架蕴藏着石油,在这个海域里随意选定一点钻探,钻出石油的概率为030008C例2某人睡觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台整点报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率。0605010203040析1:新知运用新知运用例3有只蚂蚁在如图的五角星区域内自由的爬行,且它停在任意一点的可能性相等,已知圆形区域的半为2,蚂蚁停在圆形内的概率为01,求图中五角星的面积。计算结果保留π)解:记“蚂蚁最后停在五角星圆形区域内”为事件A,新知运用CFABDEM析:1如图,分别取BC、AD的中点F,E,当M在四边形CFED内(包括边界)运动时,满足题意。变式练习1正方形ABCD的边长为1,在正方形内(包括边界)任取一点M,求:(1)△ABM面积大于等于的概率;(2)线段AM的长度不小于1的概率。(2)如图,以AB为半径作圆。琈在白色阴影部分时,AM长度大于等于1,由几何概率的意义知:ABCD正方形ABCD的边长为1,在正方形内(包括边界)任取一点M,求:(1)△ABM面积大于等于的概率;(2)线段AM的长度不小于1的概率。变式练习1析:设小茶几的边长为a,要求整个硬币落到小茶几上,也就要求硬币的中心落到茶几内的一个边长为a/4的小正方形内。在一个大型商场的门口进行一种游戏,游戏规则如下:在较远的地方放一张小正方形茶几,要将一枚硬币扔到这张茶几上,已知硬币的直径是茶几边长的,谁能将硬币整个地扔到茶几上就可以赢得一瓶洗发水。假定将硬币扔到茶几上的每个地方是等可能的,问:随机掷一枚硬币赢得这场游戏的概率有多大?变式练习2本堂课我们共同经历了数学猜想、计算机模拟实验、数据的整理分析过程,体会了用频率估计概率的数学统计思想。归纳小结归纳小结3几何概型的概率计算公式1几何概型的特征2几何概型的定义4几何概型与古典概型的异同每个基本事件出现的可能性。古典概型中所有可能出现的基本事件有个;几何概型中所有可能出现的基本事件有个;不同点相同点如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度面积或体积成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型(geometricmodelsofprobability),简称为几何概型。有限无限相等甲、乙两人约定在12点至5点之间在某地会面,先到者等一个小时后即离去,设两人在这段时间内的各时刻到达是等可能的,且两人互不影响。求两人能会面的概率。解:以,y分别表示甲、乙两人到达的时刻,于是0≤≤5,0≤y≤5,
即所有的点M,y落在一个正方形区域内,由于每人在任一时刻到达都是等可能的,所以落在正方形内各点是等可能的。M,yy54321012345x思考与探索2二人会面的条件是:点M落在区域内012345y54321y=1y=-1记“两人会面”为事件A思考与探索2|-y|≤1思考:假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6:30—7:30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间在早上7:00—8:00之间,问你父亲在离开家前能得到报纸称为事件A的概率是多少解:以横坐标表示报纸送到时间,以纵坐标y表示父亲离家时间建立平面直角坐标系,由于随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的,所以符合几何概型的条件根据题意,只要点落到阴影部分,就表示父亲在离开家前能得到报纸,即事件A发生,所以思考与探索332均匀随机数的产生33几何概型1几何概型的含义是什么?它有哪两个基本特点?含义:每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例的概率模型。特点:(1)可能出现的结果有无限多个;(2)每个结果发生的可能性相等。复习2在几何概型中,事件A发生的概率计算公式是什么?3我们可以利用计算器或计算机产生整数值随机数,还可以通过随机模拟方法求古典概型的概率近似值,对于几何概型,我们也可以进行上述工作。复习均匀随机数的产生均匀随机数的产生思考:一个人到单位的时间可能是8:00~9:00之间的任何一个时刻,若设定他到单位的时间为8点过分种,则可以是0~60之间的任何一刻,并且是等可能的。我们称服从上的均匀随机数。一般地,为上的均匀随机数的含义如何?的取值是离散的,还是连续的?在区间上等可能取任意一个值;的取值是连续的。思考:我们常用的是上的均匀随机数,可以利用计算器产生见教材P137。如何利用计算机产生0~1之间的均匀随机数?用Ecel演示:(1)选定Al格,键入“=RAND()”,按Enter键,则在此格中的数是随机产生的上的均匀随机数;均匀随机数的产生(2)选定Al格,点击复制,然后选定要产生随机数的格,比如A2~A100,点击粘贴,则在A1~A100的数都是上的均匀随机数。这样我们就很快就得到了100个0~1之间的均匀随机数,相当于做了100次随机试验。均匀随机数的产生思考:计算机只能产生上等可能出现的任何一个值,则需要产生上的均匀随机数,对此,你有什么办法解决?首先利用计算器或计算机产生上的均匀随机数=RAND,然后利用伸缩和平移变换:Y=*b—a+a计算Y的值,则Y为上的均匀随机数。均匀随机数的产生思考:利用计算机产生100个上的均匀随机数,具体如何操作?(1)在A1~A100产生100个0~1之间的均匀随机数;(2)选定Bl格,键入“=A1*42”,按Enter键,则在此格中的数是随机产生的上的均匀随机数;(3)选定Bl格,拖动至B100,则在B1~B100的数都是上的均匀随机数。均匀随机数的产生随机模拟方法思考:假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6:30~7:30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去上班的时间在早上7:00~8:00之间,如果把“你父亲在离开家之前能得到报纸”称为事件A,那么事件A是哪种类型的事件?随机事件思考:设、Y为上的均匀随机数,65+表示送报人到达你家的时间,7+Y表示父亲离开家的时间,若事件A发生,则、Y应满足什么关系?7+Y>65+,即Y>-05。思考:如何利用计算机做100次模拟试验,计算事件A发生的频率,从而估计事件A发生的概率?(1)在A1~A100,B1~B100产生两组上的均匀随机数;随机模拟方法(2)选定D1格,键入“=A1-B1”,按Enter键。再选定Dl格,拖动至D100,则在D1~D100的数为Y-的值;(3)选定E1格,键入“=FREQUENCY(D1:D100,-05)”,统计D列中小于-05的数的频数。思考:设送报人到达你家的时间为,父亲离开家的时间为y,若事件A发生,则、y应满足什么关系?65≤≤75,7≤y≤8,y≥。随机模拟方法思考:你能画出上述不等式组表示的平面区域吗?思考:根据几何概型的概率计算公式,事件A发生的概率为多少?yxO6.57.578随机模拟方法例1在下图的正方形中随机撒一把豆子,如何用随机模拟的方法估计圆周率的值。(1)圆面积︰正方形面积=落在圆中的豆子数︰落在正方形中的豆子数。(2)设正方形的边长为2,则π=落在圆中的豆子数÷落在正方形中的豆子数×4。新知运用例2利用随机模拟方法计算由y=1和y=2所围成的图形的面积。以直线=1,=-1,y=0,y=1为边界作矩形,用随机模拟方法计算落在抛物区域内的均匀随机点的频率,则所求区域的面积=频率×2。新知运用yx01-11a,b]上的均匀随机数与整数值随机数的共同点都是等可能取值,不同点是均匀随机数可以取区间内的任意一个实数,整数值随机数只取区间内的整数。2利用几何概型的概率公式,结合随机模拟试验,可以解决求概率、面积、参数值等一系列问题,体现了数学知识的应用价值。归纳小结3用随机模拟试验不规则图形的面积的基本思想是,构造一个包含这个图形的规则图形作为参照,通过计算机产生某区间内的均匀随机数,再利用两个图形的面积之比近似等于分别落在这两个图形区域内的均匀随机点的个数之比来解决。=*b-a+a,可以产生任意区间上的均匀随机数,其操作方法要通过上机实习才能掌握。归纳小结P142习题33A组:2,3B组作业
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